NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES des entiers, carrés  DÉMONSTRATIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

de 1 à n

 

Addition

 

Identités

 

 

Démonstrations directes

Démonstrations par induction

Démonstrations avec équations

Démonstration par sommation

 

Sommaire de cette page

>>> Entiers

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Extension à la somme des cubes des impairs

>>> Cube différence de carrés

 

 

 

 

 

SOMME des NOMBRES

Démonstrations par induction

 

Le principe est simple: si la propriété est vraie au départ et si elle est vraie pour tout successeur, alors elle est vraie pour tout le monde.

Voir  Démonstration par induction

 

 

ENTIERS

 

Affirmation: somme des entiers

 

1 + 2 + … + n = ½ n (n + 1)

Démonstration par induction

Voir Principe de la démonstration par induction

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = ½ x 1 (1 + 1)

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement, nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

1 + 2 + … + n + (n + 1)

= ½ n (n + 1) + (n + 1)

= ½ { (n² + n) + (2n + 2)

= ½ { n² + 3n + 2 }

= ½ { n (n +1) + 2 (n + 1) }

= ½   (n + 1) (n + 2)

Exemple n = 9

1+2+3+4+5+6+7+8+9

= ½ x 9 x 10 = 45

Extension à la somme des pairs et autres multiples

 

Même principe pour les multiples de 3 ou de k.

2 + 4 + … + 2n

= 2 (1 + 2 + … + n)

= 2 x { ½ n(n + 1) }

= n (n + 1)

Exemple n = 4

2 + 4 + 6 + 8 = 4 x 5 = 20

Extension à la somme des impairs

1 + 2 + … + (2n + 1)

= 2 + 4 + … + 2n

  –1  – 1  – …  – 1

= n (n + 1) – n

= n²

Exemple n = 7

1  + 3 =    4 = 2²

… + 5 =   9 = 3²

… + 7 = 16 = 4² 

 

 

CARRÉS

 

Affirmation: somme des carrés

 

1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

 

 

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = 1/6 x 1 (1 + 1) (2 + 1)

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

Évidemment la conduite des opérations est guidée par la connaissance du résultat à obtenir.

1² + 2² + … + n² + (n + 1)²

= 1/6 n (n + 1) (2n + 1) + (n + 1)²

= 1/6 { n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)² }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n² + 12n + 6 }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n (n + 1) + 6 (n+ 1) }

= 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + (n + 1) ( 6n + 6) }

= 1/6   (n + 1) (2n² + n + 6n + 6)

= 1/6   (n + 1)  { 2n (n + 2 ) + 3 (n + 2) }

= 1/6   (n + 1)         (n + 2 ) (2n + 3)

Exemple n = 3

1² + 2² + 3² = 1/6 x 3 x 4 x 7 = 14 = 1 + 4 + 9

Voir Nombres carrés

 

 

CUBES – Théorème de Nicomaque

 

Affirmation: somme des cubes

Voir Cubes

13 + 23 + … + n3 = { ½ n (n + 1) } ²

                           = {1 + 2 + ... + n} ²

Notez la ressemblance avec la somme des entiers

Notation compacte

Exemple typique

  10 =            1 + 2 + 3 + 4

100 = 10² = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43

Nicomaque de Gérase

(60 à 120 ?)

Gérase en Jordanie

Mathématicien et philosophe.

Introduction à l'arithmétique:

*    Définition des nombres pairs et impairs,

*    Définition des nombres premiers et composés

*    Identification des quatre premiers nombres parfaits.

Il remarque qu'en ajoutant les nombres impairs par paquets (1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, 13 + 15 + 17 + 19…), on obtient les cubes successifs des entiers naturels (13, 23, 33, 43…).

Démonstration par induction

 

Pour n =1,

C'est vrai.

1 = { ½ x 1 (1 + 1) }²

Supposons la formule vraie pour n.

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

13 + 23 + … + n3 + (n + 1)3

= { ½ n (n + 1) } ² + (n + 1)3

= ¼ { n² (n + 1)² + 4 (n + 1)3 }

= ¼ { n4 + 2n3 + n2 + 4n3 + 12n2 + 12n + 4 }

= ¼ { n4 + 6n3 + 13n2 + 12n + 4 }

= ¼ { n² (n² + 2n + 1) + 4n (n² + 2n + 1)
+ 4(n² + 2n + 1) }

= ¼ { (n² + 2n + 1) (n² + 4n + 4) }

= ¼ { (n + 1)² (n + 2)² }

Exemple n = 3

13 + 23 + 33 = (1/2 x 3 x 4)² = 6² = 36 = 1 + 8 + 27

 

 

 

Extension à la somme des cubes des impairs

La somme des cubes est égale à la somme des impairs et des pairs

   13 + 23 + 33 + …  + (2k – 1)3 + (2k)3

= 13         + 33 + …  + (2k – 1)3

        + 23         + …                    + (2k)3

Écriture simplifiée

S2k = I2k-1 + P2k

Or la somme des pairs peut s'exprimer en fonction de celle des entiers

P2k = 23 + 43  + … + (2k)3

      = 23 (13 + 23 + … + k3 )

      = 23 Sk

Exprimons la somme des cubes des impairs

I2k-1  = S2k-1 - P2k

         = S2k-1 – 23 Sk

Autrement dit, avec la formule de la somme des cubes

I2k-1  = { ½ (2k – 1) (2k) } ² - 8 { ½ k (k + 1) } ²

         = ¼ (4k² - 4k +1) 4k²  - 2 (k² + k)²

         = 4k4 – 4k3 + k² - 2k4 – 4k3 – 2k²

         = 2k4           - k²

         = k² (2k² - 1)

 

Exemple avec k = 2

soit n = 4 – 1 = 3

I3      = 2² (2 x 2² - 1) = 28

or 13 + 33 = 1 + 27 = 28

 

 

Cube différence de carrés

 

Affirmation: cube = diférence de deux carrés

 

n3  = a² – b²

Démonstration

 

 

Écrivons simplement cette égalité

n3 = { 13 + 23 + …                + n3 }

     - { 13 + 23 + … + (n – 1)3         }

Exprimons les deux termes comme la somme des cubes

n3 = { ½ n (n+1) }² - { ½ (n – 1) n }²

 

Exemple avec  = 4

43 =  { ½ x 20}² - { ½ x 12}²

    = 10² - 6² = 100 – 36 = 64

 

 

 

 

 

Retour

*  Somme des entiers – Démonstration directe

Suite

*  Démonstrations avec équations

*  Somme des nombres de 1 à nIndex

*Somme de cube – Général 

*Somme de cubes – Table 

*  Somme des impairs, carré et cubes

Voir

*  Somme des entiers: démonstrations alternatives

Aussi

*  Somme des nombresRécapitulatif

*  Somme des chiffres

*  Démonstration par récurrence - Principe

Site

*  Somme des n premiers cubes – Wikipédia

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