NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES des entiers, carrés  DÉMONSTRATIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

de 1 à n

 

Addition

 

Identités

 

 

Démonstrations directes

Démonstrations par induction

Démonstrations avec équations

Démonstration par sommation

 

Sommaire de cette page

>>> Entiers

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Extension à la somme des cubes des impairs

>>> Cube différence de carrés

 

 

 

 

 

SOMME des NOMBRES

Démonstrations par induction

 

Le principe est simple: si la propriété est vraie au départ et si elle est vraie pour tout successeur, alors elle est vraie pour tout le monde.

Voir  Démonstration par induction

 

 

ENTIERS

 

Affirmation: somme des entiers

 

1 + 2 + … + n = ½ n (n + 1) = Tn

Tn  = nombre triangulaire

Démonstration par induction

Voir Principe de la démonstration par induction

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = ½ x 1 (1 + 1)

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement, nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

1 + 2 + … + n + (n + 1)

= ½ n (n + 1) + (n + 1)

= ½ { (n² + n) + (2n + 2)

= ½ { n² + 3n + 2 }

= ½ { n (n +1) + 2 (n + 1) }

= ½   (n + 1) (n + 2)

Exemple n = 9

1+2+3+4+5+6+7+8+9

= ½ x 9 x 10 = 45

Extension à la somme des pairs et autres multiples

 

Même principe pour les multiples de 3 ou de k.

2 + 4 + … + 2n

= 2 (1 + 2 + … + n)

= 2 x { ½ n(n + 1) }

= n (n + 1)

Exemple n = 4 (jusqu'au nombre pair 8)

2 + 4 + 6 + 8 = 4 x 5 = 20

Extension à la somme des impairs

1 + 3 + … + (2n – 1)

= 2 + 4 + … + 2n

  –1  – 1  – …  – 1

= n (n + 1) – n

= n²

Exemple n = 4 (jusqu'au nombre impair 7)

1 + 3               =   4 = 2²

1 + 3 + 5         =   9 = 3²

1 + 3 + 5 + 7   = 16 = 4² 

Voir Sommes des nombres pairs / des impairs

Merci à Julien P. et Christian A.

 

 

CARRÉS

 

Affirmation: somme des carrés

 

1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = 1/6 x 1 (1 + 1) (2 + 1)

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

Évidemment la conduite des opérations est guidée par la connaissance du résultat à obtenir.

1² + 2² + … + n² + (n + 1)²

= 1/6 n (n + 1) (2n + 1) + (n + 1)²

= 1/6 { n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)² }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n² + 12n + 6 }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n (n + 1) + 6 (n+ 1) }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + (n + 1) ( 6n + 6) }

= 1/6   (n + 1) (2n² + n + 6n + 6)

= 1/6   (n + 1)  { 2n (n + 2 ) + 3 (n + 2) }

= 1/6   (n + 1)         (n + 2 ) (2n + 3)

Exemple n = 3

1² + 2² + 3² = 1/6 x 3 x 4 x 7 = 14 = 1 + 4 + 9

Voir Nombres carrés

 

 

CUBES – Théorème de Nicomaque

 

Affirmation: somme des cubes

Voir Cubes

13 + 23 + … + n3 = { ½ n (n + 1) } ²

                           = {1 + 2 + ... + n} ²

Notez la ressemblance avec la somme des entiers

Notation compacte

Exemple typique

  10 =            1 + 2 + 3 + 4

100 = 10² = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43

Nicomaque de Gérase

(60 à 120 ?)

Gérase en Jordanie

Mathématicien et philosophe.

Introduction à l'arithmétique:

*    Définition des nombres pairs et impairs,

*    Définition des nombres premiers et composés

*    Identification des quatre premiers nombres parfaits.

Il remarque qu'en ajoutant les nombres impairs par paquets (1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, 13 + 15 + 17 + 19…), on obtient les cubes successifs des entiers naturels (13, 23, 33, 43…).

Démonstration par induction

 

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = { ½ x 1 (1 + 1) }²

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

13 + 23 + … + n3 + (n + 1)3

= { ½ n (n + 1) } ² + (n + 1)3

= ¼ { n² (n + 1)² + 4 (n + 1)3 }

= ¼ { n4 + 2n3 + n2 + 4n3 + 12n2 + 12n + 4 }

= ¼ { n4 + 6n3 + 13n2 + 12n + 4 }

= ¼ { n² (n² + 2n + 1) + 4n (n² + 2n + 1)
+ 4(n² + 2n + 1) }

= ¼ { (n² + 2n + 1) (n² + 4n + 4) }

= ¼ { (n + 1)² (n + 2)² }

Exemple n = 3

13 + 23 + 33 = (1/2 x 3 x 4)² = 6² = 36 = 1 + 8 + 27

Somme des NOMBRES successifs au cube pour k de 1 à 50

1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081, 608400, 672400, 741321, 815409, 894916, 980100, 1071225, 1168561, 1272384, 1382976, 1500625, 1625625, ...

Voir Carré = Somme de cubes (suite) / Somme de cubes – Table

 

 

Extension à la somme des cubes des impairs

La somme des cubes est égale à la somme des impairs et des pairs.

Somme des n = 2k premiers nombres.

   13 + 23 + 33 + …  + (2k – 1)3 + (2k)3

= 13         + 33 + …  + (2k – 1)3

        + 23         + …                    + (2k)3

Écriture simplifiée.

Somme des nombres pairs de 1 à n = 2k

Somme des nombres impairs de 1 à m = 2k – 1.

S2k = P2k + I2k-1

Or la somme des pairs peut s'exprimer en fonction de celle des entiers

P2k = 23 + 43  + … + (2k)3

      = 23 (13 + 23 + … + k3 )

      = 23 Sk

Exprimons la somme des cubes des impairs

I2k-1  = S2k – P2k

        = S2k – 23 Sk

Autrement dit, avec la formule de la somme des cubes:

Sk   = 1/4     (k (k + 1))²

S2k = 1/4   (2k (2k + 1))²

I2k-1  = 1/4 (2k(2k+1))² – 8/4 (k(k+1)

        = 1/4 (4k²(4k²+4k+1) – 8k²(k²+2k+1))

        = 4k4+4k3+k2 – 2k4–4k3–2k2

        = 2k4 – k2

        = k² (2k2 – 1)

Exemple avec k = 2, soit deux termes

I2x2-1 = I3  = 2² (2x2² – 1) = 4x7 = 28

               = 13 + 33 = 1 + 27 = 28

k = 3, soit trois termes

I5  = 3² (2x3² – 1) = 9x17 = 153

    = 13 + 33 + 53 = 153

 

Somme des IMPAIRS successifs au cube pour k de 1 à 50

1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, 29161, 41328, 56953, 76636, 101025, 130816, 166753, 209628, 260281, 319600, 388521, 468028, 559153, 662976, 780625, 913276, 1062153, 1228528, 1413721, 1619100, 1846081, 2096128, 2370753, 2671516, 3000025, 3357936, 3746953, 4168828, 4625361, 5118400, 5649841, 6221628, 6835753, 7494256, 8199225, 8952796, 9757153, 10614528, 11527201, 12497500, ...

Somme des PAIRS successifs au cube pour k de 1 à 50

8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, 34848, 48672, 66248, 88200, 115200, 147968, 187272, 233928, 288800, 352800, 426888, 512072, 609408, 720000, 845000, 985608, 1143072, 1318688, 1513800, 1729800, 1968128, 2230272, 2517768, 2832200, 3175200, 3548448, 3953672, 4392648, 4867200, 5379200, 5930568, 6523272, 7159328, 7840800, 8569800, 9348488, 10179072, 11063808, 12005000, 13005000, ...

 

 

 

Cube différence de carrés

 

Affirmation: cube = diférence de deux carrés

 

n3  = a² – b²

Démonstration

 

 

Écrivons simplement cette égalité

n3 = { 13 + 23 + …                + n3 }

     - { 13 + 23 + … + (n – 1)3         }

Exprimons les deux termes comme la somme des cubes

n3 = { ½ n (n+1) }² - { ½ (n – 1) n }²

 

Exemple avec  = 4

43 =  { ½ x 20}² - { ½ x 12}²

    = 10² - 6² = 100 – 36 = 64

 

 

 

 

 

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*  Somme des impairs, carré et cubes

Voir

*  Somme des entiers: démonstrations alternatives

Aussi

*  Somme des nombresRécapitulatif

*  Somme des chiffres

*  Démonstration par récurrence - Principe

Site

*   Somme des n premiers cubes – Wikipédia

*   OEIS A000537 - Sum of first n cubes; or n-th triangular number squared

*  OEIS A002593 – a(n) = n^2*(2*n^2 - 1); also Sum_{k=0..n-1} (2k+1)^3

*  OEIS A254371 – Sum of cubes of the first n even numbers

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