NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Historique

>>> Sommes 9

>>> Avec trois dés

>>> Probabilité à trois dés

>>> Calcul des quantités de fois une somme donnée

 

http://www.edcollins.com/backgammon/a-dice.gif

 

 

 

 

Avec TROIS dés

 

Question de joueurs: "Avec trois dés, pourquoi un total de 10 est-il plus fréquent qu'un total de 9 ?"

Galilée répondit: Il y a 27 façons de faire 10 et seulement 25 pour 9.

 

Voir Sommes avec deux dés

 

 

Historique

 

*    Galileo Galileo en 1612 publie Sopra le Scoperte dei Dadi (découverte concernant les dés). Cet article fait réponse à une question que se posait le prince de Toscane: Avec trois dés, il y a six façons de faire 9 ou 10.

*    Comment concilier cela avec le fait qu'à la longue, le prince a observé que miser sur le 10 est plus favorable que miser sur le 9?

 

*    Galilée dénombre les partitions (tableau ci-dessus). Puis, il compte les permutations en remarquant que le cas 3 + 3 + 3 pour 9 est unique. Il montre que le 10 est obtenus de 27 façons différentes alors que le 9 n'arrivent qu'avec 25 possibilités. La différence est faible, d'où la difficulté de s'en apercevoir en jouant.

*    À cette époque, Galilée et Cardan utilisaient la même méthode de dénombrement pour calculer les cas favorables et les cas possibles. Le rapport donnant la probabilité de l'événement.

*    Ni l'un ni l'autre ne généralisèrent à plus de trois dés. C'est de Moivre (1712) qui donnera la solution pour n dés, puis James Bernoulli (1713) et Montfort (1713).
 

 

 

Les sommes donnant 9 avec trois dés

 

*    Les six façons de faire la somme 9 avec les nombres de 1 à 6.

 



*    Cette façon de compter avant Galilée oubliait les permutations  des nombres. Par exemple, il y a six façons d'écrire la somme 1 + 2 + 6 en échangeant la place de chacun des chiffres. Avec 1 + 4 + 4, il y en a trois. Le total des permutations donnerait: 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25.

 

 

 

AVEC TROIS DÉS

 

*    Le principe consiste à considérer toutes les possibilités à deux dés et leur ajouter la valeur du 3ème  dé.

 

*    Total T3 obtenu avec trois dés

en bleu foncé la diagonale donnant T3 = 10

 

*    Le total 3 n'apparaît qu'une seule fois;
Le total 4 apparaît sur deux lignes dont la somme donne: 2 + 1= 3 fois. Le total 5 forme une diagonale. La somme des apparitions est 3 + 2 + 1 = 6 fois. Etc.

 

 

 

PROBABILITÉ avec TROIS DÉS

 

 

*    Comme l'avait montré Galilée, il existe bien un écart de probabilité en faveur du 10 par rapport au 9.

 

 

 

Calcul des quantités de fois une somme (s) donnée

La quantité de fois (Q) réalisant la somme s  avec n dés est donnée par cette formule un peu compliquée incluant les coefficients binomiaux.

 

Cas de n dés à 6 faces

 

avec les valeurs entières de k de 0 à (s –n) / 6

 

Voir Calcul de cette formule

Exemple: somme 10

Avec trois dès la somme 10  est possible dans 27 cas.

 

Autrement-dit: Il existe 27 tripartitions du nombre 10 avec les nombres de 1 à 6, toutes permutations incluses.

 

(10 – 3) / 6 = 7 / 6 =>  k prend les valeurs 0 et 1.

 

 

 

 

 

 

 

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