NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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SOMMES de NOMBRES

 

Débutants

Sommes

Introduction

 

Glossaire

Addition

 

INDEX

 

Sommes

Somme-Produit Ch

Identités

Calcul

Types de nombres

Jeux et énigmes

Approche

Index et formules

Somme des entiers

Somme alternée

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes des entiers – Index

>>> Sommes des entiers – Formulaire

 

 

 

 

SOMMES de NOMBRES

 

Index et formules de base

 

Ne pas confondre

Partitions

Sommes

Ex: 125 = 3² + 4² + 10²

Ex: 100 = 13 + 23 + 33 + 43

>>>

>>>

 

 

SOMMES des entiers – Index

Général

 

 

*    AdditionDébutant

*    Somme des nombres de 1 à 100

                                               – Méthode de Gauss enfant

*    Identités remarquables – Formulaire

*    Nombres consécutifsIndex

*    Somme-Produit des chiffres Index

*    Somme du type 4 + 5 + 6 = 7 + 8   Voir Pépites

*    Suites et séries

*    Séries typiques

*    Progression arithmétique

*    Progression géométriques

 

Types de nombres

 

 

 

Nombres successifs

à la même puissance

Entiers

 

Puissances

 

Autres

 

*    Somme des inverses des pairs et des impairs au carré

*    Nombres proniques

*    Nombres triangulaires

*    Carrés somme de cubes

*    Division des factorielles

*    Nombres de Bell

*    Nombres de Bernoulli

*    Produit des impairs sur produit des multiples de 4

Puissances successives

 

Démonstrations

 

 

*      Démonstration par induction (récurrence)

*      Progression arithmétique

*      Progression géométrique

 

Tables

*    Tables  sur les puissancesIndex

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

 

 

 

Sommes des entiers – Formulaire

>>>

Entiers

1 + 2 + 3 +  … + n

>>>

  Pairs

2 + 4 + 6 +  … + 2n

= n (n + 1) = n² + n = 2Tn

>>>

  Impairs

1 + 3 + 5 +  … + (2n – 1)

= n2

Suite  Sommes des entiers

 

 >>>

Impairs - pairs

S = 1 – 2 + 3 – 4 + … +  n . ( –1)n+1

>>>

Pairs - Impairs

S = –1 + 2 – 3 + 4 – … +  n . ( –1)n

Suite  Sommes alternées des entiers

 

>>>

Thue-Morse

– 2² – 3² + 4² – 5² + 6² + 7² – 8²

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102

= 0

 

 

Sommes des inverses – Formulaire

 

>>>

Inverses

Série harmonique

Sh =  1/1 + 1/2 + 1/3 + … ® ¥

>>>

Inverses alternés

Série semi-harmonique

1/1 – 1/2 + 1/3 – …

= ln2 = 0,6931…

>>>

Inverses opposés

        (somme)

(1–1/2) + (1–1/3) + … + (1-1/n)

(1–1/2) + (1–1/3) + …

n – Sh

>>>

Inverses opposés

        (produit)

(1–1/2) x(1–1/3) x … x (1–1/n)

(1–1/2) x(1–1/3) x … ® ¥

= 1 / n

>>>

Impairs alternés

1 – 1/3 + 1/5 –     ® ¥

=  / 4 = 0,785…

 

Produits impairs

1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + 1/9.11 + … ® ¥

= n / 3(2n+3)

 

Produits combinés

1/1.3 + 1/2.5 + 1/3.7 + 1/4.9 + … ® ¥

= 2 – 2 ln2

 

Symétrique

1 + 2 +… (n-1) + n + (n-1) +…+ 2 + 1

= n²

 

>>>

Pronique

1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + n(n+1)

= 1/3 n(n+1)(n+2)

Produit de trois

1x2x3 + 2x3x4 … + n(n+1)(n+2)

= 1/4  n(n+1)(n+2)(n+3)

>>>

Puissances

1/1k + 1/2k +1/3k +1/4k +…

= (k)

>>>

1/2k

1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 8 + 1/16

= 2

 

 

 

Sommes des puissances – Formulaire

>>>

Carrés

1² + 2² + … + n²

>>>

1² + 2² + … + (n-1

>>>

À partir de a

avec k termes

a² + (a + 1)² + …

+ (a + k – 1)²

Suite Somme des carrés, des inverses des carrés …

 

 

>>>

Cubes

13 + 23 + … + n3

>>>

Bicarrés

14 + 24 + … + (n-1)4

>>>

Puissances d'un nombre

1 + a + a2 +…+ ak

>>>

Puissances de l'inverse

1 + 1/a + 1/a2 +…+ 1/ak

>>>

Puissance 5

15 + 25 + … + (n-1)5

>>>

Puissance quelconque

1m + 2m + … + (n-1)m

>>>

Puissance des inverses

 

>>>

Puissance de 2

1 + 2 + 22 + … + 2n

= 2n+1 – 1

>>>

Factorielle

1 + 1/1! + 1/2! + …

= e

Suite par Type de nombre

 

 

Formules diverses

 

 

Pyramide

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

S ligne n = n/2 (n²+1)

 

Pyramide impaire

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

S ligne n = n3

Voir Suite et démo / Pyramides et carrés

 

 

 

 

Suite

*    Somme des entiers

Voir

*    Bicarrés

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    FormulairesIndex

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Site

*    Table of Integrals, Series, and Products edited by Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger – pdf de 1220 pages

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