NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/11/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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	Sommaire de cette page >>> Entiers >>> Carrés >>> Cubes >>> Extension à la somme des cubes des impairs >>> Cube différence de carrés

ENTIERS

Affirmation

Somme des entiers

1 + 2 + … + n = ½ n (n + 1)

Somme des entiers: Démonstration par induction

Pour n =1, C'est vrai	1 = ½ x 1 (1 + 1)
Supposons la formule vraie pour n L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1	1 + 2 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1) = ½ { (n² + n) + (2n + 2) = ½ { n² + 3n + 2 } = ½ { n (n +1) + 2 (n + 1) } = ½ (n + 1) (n + 2)
Exemple n = 9	1+2+3+4+5+6+7+8+9 = ½ x 9 x 10 = 45

Extension à la somme des pairs et autres multiples

Somme des nombres pairs	2 + 4 + … + 2n = 2 ( 1 + 2 + … + n) = 2 x { ½ n(n + 1) } = n (n + 1)
Exemple n = 4	2+4+6+8 = 4 x 5 = 20

Même principe pour les multiples de 3 ou de k

Extension à la somme des impairs

Somme des nombres impairs	1 + 2 + … + (2n + 1) = 2 + 4 + … + 2n -1 - 1 - … - 1 = n (n + 1) – n = n²
Exemples	1 + 3 = 4 = 2² … + 5 = 9 = 3² … + 7 = 16 = 4²

Voir Principe de la démonstration par induction

CARRÉS

Affirmation

Somme des carrés

1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

Démonstration par induction

Pour n =1, C'est vrai	1 = 1/6 x 1 (1 + 1) (2 + 1)
Supposons la formule vraie pour n L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1 Évidemment la conduite des opérations est guidée par la connaissance du résultat à obtenir	1² + 2² + … + n² + (n + 1)² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1) + (n + 1)² = 1/6 { n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)² } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n² + 12n + 6 } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n (n + 1) + 6 (n+ 1) } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + (n + 1) ( 6n + 6) } = 1/6 (n + 1) (2n² + n + 6n + 6) = 1/6 (n + 1) { 2n (n + 2 ) + 3 (n + 2) } = 1/6 (n + 1) (n + 2 ) (2n + 3)
Exemple n = 3	1² + 2² + 3² = 1/6 x 3 x 4 x 7 = 14 = 1 + 4 + 9

CUBES

Affirmation

Somme des cubes

1³ + 2³ + … + n³ = { ½ n (n + 1) } ²

= {1 + 2 + ... + n} ²

Notez la ressemblance avec la somme des entiers

Démonstration par induction

Pour n =1, C'est vrai	1 = { ½ x 1 (1 + 1) }²
Supposons la formule vraie pour n L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1	1^3 + 2^3 + … + n^3 + (n + 1)^3 = { ½ n (n + 1) } ² + (n + 1)^3 = ¼ { n² (n + 1)² + 4 (n + 1)^3 } = ¼ { n^4 + 2n^3 + n^2 + 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 } = ¼ { n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 12n + 4 } = ¼ { n² (n² + 2n + 1) + 4n (n² + 2n + 1) + 4(n² + 2n + 1) } = ¼ { (n² + 2n + 1) (n² + 4n + 4) } = ¼ { (n + 1)² (n + 2)² }
Exemple n = 3	1^3 + 2^3 + 3^3 = (1/2 x 3 x 4)² = 6² = 36 = 1 + 8 + 27

Extension à la somme des cubes des impairs

La somme des cubes est égale à la somme des impairs et des pairs	1^3 + 2^3 + 3^3 + … + (2k – 1)^3 + (2k)^3 = 1^3 + 3^3 + … + (2k – 1)^3 + 2^3 + … + (2k)^3
Écriture simplifiée	S2k-1 = I2k-1 + P2k
Or la somme des pairs peut s'exprimer en fonction de celle des entiers	P2k = 2^3 + 4^3 + … + (2k)^3 = 2^3 (1^3 + 2^3 + … + k^3 ) = 2^3 Sk
Exprimons la somme des cubes des impairs	I2k-1 = S2k-1 - P2k = S2k-1 – 2^3 Sk
Autrement dit, avec la formule de la somme des cubes	I2k-1 = { ½ (2k – 1) (2k) } ² - 8 { ½ k (k + 1) } ² = ¼ (4k² - 4k +1) 4k² - 2 (k² + k)² = 4k^4 – 4k^3 + k² - 2k^4 – 4k^3 – 2k² = 2k^4 - k² = k² (2k² - 1)
Exemple avec k = 2 soit n = 4 – 1 = 3	I3 = 2² (2 x 2² - 1) = 28 or 1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28

Cube différence de carrés

Affirmation

Cube = Différence de deux carrés

n³ = a² - b²

Démonstration

Écrivons simplement cette égalité	n^3 = { 1^3 + 2^3 + … + n^3 } - { 1^3 + 2^3 + … + (n – 1)^3 }
Exprimons les deux termes comme la somme des cubes	n^3 = { ½ n (n+1) }² - { ½ (n – 1) n }²
Exemple avec = 4	4^3 = { ½ x 20}² - { ½ x 12}² = 10² - 6² = 100 – 36 = 64

Suite	Somme de cube – Général Somme de cubes – Table Somme des impairs, carré et cubes
Voir	Somme des entiers: démonstrations alternatives
Aussi	Somme des nombres – Récapitulatif Somme des chiffres Démonstration par récurrence - Principe