NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Addition

SOMMES des entiers, carrés  DÉMONSTRATIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

de 1 à n

 

Addition

 

Identités

 

 

Démonstrations directes

Démonstrations par induction

Démonstrations avec équations

Démonstration par sommation

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes Rappel

>>> Entiers

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Puissance 4

 

 

 

 

 

 

SOMME des NOMBRES

Démonstrations

 

Méthode générale pour calculer la somme des entiers, des carrés, des cubes, etc. Elle repose sur l'utilisation d'une équation bien choisie au départ.

 

N'oubliez pas que la méthode la plus simple pour calculer la somme des entiers est encore la méthode utilisée par Gauss enfant.

 

Voir  Démonstration par induction / Principe de cette démonstration

 

 

 

RAPPEL des formules pour les SOMMES

Entiers

1 + 2 + 3 …

= 1/2 n (n + 1) = Tn

Carrés

12 + 22 + 32

= 1/6 n (n + 1)(2n + 1)

Cubes

13 + 23 + 33 

= Tn2

Puissance 4

14 + 24 + 34 

= 1/30 n (n + 1) (2n + 1) (3n² + 3n – 1)

 

 

ENTIERS

 

Nous cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à n

Sn = 1 + 2 + 3 … + n

 

 

 

 

Principe

Nous avons besoin d'un point de départ (d'une astuce).

Nous la trouvons le développement du carré de la somme de deux nombres:

(a + b = a²+ 2ab + b²

Ici, on prendra deux nombres successifs:

a et a + 1, ce qui donne: b = 1

Un astucieux effet de sommes successives va ensuite, faire disparaître pratiquement tous les termes au carré.

 

Calcul

 

Équation de départ

(a + 1)²

= a² + 2a + 1

Mettons sous cette forme

(a + 1)² –   

= 2a + 1

Calculons pour a = 1

2² –   

= 2.1 + 1

Pour a = 2

3² –   

= 2.2 + 1

Pour a = 3

4² –   

= 2.3 + 1

Ainsi de suite

 

Jusqu'à a = n

(n + 1)² –   

= 2.n + 1

Somme de toutes ces lignes (marron). Dans la colonne de  gauche, les carrés s'éliminent deux à deux.

(n + 1)² –   

= 2 (1 + 2 + 3 +… n) +

(1 + 1 + 1n fois)

= 2A + B

Première parenthèse (A)

A

= (1+2+3+…n)

= n

= la somme cherchée

Seconde parenthèse B): la somme de n fois 1 est n

B

= (1 + 1 + 1n fois)

= n

Reprenons notre somme

(n + 1)² –   

= 2A + B

= 2. n + n

En arrangeant

2.n

= (n + 1)² –    1² –    n

= n² + 2n + 1 – 1      n

= n² + n

= n(n + 1)

Et finalement

n

= 1/2 n(n + 1)

Vérification avec n = 1

n = 1

= 1/2 x 1 x2

= 1

 

 

 

 

CARRÉS

 

Nous cherchons la valeur de la somme des carrés des entiers naturels jusqu'à n.

Sn = 1² + 2² + 3² … +

 

 

 

 

Principe

Même principe que pour les entiers. Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du cube de la somme de deux nombres:

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2  + b3

Toujours avec b = 1

Calcul

 

 

 

Équation de départ

(a + 1)3

= a3 + 3a2 + 3a  + 1

Mettons sous cette forme

(a + 1)3    a3

= 3a2 + 3a  + 1

Calculons pour a = 1

23    13

= 3.12  + 3.1  + 1

Pour a = 2

33    23

= 3.22  + 3.2  + 1

Pour a = 3

43    33

= 3.32  + 3.3  + 1

Ainsi de suite

 

Jusqu'à a = n

(n + 1)3    n3

= 3n2 + 3n  + 1

Somme de toutes ces lignes

Colonne de  gauche: les carrés s'éliminent deux à deux

(n + 1)3    13

= 3(1² + 2² + 3² … + n² )

+ 3 (1 + 2 + 3 +… n) +

(1 + 1 + 1n fois)

= 3A + 3B + C

 

A

= (1² + 2² + 3² … + n² )

=

= la somme cherchée

 

B

= (1 + 2 + 3 + … n)

= n

= 1/2 n(n + 1)

 

C

= (1+1+1n fois)

= n

Reprenons notre somme

(n + 1)3    1

= 3A + 3B + C

= 3. + 3/2 n(n + 1) + n

En arrangeant

3.

6.

= (n + 1)3    1 –    3/2 n(n + 1) –    n

= 2(n + 1)3    2 –    3 n(n + 1) –    2n

= 2(n3 + 3 n² + 3n + 1) – 2 – 3n² – 3n – 2n

= 2n3 + 3n² + n

= n (2n² + 3n + 1)

= n (n + 1) (2n + 1)

Et finalement

= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

Vérification avec n = 1

n² = 1

= 1/6 x 1 x 2 x 3

= 1

 

 

CUBES

 

Nous cherchons la valeur de la somme des cubes des entiers naturels jusqu'à n.

 

Sn = 13 + 23 + 33 … + n3

 

 

 

 

Principe

Vous l'avez compris

Pour le cube, on prend la puissance supérieure. On se souvient du triangle de Pascal.

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Soit le développement de la puissance 4

(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4

Toujours avec b = 1

Calcul

 

 

 

Équation de départ

(a + 1)4

= a4 + 4a3 + 6a2 + 4a + 1

Mettons sous cette forme

(a + 1)4    a4

= 4a3 + 6a2 + 4a + 1

Calculons pour a = 1

24    14

= 4.13 + 6.12 + 4.1 + 1

Pour a = 2

34    24

= 4.23 + 6.22 + 4.2 + 1

Pour a = 3

44    34

= 4.33 + 6.32 + 4.3 + 1

Ainsi de suite

 

Jusqu'à a = n

(n + 1)4    n4

= 4n3 + 6n2 + 4an+ 1

Somme de toutes ces lignes

Colonne de  gauche:  les carrés s'éliminent deux à deux

(n + 1)4    14

= 4(13 + 23 + 33 … + n3 )

6(1²+2²+3² … + n² )

+ 4 (1+2+3+…n) +

(1+1+1n fois)

= 4A + 6B + 4C + D

 

A

= (13 + 23 + 33 … + n3 )

= n3

= la somme cherchée

 

B

= (1²+2²+3² … + n² )

=

= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

 

C

= (1+2+3+…n)

= n

= 1/2 n(n + 1)

 

D

= (1+1+1n fois)

= n

Reprenons notre somme

(n + 1)4    1

= 4A + 6B + 4C + D

= 4.n3 + 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + 4/2 n(n + 1) + n

En arrangeant

Etc.

4.n3

= (n + 1)4    1     n(n + 1)(2n + 1)

    2 n(n + 1) –    n

Et finalement

n3

= { 1/2 n(n+1)}²

Vérification avec n = 1

n3 = 1

= (1/2 x 1 x 2)²

= 1

 

 

PUISSANCE 4

 

Nous cherchons la valeur de la somme des cubes des entiers naturels jusqu'à n.

 

Sn = 14 + 24 + 34 … + n4

 

 

 

 

Principe

Triangle de Pascal:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Soit le développement de la puissance 5:

(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5a b4 + b5

Avec b = 1

Calcul

 

 

 

Équation de départ

(a + b)5

= a5 + 5a4 + 10a3 + 10a2 + 5a + 1

Mettons sous cette forme

(a + b)5    a5

= 5a4 + 10a3 + 10a2 + 5a + 1

Calculons pour a = 1

25    15

= 5.14 + 10.13 + 10.12 + 5.1 + 1

Pour a = 2

35    25

= 5.24 + 10.23 + 10.22 + 5.2 + 1

Pour a = 3

45    35

= 5.34 + 10.33 + 10.32 + 5.3 + 1

Ainsi de suite

 

Jusqu'à a = n

(n + 1)5    n5

= 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n + 1

Somme de toutes ces lignes

Colonne de  gauche:  les carrés s'éliminent deux à deux

(n + 1)5    15

N

= 5.n4 + 10.n3 + 10.n2 + 5.n + n

= 5S + 10A + 10B + 5C + n

 

S

= n4

= la somme cherchée

 

A

= n3

= { 1/2 n(n+1)}²

 

B

=

= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

 

C

= n

= 1/2 n(n + 1)

Calculons avec un peu d'ordre !

 

 

Vérification avec n = 1

5.n4 = 5

= 1 + 5/2 + 5/3 - 1/6

= 5

Et finalement, la formule

n4

= 1/30 (6n5 + 15n4 + 10n3 - n)

= 1/30 n (n+1) (2n+1) (3n²+3n–1 )

Notons que dans cette formule se trouve celle des carrés

n4

= 1/30 n (n+1) (2n+1) (3n²+3n-1)

= 1/5 {1/6 n (n+1) (2n+1)} (3n²+3n-1)

= 1/5 (3n²+3n-1) . n2

 

 

Suite

Outre l'aspect laborieux, il est possible d'étendre ce principe à toutes les puissances.

 

 

 

 

Suite

*    Démonstartion par induction

*    Puissances

*    Somme des nombres de 1 à nIndex

Voir

*    Carrés

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifsIndex

*    Nombres géométriques

*    Théorèmes

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