NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Général

Selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaire

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Intouchables

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres pratiques

>>> Propriétés

>>> Liste des nombres pratiques

>>> Programmation

 

 

 

 

Famille

Nombre / Division  / Diviseurs

Définition

 

Nombre pratique ou nombre panarithmique : nombre entier tel qu'il est possible de construire tous les nombres inférieurs avec la somme de certains de ses diviseurs. Un diviseur n'est utilisé qu'une seule fois.

 

Un entier positif m est pratique si tout n compris entre 1 et m, inclus, est la somme de diviseurs distincts de m.

 

Exemples

          

Pour certains nombres, il existe plusieurs choix pour effectuer la somme. C'est celle qui a le moins de termes qui est préférée (pas le cas sur ces tableaux où on a choisi la somme des plus petits nombres).

Voir Introduction et place des semi-parfaits

 

 

Propriétés

 

Général

Définition proposée en 1948 par A.K. Srinivasan.

Les nombres pratiques permettent la  "pesée" des nombres plus petits avec les diviseurs, d'où le nom de nombres pratiques.

 

Les sommes des diviseurs d'un nombre pratique atteignent tous les nombres jusqu'à la somme de tous les diviseurs.

Ex: avec les diviseurs propres de 12 (somme 16), on peut former tous les nombres de 1 à 16.

En ajoutant n, on atteint tout les nombres jusqu'à la somme complète des diviseurs (soit: 28 pour n = 12)

 

Les nombres pratiques sont tous pairs.

Alors que 10 n'est pas pratique, 100 et 1000 le sont.

 

Tous les nombres parfaits sont pratiques.

 

Les nombres en 2n-1 (22 – 1) sont pratiques pour n > 1.

 

Tout entier positif est la somme de deux nombre pratiques. G. Melfi.

 

Il existe une infinité de nombres pratiques en  m – 2 , m et m + 2. G. Melfi.

 

Quantité

En 2015, Weingartner a montré que la quantité de nombres pratiques inférieurs à n est de l'ordre de:

Avec pi(x), la quantité de nombres premiers inférieurs à x et c une constante, sans doute proche de 1,341.

Les deux fonctions se "rejoignent" à l'infini (le rapport entre les deux tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini).

 

Caractérisation

(Steward et Sierpinski)

Soit un nombre n >1.

Sa factorisation: 

La somme des diviseurs:  

Alors, le nombre est pratique si: 

pour j de 2 à k.

 

f-pratique

Les nombres f-pratiques sont la généralisation des nombres pratiques en additionnant des fonctions des diviseurs propres. Nicholas Schwab, Lola Thompson (2017).

 

 

Anglais

Practical numbers

A practical number is a positive integer n such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of n. Divisors are not repeated in the sum.

Voir Nombres idonéaux (Convenient numbers)

 

 

Liste des nombres pratiques jusqu'à 1000

 

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, 256, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 288, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 352, 360, 364, 368, 378, 380, 384, 390, 392, 396, 400, 408, 414, 416, 420, 432, 440, 448, 450, 456, 460, 462, 464, 468, 476, 480, 486, 496, 500, 504, 510, 512, 520, 522, 528, 532, 540, 544, 546, 552, 558, 560, 570, 576, 580, 588, 594, 600, 608, 612, 616, 620, 624, 630, 640, 644, 648, 660, 666, 672, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 714, 720, 726, 728, 736, 740, 744, 750, 756, 760, 768, 780, 784, 792, 798, 800, 810, 812, 816, 820, 828, 832, 840, 858, 860, 864, 868, 870, 880, 882, 888, 896, 900, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 952, 960, 966, 968, 972, 980, 984, 990, 992, 1000.

 

 

 

Programmation

Instructions utilisées et leurs effets

 

Explications

 

Avec divisors(n), on obtient l'ensemble des diviseurs de 4.

Avec choose, on forme la liste L de toutes les combinaisons des diviseurs de 4.

L'indice i = 8 demande à considérer le 8e élément de la liste L, qui est lui-même une liste: [1,2,4].

Avec nops(L[i]), on obtient la quantité d'éléments (jmax = 3).

Avec add de j à jmax, on additionne tous les éléments: 1 + 2 + 4 = 7.  

Procédure et programme

 

Commentaires

Ouverture des packages numtheory et combinat pour disposer des instruction divisors et choose.

La procédure PR teste si le nombre n est pratique.

La combinaison des diviseurs est placée dans la liste L.

On ouvre une liste M destinée à recevoir les sommes de diviseurs.

La boucle en i analyse chaque combinaison de diviseurs. La liste M est remplie avec les sommes (add) successives des diviseurs.

La boucle en j examine tous les nombres inférieurs à n. L'indicateur oui est placé à 0 (n n'est pas pratique par défaut).

La boucle en i balaie toutes les sommes de diviseurs trouvées et les compare à j. Si il y a correspondance (i = j), l'indicateur oui est mis à 1 et passage à la suite (break).

Cette boucle terminée, si oui = 0 (pas de correspondance), passage au nombre j suivant (sortie de la boucle en j).

Si l'indicateur est à 1 alors on transmet n vers la sortie.

 

Le programme principal examine en séquence les nombres n de 1 à 30.

 

with(numtheory): with(combinat): PR := proc (n) local L, M, i, j, oui; L := choose([op(divisors(n))]); M := []; for i to nops(L) do M := [op(M), add(L[i][j], j = 1 .. nops(L[i]))] end do; for j from 0 to n-1 do oui := 0; for i in M do if i = j then oui := 1; break end if end do; if oui = 0 then break end if end do; if oui = 1 then n end if end proc: seq(PR(k), k = 1 .. 30);

Listing du programme
pour copier coller dans Maple

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*Nombres refactorisables

*  Diviseurs

*  Factorielles

*  Dénombrement – Combinatoire

*  Compter les sous-ensembles

*  Énigmes de pesées

*  Nombres idonéaux (Convenient numbers)

Sites

*  Practical numbers – Wikipedia

*  Practical numbers – Wolfram MathWorld

*  OEIS A005153 - Practical numbers or panarithmic numbers.

*  Practical numbers – Numbers aplenty

*  A survey on practical numbers – G. Melfi

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/Pratique.htm