NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

Formules

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers – Formules

 

Formules

n² + n + 41

Tables

Efficacité

Séquence 31, 24

a . n² + b

 

Sommaire de cette page

>>> Curiosités – Mise en bouche

>>> Formule en 41

>>> Progression

>>> Maximum de nombres composés

>>> Polynômes cousins

>>> Valeurs de C – Records

 

 

 

 

 

FORMULE d'EULER

n² + n + 41 = n (n+1) + 41

 

 

Parcours autour de cette formule trouvée en 1772 par Euler (1707-1783) qui produit de nombreux nombres premiers, notamment pour tous les nombres n de 0 à 39. Avec ce polynôme, pratiquement six nombres sur 10 sont premiers (58) jusqu'à n = 1 000. Si ce polynôme quadratique n'est pas le plus productif, il a un double intérêt: historique et simplicité (produit de deux nombres consécutifs plus 41).

Le polynôme n² – n + 41 = n (n – 1) + 41, trouvé par Legendre est équivalent à celui d'Euler. Le polynôme n² -– 79n + 1600 est lui aussi un cousin de celui d'Euler par changement de variables (n devient n – 40).

Les nombres premiers en n² + n + k sont les chanceux d'Euler, baptisés ainsi par F. Le Lionnais (1983). Le critère de Rabinowitch permet de dire que 41 est la plus grande valeur produisant le plus de premiers.

 Voir Spirale d'Ulam  / Barre magique des nombres premiers

 

 

Curiosités – Mise en bouche

 



Remarquez la similitude des unités!

 

Avec 17, 19, 23 … 257, on trouve 16 nombres premiers

Remarquez que chacune de ces trois séquences comportes n – 1 nombres premiers, n étant le nombre de tête.

 

Autre curiosité avec 41:

 

Voir Premiers en constellations

 

Historique

En 1772, Euler écrit à Daniel Bernoulli, en réponse à un mémoire écrit en 1771: Cette progression 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, etc. dont le terme général est 41x + x², est d'autant plus remarquable que les 40 premiers termes sont tous des nombres premiers.

 

 

 

 

FORMULE en 41

 

*    Prenons la formule connue d'Euler produisant des nombres premiers pour une suite continue de nombres:

 

P  = n² + n + 41

Alors

P est premier pour n de 0 à 39.

P est un polynôme quadratique.

 

       Note

*    P  = n² + n + 41 = n (n + 1) + 41  (Euler)

P  = n² – n + 41 =  (n – 1) n  + 41 (Legendre)

*    Soit, pour chacune des formules, le produit de deux nombres successifs + 41.
Les deux formules sont équivalentes au rang des nombres successifs près.

0   41

1   43

2   47

3   53

4   61

5   71

6   83

7   97

8 113

 

    >>>

 

 

 

 Propriétés

 

 

Voir Identités remarquables

 

 

N =

n² + n + 41

 

 

 

 

n = 0

*         N = 41, premier

n < 40

*         N sont premiers

n = 40

*         N = 40² + 40 + 41

    = 40² + 80 + 1

    = (40 +   1)² = 41²

n = 41

*         N = 41² + 41 + 41

   = 41 (41 + 2) = 41 x 43

n > 41

*         Grande proportion de nombres premiers

n < 100

*         Probabilité d'un nombre premier est de 87%

n < 1 000

*         Probabilité d'un nombre premier est de 50%

Voir Comparaison avec les autres formules

 

 

Il n'existe pas de formule: x² + ax + b,

avec des coefficients positifs et inférieurs à 10 000,

qui produise une plus longue suite de nombres premiers. >>>

 

Graphe de la fonction: x² + x + 41

 

 

 

 

Progression et régularité de la formule

– Mise en tableau

 

Progression

*    Quelle est la progression de p en passant de n à n+1:

 = (n + 1)² – (n + 1) + 41 – (n² – n + 41)

    = n² – n²

               + 2n – n + n

                                + 1 – 1 + 41 – 41

 = 2n

 

Illustration

*    Sur la base de cette formule de progression des valeurs de p, il est possible d'arranger les nombres en tableau de la manière suivante.

 

Pour n = 2     p = 43

 

       = 2 x 2 = 4

 

Pour n = 3

        p = 43 + 4 = 47

 

*    Observez que la quantité de nombres sur une ligne est bien égale à deux fois le rang de la ligne; par exemple, en ligne 4, on trouve 8 nombres.

*    Il est plus amusant de symétriser ce tableau: nos nombres premiers sont au milieu de la pyramide!

Voir Spirale d'Ulam avec 41 au centre

 

 

 

Maximum de nombres premiers

ou composés

 

*    Avec la même formule et en paramétrant la constante, quand obtient-on le maximum de nombres premiers, ou le maximum de nombres composés:

p  = + n + C

 

Voir Représentation graphique de ces nombres avec la spirale d'Ulam

 

 

*      Éliminons tout d'abord le cas de C pair. La formule ne produit que des nombres composés pairs. Pourquoi?

*      N'oublions pas que n² + n = n (n + 1) est le produit de deux nombres consécutifs. l'un d'eux est donc pair et le produit est toujours pair.
Y ajouter une constante C paire laisse la somme paire.

*      Note: vous constaterez également que le signe devant n importe peu puisque:

n² + n = n (n + 1)

  - n = (n  - 1) n

*      Juste une question de rang dans les deux nombres successifs.

 

Tableau des nombres produits par la formule selon la valeur de C

et indication des nombres premiers

 

Voir Tables des premiers selon formules

 

 

Taux de productivité de

nombres premiers en fonction de C

 

*    Courbe

*    du pourcentage (en Y) de nombres premiers produits

*    en fonction de C (en X), et

*    selon la plage du nombre n (de 0 à 50; de 0 à 1000; ou de 0 à 10 000).

*    Les valeurs C = 17 et C = 41 sont effectivement très productives.

 

Exemple pour C = 41:  92% des nombres sont premiers jusqu'à n = 50; 59% le sont pour n jusqu'à 1000; et 41% pour n jusqu'à 10 000.

 

 

 

 

 VALEURS DE C RECORDS

*    Valeurs C pour une productivité max et min de nombres premiers et record de productivité minimum.

Sur la plage n de 0 à 1 000.

 

MAXIMUM jusqu'à

C = 1 000

 

C   Taux en %

 41  58,14

101 45,25

107 45,35

221 44,56

227 44,36

347 41,16

377 41,76

389 41,46

551 40,06

587 42,56

671 45,25

857 42,66

881 43,56

941 46,55

 

 

MINIMUM jusqu'à

C = 10 000

 

C   Taux en %

1155        3,79

2793        3,99

3855        3,99

5643        3,59

6693        3,69

7005        3,69

7215        3,89

9135        3,59

9315        3,69

9525        3,49

9735        3,79

9933        3,39

 

 

MINIMUM RECORD

Valeurs de C pour records successifs

 C       Taux en %

      1       18,88

      3       9,391

      9       7,692

     15      6,793

     33      5,994

     75      5,594

    183    5,295

    435    5,095

    453    4,595

    555    4,496

  1 155   3,796

  5 643   3,596

  9 525   3,497

  9 933   3,397

 10 515  3,197

 18 963  3,097

 25 005  2,897

 55 335  2,797

 57 183  2,498

 79 275  2,398

323 475 2,198

361 305 2,098

811 965 1,998

 

 

Conjecture F de Hardy et Littlewood (1923)  ***

La recherche ci-dessus est intéressante et peut se poursuivre avec les moyens de calcul d'aujourd'hui. Pourtant, "à la main", au début du siècle dernier, Hardy et Littlewood formulent une conjecture qui se rapporte à ce sujet. Elle explique certaines propriétés de la spirale d'Ulam.

La conjecture s'applique aux polynômes quadratiques ax² + bx + c ou a, b et c sont des entiers et a est positif.

Si a, b et c ont un facteur commun (> 1) ou si b² - 4ac (discriminant) est un carré parfait, alors ce polynôme se factorise et produit donc des nombres composés pour presque toutes les valeurs entières de x; de plus si a + b et c sont des nombres pairs, le polynôme donne des nombres pairs. Sinon, le polynôme engendre une infinité de nombres premiers pour x entier. La quantité de premiers P(n) est donnée par une formule un peu compliquée que voici:

avec

Explications en anglais: Paradox – Melbourne University

 

 

 

 

Polynômes cousins

 

Par un changement de variable, il est possible de former des polynômes cousins qui engendrent autant de nombres premiers.

Ici, n = N – k = N – 40.

 

 

Graphe et valeurs de cette fonction

     

 

L'allure du graphe montre, ce qui est vrai, que les premiers pour n de 0 à 79, sont dupliqués. Par exemple le premier 41 est produit pour n = 39 et n = 40.

 

Généralisation

La production de premiers est conservée quelle que soit la valeur k. Avec k = 30, le minimum de la courbe est obtenu pour n = 30 et la duplication est réduite d'autant.

 

Théorème

Si P(n) engendre des premiers pour ,

alors c'est le cas pour P(N – k) avec .

 

Le polynôme d'Ulam

Avec n = 2N + 42, le polynôme d'Euler devient:

 

Graphe et valeurs de cette fonction

 

 

Cette fois nous obtenons les premiers de chaque côté de la courbe, pas en double.

 

Encore des cousins … Polynômes équivalent à celui d'Euler

Les fonctions sur la même lignes sont équivalentes; elles produisent des premiers dans l'ordre inverse l'une de l'autre.

 

 

 

BILAN

 

*    Pour toutes les valeurs de n jusqu'à 1 000 (tableau ci-dessus à droite)

La densité de nombres premiers la plus faible (1,99%) a été obtenue pour:

C = 811 965 = 3 x 5 x 7 x 11 x 19 x 37

pour C exploré jusqu'à 1 000 000

 

*    Pour toutes les valeurs de n jusqu'à 10 000 (et non 1 000 pour le calcul ci-dessus), la densité de nombres premiers la plus faible a été obtenue pour :

C = 219 525 = 3 x 5² x 2927

avec 236 nombres premiers soit une productivité de 2,36%

C = 249 705 = 3² x 5 x 31 x 179

Fait mieux avec 234 nombres premiers soit 2,34%

 

D'après Clifford Pickover (Magiques mathématiques)

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Programmation de la recherche des premiers en 41

*    Tables des nombres premiers selon ces formules

*    Nombre premiersIndex

*    Barre magique des nombres premiers

*    Identités remarquabls

*    Liste de nombres premiers

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Spirale d'Ulam

DicoNombre

*    Nombre 41

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/formu41.htm