NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 30/05/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs

Pi / 5 = 36°

Cosécante

Cours première

Euler–Moivre

Pi / n

Linéarisation

 

Sommaire de cette page

>>> Cosinus Pi / 5

>>> Sinus      Pi / 5

>>> Cas de    Pi / 7

>>> Relations particulières

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Trigonométrie  de Pi / n

Calcul de:     

 

Nous allons donner la recette de calcul basée sur l'utilisation du triangle de Pascal. Le calcul est vite limité; par contre, cette méthode permet de relever quelques relations entre les fonctions trigonométriques de ces angles.

Voir  Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

 

 

 

Approche avec cos(Pi/5)

Triangle de Pascal jusqu'à la cinquième ligne (car n = 5).

 

Nous nous intéressons à la diagonale montante: 1, 3, 1

 

 

Note: on se souvient que la somme des nombres de telles diagonales est un nombre de Fibonacci.

 

Équation avec ces coefficients et en alternant les signes.

x² – 3x + 1 = 0

Racines de cette équation du second degré.

 

D = b² – 4ac = 9 – 4x1x1= 5

 

On sait que ces racines correspondent à 4 cos² de pi/5 et 2 pi / 5.

 

 

Soit les lignes trigonométriques

 

Recherche de carré pour éliminer la racine emboitée (anglais: nested)

Résultats
Phi est le nombre d'or

 

 

 

 

Suite pour sin (Pi/5)

Relation entre sinus et cosinus

En remplaçant

Résultat
Multiplication par 2 sous le radical pour sortir le dénominateur

 

Ici, impossible de supprimer le radical, comme pour le cosinus.

 

 

Cas de Pi /7

Triangle de Pascal jusqu'à la septième ligne (car n = 7).

Nous nous intéressons à la diagonale montante: 1, 5, 6, 1

 

 

 

Équation avec ces coefficients et en alternant les signes.

1x35x2 + 6x – 1 = 0

Racines de cette équation du troisième degré

Très complexe au sens mathématique et au sens propre.

Impossible d'en tirer des expressions avec radicaux

 

 

 

Seule possibilité, revenir a des expressions trigonométriques comportant des arcs tangentes.

 

 

Ces racines sont liées au cosinus carré.

 

Formule générale

 

 

Bien compliqué pour en arriver à ces résultats!

 

 

 

Avec 2Pi / 7 (pour info)**

Source: Théorie de Galois – Université Lyon I

 

 

 

Relations particulières

 

Nous avons vu que le triangle de Pascal permet d'écrire une équation dont les racines (xk) sont liées au cosinus des angles.

Revenons à l'exemple avec n = 7.

L'équation est donnée par la diagonale montante:

 

x35x2 + 6x – 1 = 0

 

Trois racines.

 

 

 

La théorie des racines des équations montre que ===>

 

On a fait passer le coefficient 4 à droite.

Pour le produit, il est possible de prendre la racine carrée.

 

Le coefficient du deuxième monôme (–5) est égal à moins la somme des racines:

 

 

Le coefficient du dernier monôme (–1) est égal au produit des racines au signe près: plus si le degré est pair et moins s'il est impair.

 

 

Autre exemple avec n = 10

 

x4 – 8x3 + 21x2 – 20x + 5 = 0

 

Quatre racines.

 

 

 

 

Voir Remarques sur les angles en Pi/7

 

 

Bilan

Nous avons notons l'extraordinaire puissance du triangle de Pascal à décrire les cosinus des angles en Pi/n.

Malheureusement, les équations sont vite d'un degré tel que le calcul des racines est très complexe.

Consolation: relations entre la somme des angles et entre les produits.  

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

*    Trigonométrie – Formulaire, identités, relations

Voir

*    Angles

*   Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Heptagone et Pi/7

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Sites

*    Table de lignes trigonométriques exactes – Wikipédia

*    Comment calculer les nombres réels cos(pi/n) grâce au triangle  de Pascal – Gecif 

*    Trigonometry Angles Pi/7MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/PisurN.htm