NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Numération

 

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Sommaire de cette page

>>> Numération ternaire

>>> Tables de conversion

>>> Conversion ternaire classique à ternaire équilibrée

 

>>> Pesée binaire ou ternaire ?

>>> Historique

 

 

 

 

Base de numération

TERNAIRE (base 3)

Base utilisée lorsque les choses vont par trois. C'est le cas des pesées avec balance à plateaux avec trois issues: plateau gauche descend, plateau droit descend ou équilibre des plateaux.

La base ternaire est caractérisée par trois états notés classiquement par: {0, 1, 2}

Autre notation possible plus pratique pour certains emplois: { –1, 0,  +1 } ou { –, 0,  + } . Cette numération ternaire est dite équilibrée.

Anglais: Ternary system

 

 

 

Numération ternaire classique ou équilibrée

 

La numération ternaire classique, ou à base 3, utilise les chiffres: 0, 1 et 2.

On compte: 0, 1, 2, 10, 11, 20, 21, 22, 100 …

 

En binaire on parle de bit; en ternaire, les chiffres sont appelés: trit (trinary digit).

 

La numération ternaire équilibrée utilisé les chiffre { –1, 0, +1 }.

 

Le système nonaire (base 9) permet de regrouper les trits par deux. Un compactage de numération comme l'octal pour le binaire. 

 

 

    310 = 103

    910 = 1003

  2710 = 10003

  8110 = 100003

24310 = 1000003

 

810 = [2, 2]TC = [1, 0, -1]TE

      = 2x3 + 2x1 = 1x9 – 1x3

Usages

 

*      Mathématique avec {0, 1, 2} ou {négatif, nul, positif}.

*      Mathématique comparaison {inférieur, égal, supérieur)}.

*      Logique et jeux, comme les énigmes de pesées avec poids ou sans poids .

*      Physique pour caractérisé trois états {petit, moyen, grand}.

*      Électronique {négatif, neutre, positif}.

 

 

Table de conversion décimale / ternaire des nombres de 0 à 100

Voir TableIndex

 

 

Table de conversion décimale / ternaires classique et équilibré des nombres de -13 à +13

Voir Énigme de la pesée des douze billes et sa solution ternaire

 

 

 

Conversion ternaire classique à ternaire équilibrée

 

On passe de la version classique à la version équilibrée en ajoutant la constante: 111 … avec retenue (addition classique, mais ternaire) et en retirant 1 à chaque chiffre (sans retenue). Pour les nombres négatifs, la constante devient: [–1, –1, –1, …].

Le principe consiste à transformer tous les 2 en 3 – 1.

 

Exemples

 

 

 

 Pesée binaire ou ternaire ?

 

Binaire  (Leibniz)

Avec des poids de 1, 2, 4, 8 kg, donc en puissances de 2, il est possible de composer tous les poids de 1 à 15 kg en utilisant un seul poids de chaque catégorie.

 

Illustration

La valise pèse 4 + 2 + 1 = 7 kg

En binaire: {1, 1, 1}

 

Tableau des pesées

 

 

Ternaire ( Bachet)

Avec des poids de 1, 3, 9 et 27 kg, donc en puissances de 3, il est possible de peser jusqu'à 40 kg en utilisant les poids de chaque côté et, en utilisant un seul poids de chaque catégorie.

 

Illustration

La valise pèse 9 – 3 + 1 = 7 kg

En ternaire équilibré: {1, –1, 1}

 

Tableau des pesées

 

Exemple de conversion

{1, 1, –1, –1}3 = 27 + 9 – 3 – 1 = 3210

 

Commentaires

Avec le système ternaire à quatre chiffres, on peut compter de:

*      de {–1, –1, –1, –1} = –27 – 9 – 3 – 1 = –40

*      à   {1,  1,  1,  1} = 27 + 9 + 3 + 1 = 40

La moitié des valeurs sont négatives et ignorées dans le cas de la pesée et l'autre moitié positive. Soit, les 40 valeurs du tableau.

 

Conversion décimale du nombre en ternaire

Comme le binaire, la conversion décimale du ternaire s'obtient en multipliant chaque chiffre { –1, 0 ou +1}  par son poids (… 27, 9, 3, 1)

 

Anglais: Weighing with counterbalances

 

 

Historique

Leibniz a démontré qu'on pouvait faire toutes les pesées possibles avec une série de poids dont chacun est le DOUBLE du précédent. On ne dispose qu'un seul de chaque, évidemment.

Bachet a montré qu'on peut faire la même chose avec des poids TRIPLES, mais en utilisant les deux plateaux d'une balance.

 

Leibniz

Bachet

1

1

1

2

2

3 - 1

3

1 + 2

3

4

4

3 + 1

5

4 + 1

9 - 3 - 1

6

4 + 2

9 - 3

etc.

 

 

 

 

 

 

 

Retour

*    Binaire

Suite

*    Base 8 (octal)

*    Pesée de Bachet et Leibniz

*    Pesée avec des 4 et des 7

*    Poids et étiquettes mélangées

*    Pesée des nombres avec leurs diviseurs

*    Voir index en haut de page

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