NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES des entiers, carrés  DÉMONSTRATIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

de 1 à n

 

Addition

 

Identités

 

 

Démonstrations directes

Démonstrations par induction

Démonstrations avec équations

Démonstration par sommation

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des entiers – Méthode des différences

>>> Somme des carrés – Méthode des différences

>>> Somme des carrés – Méthode de la sommation

 

 

 

 

 

Somme des entiers à une puissance

DÉMONSTRATION avec ÉQUATIONS

Méthode des différences

 

Nous abordons le troisième type de démonstration des formules donnant la somme des entiers, des carrés, des cubes, etc.

 

Variante de la démonstration directe consistant à:

*    observer les valeurs de départ pour n = 1, 2, 3 …

*    noter leurs différences successives;

*    déterminer la forme de l'équation correspondante; et

*    calculer les coefficients de l'équation.

 

 

 

Somme des entiers – Méthode des différences

 

Table des différences

Sn est la somme (le cumul) des nombres de 1 à n.

D1 est la différence entre le nombre au-dessus et le précédent.

D2 est la seconde différence. Elle est constante et égale à 1.

 

La somme des entiers est quadratique (du deuxième degré) car D2  = constante.

Sn = ax² + bx + c

Valeurs prises par Sn pour n= 1, 2 et 3

S0 = 0 =  a(0)² + b(0) + c = c

S1 = 1 =  a(1)² + b(1) + 0 = a + b

S2 = 3 =  a(2)² + b(2) + 0 = 4a + 2b

Résolution

     S2 =    3 =   4a + 2b

–2 S1 = –2 = – 2a – 2b

                1 = 2a

Équation

c = 0

a = 1/2

b = 1/2

Sn = 1/2x² + 1/2x = ½ x ( x + 1)

Voir  Machines de Babbage / Différences secondes constantes

 

 

Somme des carrés – Méthode des différences

 

Table des différences

Sn2 est la somme (le cumul) des carrés des nombres de 1 à n.

Di sont les différences successives.

D2 est constante 

La somme des carrés des entiers est du troisième degré car D3  = constante.

Sn2 = ax3 + bx2 + cx + d

Valeurs prises par Sn2 pour n= 1, 2, 3 et 4

S02 = 0 = d

S12 = 1 = a + b + c

S22 = 5 = 8a + 4b + 2c

S32 = 14 = 27a + 9b + 3c

Résolution du système d'équations

Équation

Voir  Même chose avec différences finies et coefficients binomiaux /
Somme de produits – Méthode des différences

 

 

Bilan

La même méthode s'applique au calcul des puissances d'ordre supérieur.

 

 

 

Somme des carrés – Méthode de la sommation

Méthode originale qui passe d'abord par

la somme des cubes

pour en déduire la somme des carrés.

Somme des cubes de rang n comme somme de ceux de rang n + 1 moins le cube du dernier.

Justification de cette formule
avec un exemple: n = 3.

Notez que 0k = 0; ne pas confondre avec 0! = 1

03 + 13 + 23 + 33  = 13 + 23 + 33

= (0+1)3 + (1+1)3 + (2+1)3 + (3+1)3 – 43

=     13    +    23     +    33     +    43      43

= 13 + 23 + 33

Développement de (k + 1) au cube (identité remarquable du cube).

 

(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

 

Remplaçons la somme en k+1 par celle en k (égalité vue ci-dessus en bleu).

Les termes en k au cube s'éliminent.

 

Et, en évaluant le terme en carré:

 

En développant:

Notez que somme de 0 à n des "1" vaut bien n+1 et non n (le 1 en position 0 compte).

Collecte des termes semblables:

En divisant par 3:

 

Merci à G.S. pour sa lecture attentive

 

Bilan

Il se trouve que cette méthode marche pour toutes les puissances supérieures et y compris pour la somme des entiers.

 

 

 

 

Retour

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Suite

*  Somme des entiers

*  Somme de cube – Général 

*  Somme de cubes – Table 

*  Somme des impairs, carré et cubes    

*  Somme de produits – Méthode des différences

Aussi

*  Somme des nombresRécapitulatif

*  Somme des chiffres

*  Démonstration par récurrence - Principe

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