NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Triangle de Klauber

 

Sommaire de cette page

>>> Spirale d'Ulam 

>>> Équations

>>> Variantes

>>> En ligne

>>> Anglais

 

 

 

 

 

SPIRALES des nombres PREMIERS

Spirales d'Ulam  

 

En enroulant les nombres premiers sur une spirale, certains alignements apparaissent. Signe d'un certain ordre dans les nombres premiers. Ordre qui reste bien mystérieux, s'il existe!

Anglais: Ulam Spiral, prime spiral

 

 

SPIRALE d'ULAM

 

En 1963, le mathématicien Stanislaw Ulam s'ennuie "grave" durant une conférence, il se met à dessiner une grille et à y placer les nombres selon une spirale en plaçant le nombre 1 au centre.

Il y noircit les nombres premiers, et, surprise! Il découvre des alignements obliques. Succès assuré. Sa spirale fit la une du magazine Scientific American de mars; Martin Gardner y consacre un article: The Remarquable Lore of the Prime Numbers.

 

Exemple du départ de la spirale d'Ulam et  allure pour 160 000 nombres

 

 

Exemple de 1 à 400

 

 

 

Notez que les carrés sont placés sur la diagonale descendante, légèrement décalée à droite pour les carrés des nombres pairs. Un carré apparaît à chaque demi-tour de la spirale.

 

À gauche 160 000 nombres dont 14 683 sont premiers (en noir)

 

En poursuivant cette présentation pour une très grande quantité de nombres, on remarque quantité d'alignements.

Ces alignements correspondent à des polynômes du 2e degré du type:

y = a.x² + b.x + c

 

Et, voilà! C'est la naissance de la recherche de formules qui produisent un maximum de nombres premiers.

La conjecture F de Hardy et Littlewood (1923) pourrait expliquer quelques propriétés de cette spirale.

 

Certains affirment que la sprirale d'Ulam apporte peu d'information sur les nombres premiers, à preuve, le même dessin avec des nombres aléatoires aurait à peu près la même allure.

 

 

 

ÉQUATIONS

 

On remarque que l'équation

y = 4 x² + 10 x + 5

représente l'un des segments du tableau :

 

x =

0

1

2

3

4

5

6

7

y =

5

19

41

71

109

155

209

271

 

P

P

P

P

P

5 x 31

11 x 19

P

 

Les cinq premières valeurs sont premières.

 

En tenant compte de ce type d'équations, on peut construire des spirales appropriées (en choisissant le nombre central c). Les deux plus célèbres sont les suivantes:

 

x² + x + 17

33

32

31

30

29

34

21

20

19

28

35

22

17

18

27

36

23

24

25

26

37

38

39

...

 

 

x² + x + 41

297

296

295

294

293

292

291

290

289

288

287

286

285

284

283

282

281

298

237

236

235

234

233

232

231

230

229

228

227

226

225

224

223

280

299

238

185

184

183

182

181

180

179

178

177

176

175

174

173

222

279

300

239

186

141

140

139

138

137

136

135

134

133

132

131

172

221

278

301

240

187

142

105

104

103

102

101

100

99

98

97

130

171

220

277

302

241

188

143

106

77

76

75

74

73

72

71

96

129

170

219

276

303

242

189

144

107

78

57

56

55

54

53

70

95

128

169

218

275

304

243

190

145

108

79

58

45

44

43

52

69

94

127

168

217

274

305

244

191

146

109

80

59

46

41

42

51

68

93

126

167

216

273

306

245

192

147

110

81

60

47

48

49

50

67

92

125

166

215

272

307

246

193

148

111

82

61

62

63

64

65

66

91

124

165

214

271

308

247

194

149

112

83

84

85

86

87

88

89

90

123

164

213

270

309

248

195

150

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

163

212

269

310

249

196

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

211

268

311

250

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

267

312

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

 

Source: Experimenting with the Ulam Spiral – Wolfram

 

Cette formule en 41 produit de très nombreux nombres premiers, comme le montre la diagonale montante de ces deux graphiques.

 

 

VARIANTES

Spirale hexagonale ou de Marteinson

 

Les nombres sont enroulés sur une spirale à six pas. Or comme les nombres premiers sont tous de la forme 6k  1, il est tout à fait logique de les retrouver tous sur les deux diagonales basses à gauche et à droite.

 

Voir tous ces graphes en cercles de 4, 6, 12, 24

 

Spirale d'Abbott (2005)

Cette fois, les nombres premiers sont disposés sur une spirale formée d'hexagones. Les adeptes de cette spirale y marquent les nombres premiers et les nombres semi-premiers (nombres à deux facteurs premiers) et tentent d'y repérer des alignements ou des blocs.

 

 

 

Spirale de Sacks (1994)

 

Les nombres premiers sont placés sur une spirale d'Archimède en commençant par 0 (Illustration).

Cette fois les carrés apparaissent à chaque tour de la spirale. premier tour avec 2, 3 et 4; le suivant avec 5, 6, 7, 8 et 9; etc.

 

 

Spirale avec quantité de diviseurs

 

Chaque nombre est représenté par un disque dont le diamètre est proportionnel à la quantité de diviseurs de ce nombre.

 

La quantité de diviseurs des nombres premiers étant 2.

 

Extrait de: Spirale d'Ulam – Wikipédia

 

 

Spirales de séquences particulières

Certains ont cherché à appliquer cette méthode aux séquences classiques des nombres: Fibonacci, Lucas … vainement à ma connaissance ou alors avec des conclusions très tirées par les cheveux.

 

 

 

Présentation en ligne

 

Vous vous souvenez que la spirale d'Ulam montre un nombre carré à chaque demi-tour.

 

Plaçons les nombres successifs en colonnes, avec changement de colonne à chaque carré : 1, 4, 9, 16 …

 

Là-aussi, repérons les nombres premiers. Des alignements apparaissent.

Prenons la diagonale en 23, 31, 41. La différence est la suite des nombres pairs: 8 , 10, 12 … La différence seconde est égale à 2. Ces nombres peuvent être représentés par une courbe du second degré. En l'occurrence: x² + 7x + 23.

 

Nous découvrons ainsi de nouveaux polynômes quadratiques qui engendrent des séquences de nombres premiers.

 

Établissement

de l'équation

 

On utilise les trois premiers points (0, 23), (1, 31) et (2, 41) pour déterminer les trois coefficients inconnus de ax² + bx + c.

Cette présentation est une idée de Christophe L.

 

 

 

English corner

 

In 1963 Stanislav Ulam came up with a way to graph prime numbers which seemed to indicate some recognizable structure in a graph of the primes. People have since that time made elaborate graphs showing these patterns, believing them to be of significance.

Ulam marks the primes in the spiral and studies the visual display for patterns or almost-patterns in the primes number sequence. By use of a computer at Los Alamos, he is able to generate displays having around 65,000 points in them.

 

The Ulam spiral is a method of visualizing the prime numbers that shows the apparent tendency of certain quadratic polynomials to generate unusually large numbers of primes. It was discovered by Stanisław Ułam in 1963 while doodling during the presentation of a long and boring paper. He constructed the spiral by writing down a regular rectangular grid of numbers, starting with 1 at the centre, and spiraling out.

 

Many decades earlier in 1923, Hardy and Littlewood stated a conjecture that, if true, may explain many of the striking properties of the Ulam spiral.

 

NB. The Ulam spiral, or prime spiral is also called the Ulam Cloth in other languages.

Attention pas clock, l'horloge; mais cloth le tissu, le chiffon en anglais. Quelle est la signification dans les soi-disant autres langages? Est-ce parce qu'une boutique américaine commercialise le dessin de la spirale d'Ulam sur des tissus pour kilts?

 

 

 

 

 

 

 

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Sites

*      Spirale d'Ulam - Wikipédia

*      Ulam spiral - Wikipedia

*      Ulam spiral – Spirale animée

*      The Mysterious Ulam Spiral phenomenon

*      A visual analysis of prime number distribution

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm