NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

Jeu de dés

Deux dés

Double Six

Dénombrement

Trois dés

Probabilités et Dés

Numérotation

Trois dés et une urne

 

Sommaire de cette page

>>> Dénombrement

>>> Base

>>> Au moins un 6

>>> Au moins deux 6

>>> Exactement deux 6

>>> Exactement trois 6

>>> Au moins k 6 pour n dés

>>> Exemple de calcul en pratique

 

 

 

 

 

 

 

DÉNOMBREMENTS et DÉS

 

 

Rappel: PROPRIÉTÉS des DÈS

 

*    Le total des points des
faces opposées d'un dé est:

7

 

*    Au lancer de 2 dés,
tous les cas existent

p-liste

 

*    Contrairement aux dominos
qui éliminent les symétriques

p-suite

1 – 4 & 4 – 1

comptent pour 2 cas aux dès.

 

1 – 4 & 4 – 1

ne forment qu'un seul domino.

 

Voir Initiation au dénombrement et aux probabilités avec les dés

 

 

 

DÉNOMBREMENT aux DÈS

 

*    Combien peut-on obtenir de 6 (ou tout autre nombre) avec 1, 2 ou 3 dés ?

 

 

Exemple

Avec 3 dés, il y a 15 possibilités d'avoir exactement deux fois le 6

sur un total de 216 possibilités avec ces dés.

Soit un ratio (une probabilité) de 15 / 216 = 6,9%

 

Tableau

Quantité

de dés

Possibilités

totales

Possibilités d'avoir

au moins un 6

(ou un autre chiffre)

Cas où on obtient

exactement deux 6

(ou un autre chiffre)

1

6

1

0

2

36

11

1

3

216

91

15

4

1 296

671

150

5

7 776

4 651

1 250

6

46 656

31 031

9 375

7

279 936

201 811

65 625

8

1 679 616

1 288 991

437 500

9

10 077 696

8 124 571

2 812 500

10

60 466 176

50 700 551

17 578 125

n

6p

6p – 5p

5n-2 x C2n

  Voir Combinaisons Cnp

 

 

 

Bilan avec trois dés

Trois dés

Particulier

Quelconque

Triplets

1

6 x 1 =     6

Doublets

15

6 x 15 =   90

Singletons

75

216 – 96 = 120

 

Voir Loterie des trois dés

 

 

 

 

BASE - Calcul du nombre de cas possibles

Lancer

de

Calcul

Nombre de

cas possibles

Illustration

1 dé

*   Un dé comporte 6 faces.

*   D'ailleurs, chaque face est repérée par 1 à 6 points.

*   Posé sur une table, un dé peut présenter l'une quelconque de ces 6 faces: a peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6

6

a

a = {1, 2, … 6} => 6

2 dés

*   Le premier dé, a peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6.

*   Maintenant, pour une valeur donnée de a, b peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6.

*   C'est comme si on lançait un dé, puis l'autre

*    La valeur du 2e  ne dépend pas de celle du 1er

*    Le principe multiplicatif s'applique.

6 x 6

 

= 62

a

b

 

a = {1, 2, … 6} => 6

b = {1, 2, … 6} => 6

n dés

*   On peut aisément généraliser. Il s'agit d'une p-liste des cas possibles

6n

a

b

n

 

Le nombre de cas possibles

lorsque n dés sont lancés est:

6n

 

 

 

 

AU MOINS UN 6

 

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir au moins un chiffre donné, comme le 6, est:

6n - 5n

 

Calcul méthode 1

 

Calcul

Exemple avec n = 3

Possibilités totales

Il s'agit d'une p-liste (vue ci-dessus). Total des possibilités: 

P = 6n

P = 63 = 216

Pas de 6

Cas où le 6 n'apparaît pas.

Ce sont toutes les possibilités des dés en éliminant le 6.

Soit 5 chiffres utilisés par n dés:

P' = 5n

P = 53 = 125

Possibilités d'avoir

au moins un 6

(ou un autre chiffre)

Par différence, on obtient les cas où le 6 est présent

T = 6n – 5n

T = 63 - 53

= 216 - 125

= 91

 

Calcul méthode 2 -  Exemple avec 3 dés

 

Calcul

Illustration

1er 

*    On étudie le cas où a = 6.

*    Restent  2 dés b et c

qui peuvent prendre toutes les valeurs possibles avec 2 dés

soit 6 x 6 possibilités.

6

b

c

b = {1, 2, … 6} => 6

c = {1, 2, … 6} => 6

2ème  

*    Cas où b = 6.

*    Restent  2 dés a et c

mais pour c la valeur 6 a déjà été vue

et c prend toutes les valeurs

soit 5 x 6 possibilités.

a

6

c

a = {1, 2, … 5} => 5

c = {1, 2, … 6} => 6

3ème  

*    Cas où c = 6.

*    Restent  2 dés a et b

qui ne peuvent plus être 6, déjà vu

soit 5 x 5 possibilités.

a

b

6

a = {1, 2, … 5} => 5

b = {1, 2, … 5} => 5

Bilan

*    Nous avons examinés trois cas

qui sont indépendants

*    Le principe additif s'applique

(6 x 6) + (5 x 6) + (5 x 5) = 36 + 30 + 25 = 91

 

 

Voir Nombre 91

 

 

 

 

AU MOINS DEUX 6

 

Calcul - Exemple avec 3 dés

 

Calcul

Illustration

1er  cas

Trois 6

*    Tous les dés valent 6.

6

6

6

2e   cas

Deux 6

*    On étudie le cas où a = b = 6

*    Reste uniquement le dé c

qui peut prendre toutes les valeurs de 1 à 5

car nous avons déjà vu le cas c = 6

soit 5 possibilités.

*    Ce cas de double 6

est une combinaison de parmi 3

Il se présente C23 = 3 fois.

*    Total des cas avec deux 6: 3 x 5.

6

6

c

 

c = {1, 2, … 5}

=> 5

Bilan

*    Le principe additif s'applique:

1 + 3 x 5 = 16

 

 

 

 

 

 

EXACTEMENT DEUX 6

 

Généralisation à strictement 2 fois la valeur 6

 

Calcul

Illustration

Avec 2 dés

*   On aura évidemment une seule possibilité.

6

6

Avec 3 dés

*   On vient de le voir avec le calcul ci-dessus:

N3 = 5 x C23 = 5 x 3 x 2 / 2 = 15

6

6

c

Avec 4 dés

*   On peut penser que la procédure se généralise.

*   En comptant c et d pour 5 x 5:

N4 = 25 x C24 = 25 x 4 x 3 / 2 = 150

6

6

c

d

c = {1, 2, … 5} => 5

d = {1, 2, … 5} => 5

Avec n dés

*   En effet, généralisation:

Nn = 5n-2 x C2n

 

 

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir deux fois un chiffre donné, comme le 6 - 6, est:

Nn = 5n-2 x C2n

 

 

 

 

 

EXACTEMENT TROIS 6

 

Généralisation à strictement 3 fois la valeur 6

 

Calcul

Illustration

Avec 3 dés

*   Une seule possibilité.

6

6

6

Avec 4 dés

*   Cinq possibilités.

*   Répétées C34 = 4 fois

Total 5 x C34 = 5 x 4 = 20

6

6

6

d

d = {1, 2, … 5} => 5

Avec 5 dés

*   Deux dés libres avec les valeurs de 1 à 5, soit 25 possibilités

*   Ceci répété pour toutes les combinaisons de 3 parmi 5,

soit C35 = (5 x 4 x 3) / (2 x 3) = 10

*   Et, un total de:

25 x C35 = 25 x 10 = 250

6

6

6

d

e

d = {1, 2, … 5} => 5

e = {1, 2, … 5} => 5

Avec n dés

*   Généralisation:

Nn = 5n-3 x C3n

 

 

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir trois fois un chiffre donné, comme le 6 – 6 – 6, est:

Nn = 5n-3 x C3n

 

 

 

 

AU MOINS k FOIS LE 6 POUR n DÉS

 

Se familiariser avec le cas de

        "au moins trois fois le 6" pour 5 dés

 

Calcul

Exactement 5 fois le 6

1

Exactement 4 fois le 6

5 x C45 = 5 x 5 = 25

Exactement 3 fois le 6

52 x C35 = 25 x 10 = 250

Total

1 + 25 + 250 = 276

 

 

Généralisation k fois le 6 pour n dés

 

Calcul

Exactement n fois le 6

1

Exactement n-1 fois le 6

5 x Cn-1n

Exactement n-2 fois le 6

52 x Cn-2n

 

Exactement k fois le 6

5n-k x Ckn

Total

La somme des valeurs ci-dessus

 

 

Exemple au moins 5 fois le 6 pour 7 dés

 

Calcul

Exactement 7 fois le 6

1

Exactement 6 fois le 6

5 x C67 = 5 x 7 = 35

Exactement 5 fois le 6

52 x C57 = 25 x 21 = 525

Total

1 + 35 + 525 = 561

 

 

Exemple au moins 5 fois le 6 pour 10 dés

 

Calcul

Exactement 10 fois le 6

1

Exactement 9 fois le 6

5 x C910 = 5 x 10 = 50

Exactement 8 fois le 6

52 x C810 = 25 x 45 = 1 125

Exactement 7 fois le 6

53 x C710 = 125 x 120= 15 000

Exactement 6 fois le 6

54 x C610 = 625 x 210 = 131 250

Exactement 5 fois le 6

55 x C510 = 3125 x 252 = 787 500

Total

934 926

 

 

 

Exemple de calcul en pratique

 

 

 

Suite

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