NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Probabilités et Dés

Table 1 à 6 dés

Trois dés et une urne

 

Sommaire de cette page

>>> Un exemple de dénombrement

>>> Table des valeurs atteintes avec 1 à 6  dés

>>> Programmation – Directe

>>> Programmation – Avec partitions

 

 

 

 

Avec UN à SIX dés

 

Combien de fois atteint-on le nombre k avec 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 dés. Table et programmes.

Voir Sommes avec deux dés – Détail

 

 

Un exemple de dénombrement

Combien de possibilités d'avoir la somme 12 avec trois dés ?

 

Un décompte simple (aidée éventuellement d'un tableur) montre qu'il y a 25 cas.  (Tableau =>)

 

Une autre manière consiste à trouver les partitions de 12 avec trois nombres inférieurs à 7:

 

*    il y a 6 telles partitions "pures";

*    avec les permutations sur les trois dés, chacune créé P possibilités.
Exemple avec 156, on aura six permutations:
               [156, 165, 516, 561, 615, 651];

*    soit le tableau:

 

 

Table des valeurs atteintes avec 1 à 6  dés

 

 

La colonne de gauche indique la somme des points sur les dés. Les autres colonnes indiquent la quantité de dés impliquée.

 

Exemple avec la somme 10

Elle est obtenue

*      3 fois avec deux dés;

*      27 fois avec trois dés;

*      80 fois avec quatre dés; etc.

 

Somme des colonnes

La somme sur chaque colonne est égale à toutes les possibilités de jeu avec k dés.
Avec 6 dés, il y a 66 = 46 656 possibilités.

 

Calcul de probabilité

 

Comme d'habitude la probabilité est égale au nombre de cas favorables sur la quantité totale des cas.

 

Exemples

 

 

 

 

 

Fonctions génératrices

Il existe des polynômes donnant toutes ces valeurs >>>

 

 

 

 

Programmation – Directe

 

Commentaires

Déclaration d'une matrice (Array) de 36 lignes et 6 colonnes dont toutes les valeurs sont mises à 0.

La méthode directe consiste à explorer les dés les uns après les autres.

 

Avec le premier dé (boucle en a), on remplit la colonne1, avec le deuxième dé (boucle en b), on remplit la deuxième colonne, etc.

Pour chaque valeur, on ajoute 1 à la case correspondante de la matrice.

 

L'impression de la matrice n'est pas évidente. On utilise l'instruction indiquée.

Avec print(A), le programme indique la nature de la matrice. Pour visualiser le contenu, il faut double-cliquer dessus.

 

Extrait de la matrice calculée.

Voir ProgrammationIndex

 

Programmation – Avec partitions

 

Commentaires

Procédure qui calcule le nombre de cas où la somme atteint n pour k dés.

 

Appel des logiciels de combinatoire.

Partitions de n placées dans P.

 

Premier tri: on ne conserve que les partitions ayant k éléments.

 

Deuxième tri: on élimine toutes les partitions avec un terme supérieur à 6. On identifie ce cas avec t = 0.

 

Alors, si la partition est retenue (t = 1), on calcule la quantité de permutations qui est ajoutée au cumul S.

 

Exemple d'appel à la procédure avec la quantité de fois que le total est égal à 21 pour six dés: 4 332.

 

 

.

 

 

 

 

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