NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de NUMÉRATION

 

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Nombres

Les BASES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Numération

 

Index bases

Introduction

Maximum

Toutes les bases

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Bases quelconques

>>> Recherche de la base

>>> Exemple

>>> Plus de deux chiffres

>>> Tableau de valeurs

 

 

 

 

Bases de numération

 Plus grands nombres avec n chiffres

 

En base 10, le plus grand nombre à deux chiffres est 99. D'une manière générale, quels sont les plus grands nombres en base b formés par n chiffres.

 

 

 

 

Approche

 

*    Les plus grands nombres à n chiffres en décimal sont évidents: 9, 99, 999, 9999, …

*    La base étant b = 10, les chiffres impliqués dans la formation du maximum sont (n-1)

*    On écrit:

 

*      L'indice 10 rappelle la base de numération

*      Le trait en haut indique que les chiffres sont posés l'un à côté de l'autre  (concaténés); ce n'est pas une multiplication.

 

*    On se souvient que 99 est une écriture abrégée de:

99 = 9 x 10 + 9
ou plus exactement, en montrant l'utilisation de la base:
99 = 9 x 101 + 9 x 100

Ce qui nous amène à une remarque utile pour la suite:

99 = 9 (10 + 1) = 9 x 11
Ou encore:
99 = (10 – 1) (10 + 1) = 10² –  1

 

Voir Identité remarquable: (a-b)(a+b) = a² - b²

 

 

Bases quelconques

 

*    En base 8, nous aurions:

 

 

Conversion de ces nombres en décimal:

778 = 7 x 81 + 7 x 80 = 56 + 7 = 6310

7778 = 7 x 82 + 7 x 81 + 7 x 80 = 448 + 56 + 7 = 51110

 

*    En base 16, avec les conventions habituelles (15 est noté F), nous aurions:

 

 

Conversion de ces nombres en décimal:

FF16 = 15 x 161 + 15 x 160 = 240 + 15 = 25510

FFF16 = 15 x 162 + 15 x 161 + 15 x 160 = 3 840 + 240 + 15 = 4 09510

 

 

 

Recherche de la base

 

*    Nous savons que 63 exprimé en décimal  est le plus grand nombre à deux chiffres den base b. Retrouvez la base b.

*    Nous connaissons la réponse car ce cas est l'un des exemples ci-dessus: b = 8.

*    Approchons la formalisation de la recherche en s'appuyant sur l'exemple numérique

778 = 7 x 81 + 7 x 80 = 56 + 7 = 6310

778 = 7 x 8 + 7 x 1

778 = 7 (8 + 1)

778 = (8 – 1) (8 + 1) = 8² – 1 = 6310

 

*    Avec deux chiffres, se dégage une propriété intéressante (déjà remarquée avec 99):

 

Le plus grand nombre à deux chiffres est égal au carré de la base moins 1 en décimal.

 

 

 

 

Exemple de recherche de base

 

*    Recherchez la base pour laquelle le plus grand nombre à deux chiffres vaut 224 en décimal.

*    D'après notre remarque ci-dessus:

b² – 1 = 224

      = 225

b         =  15

 

*    Mais, reprenons la formulation exacte.

Notre expression

Son développement en base 10

Or

b1 = b    et    b0 = 1

En remplaçant

Identité remarquable

Application numérique

b² – 1 = 224

b        =   15

Expression de ce résultat

 

 

Plus de deux chiffres

 

*    Que devient notre belle propriété avec plus de deux chiffres?

Avec trois chiffres

Son développement en base 10

Mise en facteur commun

Et au-delà …

 

 

Tableau de valeurs typiques

 

*    Exemples de lecture:

 

77 est le plus grand nombre à deux chiffres en base 8; il vaut 63 en décimal.

 

BBBB est le plus grand nombre à quatre chiffre en base 12; il vaut 20 735 en base 10.

 

 Base

2

8

10

12

16

1

1 (1)

7 (7)

9

B (11)

F (15)

2

11 (3)

77 (63)

99

BB (143)

FF (255)

3

111 (7)

777 (511)

999

BBB (1 727)

FFF (4 095)

4

1111 (15)

7777 (4 095)

9 999

BBBB (20 735)

FFFF (65 535)

5

11111 (31)

77777 (32 767)

99 999

BBBBB (248 831)

FFFFF (1 048 575)

 

 

 

 

Suite

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Voir

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