NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITION

 

Débutants

Addition

Pesées avec 4 et 7

 

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Addition

 

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Partitions

Sommaire de cette page

>>> Partition en 4 et 7

>>> Démonstration

 

 

 

 

Pesées avec des poids de 4kg et 7kg

 

Est-il possible de faire toutes les pesées possibles avec de tels poids?

Ou de manière équivalente est-il possibles de faire n'importe quelle somme avec des pièces de 4 euros et de 7 euros?

 

Plus généralement: partition des nombres avec des 4 et des 7.

 

 

Devinette

Comment partitionner 4, 9 et 13 à la fois avec les nombres de 1 à 7 utilisé ou pas mais une seule fois seulement ?

Solution

 

 

Partition avec 4 et 7

 

Démontrez la proposition suivante:

 

Il est possible de partitionner tous les nombres au-delà de 18 avec seulement des 4 et de 7.

 

La table d'addition ci-contre montre la pertinence du démarrage à n = 18.

 

Additions en 4 et 7

 

Sont présents:

4, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20 21, 22, 23, 24, 25 …
 

Donc de 18 à 21, la proposition est vraie.

 

 

Supposons la vraie pour ces valeurs et au-delà, jusqu'à k.

P(k) vraie pour tous j de 18 à k

avec k  21.

Il faut montrer que sous cette supposition, la proposition est toujours vraie pour k + 1

Or la proposition est vraie pour k – 3  18

puisque

Or, selon notre supposition:

k        21     P(k) est vraie

k – 3  18    P(k – 3) est vraie

En ajoutant  simplement un 4 de plus, la proposition reste vraie:

k – 3 + 4  18    P(k – 3 + 4) est vraie

k +1  18    P(k +1) est vraie

 

La proposition est vraie de 18 à 21 or si on suppose qu'elle est vraie au-delà, jusqu'à un certain point, elle reste vraie pour le point suivant.

 

Par induction, la proposition est vraie pour tous les entiers supérieurs à18.

 

 

Devinette – Solution

Énigme

Comment partitionner 4, 9 et 13 à la fois avec les nombres de 1 à 7 utilisé ou pas mais une seule fois seulement ?

 

Observations

La somme des nombres de 1 à 7  vaut ½ 7 x 8 = 28 et celle des nombres à partitionner est 4 + 9 + 13 = 26. Le nombre 2 ne peut pas être utilisé.

Le nombre 13 ne peut être atteint que par la somme 6 + 7 = 13.

 

Solution

13 = 6 + 7;   9 = 5 + 4 et   4 = 1 + 3

 

D'après un jeu mathématique d'Hervé LehningFutura Science

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Suite

*      La pesée des douze boules de billard (ou billes)

*      Les dix sacs de pièces

*      Pesées avec poids (Bachet et Leibniz)

*      Pesée des quatre cubes

Voir

*      ConjectureGlossaire

*      Différence de carrés

*      EulerBiographie

*     Évaluation de CM1

*      Pépites

*      Pythagore et Fermat

*      Tables de nombres

*      Théorème de Fermat-Willes

*      Triplets de Pythagore

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