NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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SOMME des NOMBRES

Démonstrations directes

Méthode générale pour calculer la somme des entiers, des carrés, des cubes, etc. Elle repose sur l'utilisation d'une équation bien choisie au départ.

N'oubliez pas que la méthode la plus simple pour calculer la somme des entiers est encore la méthode utilisée par Gauss enfant.

Voir Démonstration par induction / Principe de cette démonstration

RAPPEL des formules pour les SOMMES
Entiers	1 + 2 + 3 …	= 1/2 n (n + 1) = Tn
Carrés	1^2 + 2^2 + 3^2 …	= 1/6 n (n + 1)(2n + 1)
Cubes	1^3 + 2^3 + 3^3 …	= Tn^2
Puissance 4	1^4 + 2^4 + 3^4 …	= 1/30 n (n + 1) (2n + 1) (3n² + 3n – 1)

Voir Toutes les formules pour les sommes

ENTIERS
Nous cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à n Sn = 1 + 2 + 3 … + n
Principe Nous avons besoin d'un point de départ (d'une astuce). Nous la trouvons dans le développement du carré de la somme de deux nombres: (a + b)² = a²+ 2ab + b² Ici, on prendra deux nombres successifs: a et a + 1, ce qui donne: b = 1 Un astucieux effet de sommes successives va ensuite, faire disparaître pratiquement tous les termes au carré.
Calcul
Équation de départ	(a + 1)²	= a² + 2a + 1
Mettons sous cette forme	(a + 1)² – a²	= 2a + 1
Calculons pour a = 1	2² – 1²	= 2.1 + 1
Pour a = 2	3² – 2²	= 2.2 + 1
Pour a = 3	4² – 3²	= 2.3 + 1
Ainsi de suite	…
Jusqu'à a = n	(n + 1)² – n²	= 2.n + 1
Somme de toutes ces lignes (marron). Dans la colonne de gauche, les carrés s'éliminent deux à deux.	(n + 1)² – 1²	= 2 (1 + 2 + 3 +… n) + (1 + 1 + 1n fois) = 2A + B
Première parenthèse (A)	A	= (1+2+3+…n) = n = la somme cherchée
Seconde parenthèse B): la somme de n fois 1 est n	B	= (1 + 1 + 1n fois) = n
Reprenons notre somme	(n + 1)² – 1²	= 2A + B = 2. n + n
En arrangeant	2.n	= (n + 1)² – 1² – n = n² + 2n + 1 – 1 – n = n² + n = n(n + 1)
Et finalement	n	= 1/2 n(n + 1)
Vérification avec n = 1	n = 1	= 1/2 x 1 x2 = 1

Voir Démonstration semblable, plus courte

CARRÉS
Nous cherchons la valeur de la somme des carrés des entiers naturels jusqu'à n. Sn = 1² + 2² + 3² … + n²
Principe Même principe que pour les entiers. Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du cube de la somme de deux nombres: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3 Toujours avec b = 1
Calcul
Équation de départ	(a + 1)^3		= a^3+ 3a^2 + 3a + 1
Mettons sous cette forme	(a + 1)^3 – a^3		= 3a^2 + 3a + 1
Calculons pour a = 1	2^3 – 1^3		= 3.1^2 + 3.1 + 1
Pour a = 2	3^3 – 2^3		= 3.2^2 + 3.2 + 1
Pour a = 3	4^3 – 3^3		= 3.3^2 + 3.3 + 1
Ainsi de suite	…
Jusqu'à a = n	(n + 1)^3 – n^3		= 3n^2 + 3n + 1
Somme de toutes ces lignes Colonne de gauche: les cubes s'éliminent deux à deux	(n + 1)^3 – 1^3		= 3(1² + 2² + 3² … + n² ) + 3 (1 + 2 + 3 +… n) + (1 + 1 + 1n fois) = 3A + 3B + C
	A		= (1² + 2² + 3² … + n² ) = n² = la somme cherchée
	B		= (1 + 2 + 3 + … n) = n = 1/2 n(n + 1)
	C		= (1+1+1n fois) = n
Reprenons notre somme	(n + 1)^3 – 1		= 3A + 3B + C = 3.n² + 3/2 n(n + 1) + n
En isolant la somme n²	3.n²		= (n + 1)^3 – 1 – 3/2 n(n + 1) – n
En arrangeant	6.n²		= 2(n + 1)^3 – 2 – 3 n(n + 1) – 2n = 2(n^3 + 3 n² + 3n + 1) – 2 – 3n² – 3n – 2n = 2n^3 + 3n² + n = n (2n² + 3n + 1) = n (n + 1) (2n + 1)
Et finalement	n²		= 1/6 n(n + 1)(2n + 1)
Vérification avec n = 1	n² = 1		= 1/6 x 1 x 2 x 3 = 1

CUBES
Nous cherchons la valeur de la somme des cubes des entiers naturels jusqu'à n. Sn = 1^3 + 2^3 + 3^3 … + n^3
Principe Vous l'avez compris Pour le cube, on prend la puissance supérieure. On se souvient du triangle de Pascal. 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Soit le développement de la puissance 4 (a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4 Toujours avec b = 1
Calcul
Équation de départ	(a + 1)^4		= a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1
Mettons sous cette forme	(a + 1)^4 – a^4		= 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1
Calculons pour a = 1	2^4 – 1^4		= 4.1^3 + 6.1^2 + 4.1 + 1
Pour a = 2	3^4 – 2^4		= 4.2^3 + 6.2^2 + 4.2 + 1
Pour a = 3	4^4 – 3^4		= 4.3^3 + 6.3^2 + 4.3 + 1
Ainsi de suite	…
Jusqu'à a = n	(n + 1)^4 – n^4		= 4n^3 + 6n^2 + 4n+ 1
Somme de toutes ces lignes Colonne de gauche: les puissances 4 s'éliminent deux à deux	(n + 1)^4 – 1^4		= 4(1^3 + 2^3 + 3^3 … + n^3 ) 6(1²+2²+3² … + n² ) + 4 (1+2+3+…n) + (1+1+1n fois) = 4A + 6B + 4C + D
	A		= (1^3 + 2^3 + 3^3 … + n^3 ) = n^3 = la somme cherchée
	B		= (1²+2²+3² … + n² ) = n² = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)
	C		= (1+2+3+…n) = n = 1/2 n(n + 1)
	D		= (1+1+1n fois) = n
Reprenons notre somme	(n + 1)^4 – 1		= 4A + 6B + 4C + D = 4.n^3 + 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + 4/2 n(n + 1) + n
En arrangeant Etc.	4.n^3		= (n + 1)^4 – 1 – n(n + 1)(2n + 1) – 2 n(n + 1) – n
Et finalement	n^3		= { 1/2 n(n+1)}²
Vérification avec n = 1	n^3 = 1		= (1/2 x 1 x 2)² = 1

PUISSANCE 4
Nous cherchons la valeur de la somme des cubes des entiers naturels jusqu'à n. Sn = 1^4 + 2^4 + 3^4 … + n^4
Principe Triangle de Pascal: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Soit le développement de la puissance 5: (a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + b^5 Avec b = 1
Calcul
Équation de départ	(a + b)^5		= a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a + 1
Mettons sous cette forme	(a + b)^5 – a^5		= 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a + 1
Calculons pour a = 1	2^5 – 1^5		= 5.1^4 + 10.1^3 + 10.1^2 + 5.1 + 1
Pour a = 2	3^5 – 2^5		= 5.2^4 + 10.2^3 + 10.2^2 + 5.2 + 1
Pour a = 3	4^5 – 3^5		= 5.3^4 + 10.3^3 + 10.3^2 + 5.3 + 1
Ainsi de suite	…
Jusqu'à a = n	(n + 1)^5 – n^5		= 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1
Somme de toutes ces lignes Colonne de gauche: les puissances 5 s'éliminent deux à deux	(n + 1)^5 – 1^5 N		= 5.n^4 + 10.n^3 + 10.n^2 + 5.n + n = 5S + 10A + 10B + 5C + n
	S		= n^4 = la somme cherchée
	A		= n^3 = { 1/2 n(n+1)}²
	B		= n² = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)
	C		= n = 1/2 n(n + 1)
Calculons avec un peu d'ordre !
Vérification avec n = 1	5.n^4 = 5		= 1 + 5/2 + 5/3 - 1/6 = 5
Et finalement, la formule	n^4		= 1/30 (6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n) = 1/30 n (n+1) (2n+1) (3n²+3n–1 )
Notons que dans cette formule se trouve celle des carrés	n^4		= 1/30 n (n+1) (2n+1) (3n²+3n-1) = 1/5 {1/6 n (n+1) (2n+1)} (3n²+3n-1) = 1/5 (3n²+3n-1) . n^2

Suite

Outre l'aspect laborieux, il est possible d'étendre ce principe à toutes les puissances.

Voir Toutes les formules de sommes jusqu'à la puissance 20

Merci à Jean Bétréma pour ses indications

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Suite	Démonstration par induction Somme des entiers = -1/12 ? Division des polynômes sans effectuer la division Puissances de 2, 3, … n Somme des nombres de 1 à n – Index Somme des entiers
Voir	Carrés Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs – Index Nombres géométriques Théorèmes
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