NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Double six

>>> Solution générale

 

 

 

 

DOUBLE-SIX aux dés

ou

Problème du chevalier Méré (1654)

 

Obtenir un double six une fois sur deux ! Solution de Pascal qu'il a pris soin de vérifier auprès de Fermat

 

 

DOUBLE-SIX

Un jet de  deux dés

*    Quelle est la probabilité de faire un double six ?

*    Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ?

1/6 x 1/6 =

 

1 – 1/36 =

1/36

 

35/36

Deux jets de  deux dés

*    Quelle est la probabilité de faire un double six ?

*    Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ?

*    Retour sur probabilité de faire un double six

Calcul direct

 

35 /36 x 35/36

 

1 – (35/36)²

= difficile

 

= (35/36)²

 

= 5, 4%

N jets de  deux dés

*    Quelle est la probabilité de faire un double six ?

*    Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ?

*    Retour sur probabilité de faire un double six

Calcul direct

 

35 /36 x 35/36 x …

 

 

= difficile

 

= (35/36)N

 

= 1 – (35/36)N

 

 

Le problème sur la probabilité du double six

 

*    Le tableau montre que: de 5% avec 2 jets, la probabilité d'avoir un double-six progresse à pratiquement  25% avec 10 jets.

 

*    Il faut atteindre 25 lancés pour que la tendance bascule: la probabilité dépasse alors le 1 chance sur 2.

 

*    C'était l'objet du problème du Chevalier Méré à Pascal:

 

Question

Quelle est la probabilité de ne pas faire un double six en 24 coups ?

Réponse

1 – 49,14 =  50,55%

 

*    Les joueurs et les banquiers de l'époque connaissaient cette propriété de par leur expérience.

 

Calcul pour les valeurs de N

 

Exemple: Si je lance 15 fois deux dés,

j'ai 34,46% de chance d'obtenir un double-six.

 

 

En général - Formule d'Abraham de Moivre (1716)

*    Notons p est la probabilité d'un événement lors d'une expérience.

*    Tous les cas ont la même chance de se réaliser.

*    Quelle est la probabilité que l'événement se produise au moins une fois en N expériences ?

P = 1 – (1 – p) N

 

 

Vérification du résultat de Pascal

*    Pour quelle valeur de N obtient-on 50% ?
Application de la formule de De Moivre.

1 – (1 – p) N

= 1/2

*    Pour résoudre cette équation il faut passer par un artifice: les logarithmes.

*    En notant que 0 £ p £ 1 (p est une probabilité).

N . log(1 – p)

= – log 2

*    Soit la formule en N:

N

= – log 2 / log(1 – p)

*    Et, le développement en logarithmes népériens.

log(1 – p)

= – p – p2/2 – p3/3 – …

*    Or, p est la probabilité d'obtenir un double six.

p

= 1/36

*    En calculant.

log(1 – 1/36)

= 0,0281708…

*    Alors que:

log 2

= 0,693147…

*    Effectuons la division:

N

= 24,60…

*    Précisément à 24,60 coups, on a 1 chance sur 2 d'avoir un double 6
Ce qui confirme bien des calculs de Pascal.

 

 

 

 

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