NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/03/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Partition et Divisibilité

 

Débutants

Division

Carrés

 

Glossaire

Division

 

 

Index

 

Divisibilité

 

Carrés

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité des carrés par 8

>>> Somme de deux carrés – Observation

>>> De 2 carrés: critère

>>> De 3 ou 4 carrés

>>> Sommes particulières de carrés

>>> Différences de carrés

 

 


 

 

PARTITION et DIVISIBILITÉ

 

Avec les carrés

 

Un ou plusieurs carrés.

 

 

 Divisibilité des carrés par 8

 

Nombres pairs

 

*      Le carré d'un nombre divisible par 4 est divisible par 16 et a fortiori par 8.

 

Exemple

12² = 144 et 144 = 8 x 16

 

*      Le carré d'un nombre pair non-divisible par 4 est divisible par 4 mais pas par 8.

 

Exemple

10² = 100 et  100 = 4 x 25

 

 

Conclusion

 

Le carré d'un nombre pair,

divisé par 8, laisse un reste de 0 ou 4.

 

 

 

 

Nombres impairs

 

*      Forme générique d'un nombre impair: 2k + 1.

*      Son carré

(2k + 1)² = 4k² + k + 1

               = 4k (k+1) + 1
               =  A + 1

 

*      Or le produit de deux nombres consécutifs k et (k+1) est pair; A est divisible par 2.
Or A est aussi divisible par 4; A est donc divisible par 8

 

Conclusion

 

Le carré d'un nombre impair,

divisé par 8, laisse un reste de 1.

 

Le carré d'un nombre impair est un multiple de 8 plus 1.

 

Exemples

  

Petite récréation à propos de 8 et généralisation.

Je souhaite que n divise n + 8. Est-ce possible?

Je dis que n divise n et n + 8, il divise une combinaison linéaire de des deux nombres, seule condition, les coefficients doivent être entiers. Je les choisis de façon à faire disparaître n:

          (-1) x n + (1) x (n + 8) = n – n + 8 = 8

Bilan: n divise n + 8 si n divise 8 et, n = {1, 2, 4, 8}

Réciproquement: n divise 8 et n, alors n divise leur somme: n + 8.

On se serait douté du résultat: n divise n + 8 s'il divise chacun des termes. Pour n c'est le cas, reste 8. D'où le fait que n doit diviser 8.

On peut remplacer 8 par k et avoir la condition générale: pour que n divise  n + k, il faut que n divise k.  

 

 

SOMME DE 2 CARRÉS - Observation

 

Somme pour n et m < 10 et divisibilité par 4

 

n            m               n² + m²                     (n² + m²) mod 4

1            1                 2                               2

1            2                 5                               1

2            2                 8                               0

1            3                 10                             2

2            3                 13                             1

1            4                 17                             1

3            3                 18                             2

2            4                 20                             0

3            4                 25                             1

1            5                 26                             2

2            5                 29                             1

4            4                 32                             0

3            5                 34                             2

1            6                 37                             1

2            6                 40                             0

4            5                 41                             1

3            6                 45                             1

1            7                 50                             2

5            5                 50                             2

4            6                 52                             0

2            7                 53                             1

3            7                 58                             2

5            6                 61                             1

1            8                 65                             1

4            7                 65                             1

2            8                 68                             0

6            6                 72                             0

3            8                 73                             1

5            7                 74                             2

4            8                 80                             0

1            9                 82                             2

2            9                 85                             1

6            7                 85                             1

5            8                 89                             1

3            9                 90                             2

4            9                 97                             1

7            7                 98                             2

6            8                 100                           0

1            10              101                           1

2            10              104                           0

5            9                 106                           2

3            10              109                           1

7            8                 113                           1

4            10              116                           0

6            9                 117                           1

5            10              125                           1

8            8                 128                           0

7            9                 130                           2

6            10              136                           0

8            9                 145                           1

7            10              149                           1

9            9                 162                           2

8            10              164                           0

9            10              181                           1

10          10              200                           0

 

Remarques liminaires

*      La somme de deux carrés est loin de donner tous les nombres naturels.

*      Seuls 3 nombres < 100 sont la somme de deux couples de carrés.

*      La somme de deux carrés qui vaut le double d'un carré conduit à la notion de nombres congruents.

 

Voir Sommes de deux carrés deux fois

 

 

Conclusions

 

Le reste de la division par 4 de n² + m²  est toujours 0, 1 ou 2. Mais jamais 3.

 

Un nombre en 4k + 3 n'est pas décomposable en somme de deux carrés.

 

5         13        17        37       39        41    53     ...

 

 

*      C'est un cas particulier, une curiosité, pour mod 4. En effet, pour les autres on trouve tous les restes possibles.

 

Exemples avec mod 2 à 5

 

          n        m       n² + m²      mod 2       mod 3       mod 4       mod 5

          5        5        50              0                2                2                0

          5        6        61              1                1                1                1

          5        7        74              0                2                2                4

          5        8        89              1                2                1                4

          5        9        106            0                1                2                1

          5        10      125            1                2                1                0

          6        6        72              0                0                0                2

          6        7        85              1                1                1                0

          6        8        100            0                1                0                0

          6        9        117            1                0                1                2

          6        10      136            0                1                0                1

          7        7        98              0                2                2                3

          7        8        113            1                2                1                3

          7        9        130            0                1                2                0

          7        10      149            1                2                1                4

 

 

      

 

SOMME DE 2 CARRÉS: CRITÈRE

 

Cas des nombres premiers

 

Un nombre premier est la somme de 2 carrés si p + 1 n'est pas divisible par 4 et,  la somme est unique.

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés.

Trouvé par Fermat, démontré par Euler

 

 

Valeurs pour n < 50

n

Carrés

n+1

(n+1) mod 4

2 =

1² + 1²

3

3

3 =

NON

4

0

5 =

2² + 1²

6

2

7 =

NON

8

0

11 =

NON

12

0

13 =

3² + 2²

14

2

17 =

4² + 1²

18

2

19 =

NON

20

0

23 =

NON

24

0

29 =

5² + 2²

30

2

31 =

NON

32

0

37 =

6² + 1²

38

2

41 =

5² + 4²

42

2

43 =

NON

44

0

47 =

NON

48

0

 

Cas d'un nombre quelconque

 

Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4. La somme n'est pas forcément unique.

 

Exemples

n

Carrés

Facteurs

T = (Facteur + 1)

T mod 4

4 =

2² + 2²

= 2 x 2

3 x 3

3 x 3

10 =

3² + 1²

= 2 x 5

2 x 6

2 x 2

99 =

NON

= 3² x 11

10 x 12

2 x 0

100 =

6² + 8²

= 2² x 5²

5 x 26

1 x 2

999 =

NON

= 33 x 37

28 x 38

0 x 2

1 000 =

10² + 9²

18² + 26²

= 23 x 53

9 x 126

1 x 2

1 001 =

NON

= 7 x 11 x 13

8 x 12 x 14

0 x 0 x 2

 

 

Voir Explications théoriques / Somme de deux carrés et utilisation des nombres complexes

 

 

 

SOMME DE TROIS et QUATRE CARRÉS

 

*      Un carré, divisé par 8, donne un reste de 0, 4 ou 1.  Voir ci-dessus

 

*      Pour la somme de trois carrés, on aura les sommes combinaisons de ces trois valeurs:

 

Exemples

0         0       1         = 1

0         0       4         = 4

0         1       1         = 2

0         1       4         = 5

0         4       1         = 5

0         4       4         = 8

1         0       1         = 1

1         0       4         = 4

1         1       1         = 3

1         1       4         = 6

1         4       1         = 6

1         4       4         = 9

4         0       1         = 5

4         0       4         = 8

4         1       1         = 6

4         1       4         = 9

4         4       1         = 9

4         4       4         = 16

 

*      On observe que jamais le 7 n'apparaît.

 

Un nombre dont la division par 8 donne un reste de 7 n'est pas la somme de trois carrés.

 

7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 60 ... ne sont pas la somme de 3 carrés.

 

Théorème de Gauss

 

N est somme de trois carrés au plus (N = A² + B² + C²) si et seulement si N  4a  (8b - 1).

 

Théorème de Lagrange

 

Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés: N = A² + B² + C² + D².

Voir Théorème de Lagrange / quaternions

 

 

 

 

 

SOMMES PARTICULIÈRES de CARRÉS 

 

Somme de carrés distincts

 

Si n est supérieur à 128, il peut être décomposé en une somme de carrés tous distincts.

 

128: Plus petit non décomposable

129 = 4² + 7² + 8²

 

Somme de carrés de premiers distincts

 

Tous les nombres, au-delà de 17 163, sont la somme de deux premiers distincts au carré.

 

Carré, somme de 2 cubes

 

Exemple

13 + 23 = 32

703 + 1053 = 1 2252

 

Construction

Prendre 2 nombres (exemple 2 & 3) et procéder comme suit:

23 + 33 = 8 + 27 = 35

Multiplier par le résultat au cube: 353

(2x35)3 + (3x35)3 = 35x353 = (35²)2

    703   +   1053    =                1 2252

 

Cube, somme de 2 carrés par construction

 

Exemple

5² + 10² = 53

26² + 39² = 133

 

Construction

Prendre 2 nombres (exemple 2 & 3) et procéder comme suit:

2² + 3² = 4 + 9 = 13

Multiplier par le résultat au cube: 132

(2x13)2 + (3x13)2 = 13x132 = 133

    26²    +    39²    =                 133

   676    + 1 521   =             2 197

 

Cube, somme de 2 carrés

Voir Équation E223

 

Carré, somme de trois carrés

 

81 est le plus petit carré décomposable en somme de trois carrés.

81 = 9² = 1² + 4² + 8²

 

Nombre, 2 fois somme de deux carrés

 

Les nombres, somme de deux carrés de deux façons sont: 50, 65, 85, 125, 130, 145...

 

50 =    5² + 5²    = 1² + 7²

65 =    7² + 4²    = 1² + 8²

85 =    9² + 2²    = 7² + 6²

 

Carré, somme de deux carrés (Pythagore)

 

Il existe une infinité de triangles de Pythagore dont l'hypoténuse et un côté diffèrent de l'unité.

 

Ils suivent le motif suivant:

                                                          =   9           =   4 +   5   =>        +             =  

                                                          = 25          = 12 + 13                 +       12²    = 13²

                                                          = 49          = 24 + 25                 +       24²    = 25²

                                            etc.

 

Il en existe une infinité d'autres dont la construction n'est pas aussi simple.

 

Le produit de deux nombres qui sont chacun la somme de deux carrés, est également la somme de deux carrés.

 

(1 + 4) (9 + 16) = 125 = 100 + 25 = 10² + 5²

 

Carré, somme de la moitié de deux carrés

Tous les triplets a² + b² = 2c² pour c jusqu'à 100.

 

 

Carré, somme des impairs

 

Tout carré est la somme des nombres impairs successifs

 

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 ²

 

Carré, somme de nombres triangulaires

 

Tout nombre carré est décomposable en somme de deux nombres triangulaires successifs.

Tout carré impair est égal à 8 fois un nombre triangulaire, plus un.

Le carré de tout nombre impair est égal à la différence entre deux nombres triangulaires premiers entre eux.

 

Il existe une infinité de carrés tels qu'ils soient le produit de deux nombres triangulaires.

 

Carré, somme symétrique

 

1

=

1 + 2 + 1

=

1 + 2 + 3 + 2 + 1

=

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

=

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS

 

Théorème

 

Tout nombre de la forme 4n + 2 n'est pas décomposable en différence de deux carrés.

 

2, 6, 10, 14, 18 …

 

Différences particulières

        

7² - 4²

=

33

a² - b² = (a + b)(a - b)

= (7 + 4)(7 - 4) = 11 x 3 = 33

77² - 24²

=

53 53

 

6² - 5²

=

11

56² - 45² = (56+45)(56-45)

= 101 x 11= 1 111

56² - 45²

=

1 111

556² - 445²

=

111 111

5556² - 4445²

=

11111 111

 

78² - 23²

=

5 555

78² - 23² = (78+23)(78-23)

= 101 x 55= 5 555

778² - 223²

=

555 555

7778² - 2223²

=

55 555 555

etc.

 

 

 

Généralisation

 

Si x + y = 101

et  x - y = A

Alors  x² - y² =

 

AA

x = 75

y = 101 - 75 = 26

A = 75 - 26

= 49

75² - 26² =

49 49

 

On peut continuer avec  1001, 10001, etc.

 

Voir Nombre 784

 

 

 

 

 


 

 

Suite

*    Somme de carrés

*    Somme de k carrés de n nombres consécutifs

*    Triangles rectangles particuliers

Voir

*    Congruences

*    Décomposition des nombres

*    Divisibilité

*    Partition

*    Sommes de puissances – S'y retrouver

DicoNombre

*    Nombre 8

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Carres.htm