NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Intérêts – Calculs

 

Sommaire de cette page

>>> Intérêts composés

>>> Exemples

>>> Utilisation d'un tableur – EN PRATIQUE

>>> table sur 3 ans avec taux de 1 à 10%

>>> Exemples de calculs

>>> Anglais

 

 

 

 

Calculs d'intérêts composés

 

Je place mon argent. Mon capital s'enrichit des intérêts. Combien cela me rapporte-t-il?

 

Autre situation: me voilà en fin de période. À quel taux d'intérêt correspond le capital final versé? Utilisation pratique d'un tableur pour éviter l'emploi d'outils mathématiques trop compliqués. On explique néanmoins comment s'y prendre avec une calculette et les boutons log et exp.

 

 

Intérêts Composés

Que deviennent 1000 euros placés à 10 % ?                                Formule fondamentale

Capital plus intérêts au bout de deux ans: 1210 euros

 

 

Note: t est le taux comme par exemple 0,05 pour 5%

 

 

 Intérêts composés

 

Approche

Je dispose d'une somme d'argent (capital) que je dépose à la banque pour celui-ci me rapporte des intérêts.

L'intérêt est la somme d'argent que la banque me versera pour chaque 100 euros de capital placé, et cela chaque année.

Un intérêt composé veut dire que chaque année les intérêts sont ajoutés à mon capital.

Les intérêts de l'année suivante sont calculés sur la base du capital et de tous les intérêts cumulés.

 

Capital: C = 10 000 €

Intérêt: t = 5%  (ou 0,05)

 

Intérêts à la fin de la première année:

I = C . t

   = 10 000 x 5% = 500

C1 = 10 000 + 500 = 10 500 €

 

Intérêts à la fin de la deuxième année:

I = C1 . t

   = 10 500 x 5% = 525

C2 = 10 500 + 525 = 11 025 €

 

 

Formulation générale

Le capital Cp acquis à partir d'un capital initial C0  au bout de p années avec un intérêt t est donné par la formule =>
 

Si la période de calcul des intérêts est une énième partie de l'année, la formule devient =>

 

 

Si le taux varie selon les années, la formule doit être adaptée, année par année =>

 

 

 

Pour 6 mois, n = 2

Pour 3 mois, n = 4

 

 

Exemples

Capital: 10 000 € sur 2 ans à 5% composés.

Cf  = 10 000 (1 + 5%)²

     = 10 000 x 1,1025

     = 11 025

Capital initial: 350 111
Capital final:  409 580

à 4% composés
Durée?

 

409 580 = 350 111 (1 + 4%) p

1,04 p     = 409 580 / 350 111

              = 1,169 858

Or 1,042 = 1.081 6

     1,043 = 1.124 864

     1,044 = 1.169 858 Bingo

     Placement sur 4 ans

Le capital double en 4 ans.

Combien d'années pour un capital multiplié par 8 ?

Théorème

Si un capital est multiplié par k en p années,

il croit kn fois en n.p années.

 

 

Calcul

Le capital double en 4 ans (2C).

Ce capital (2C), placé sur 4 ans, va doubler (4C).

Ce capital (4C), placé sur 4 ans, va doubler (8C).

Le capital atteint 8C après trois périodes de 4 ans, soit 12 ans.

 

 

 

Utilisation d'un tableur

 

Calcul de la somme finale

Supposons un placement de 10 000 euros à 2% par an sur une durée de 10 ans.

1. Placez ces valeurs en D1, E1 et F1.

Pour avoir le %, utilisez la boite de dialogue "nombre" et choisissez %.

2. En D2 et D3, inscrivez 1 puis 2. Sélectionnez ces deux cellules et tirez sur la poignée en bas à droite jusqu'à l'apparition du nombre 10.

3. En F2, donnez la formule de calcul: multiplier F1 (l'intérêt) par E1 (la somme d'argent).

Pour que F1 (2%) soit toujours utilisée, montrez F1 avec la souris puis tapez sur F4 (touche de fonction) F1 devient $F$1.

 

 

 

Voir Programmation

 

4. En E2, mettre la formule de calcul: = E1+F2 (capital plus intérêt).

5. Soulignez E2 et F2 puis tirez sur la poignée en bas à droite, vers le bas jusqu'au 10 ans.

6. Mettre en forme à loisir.

 

Au bout de 10 ans, la somme placée est devenue 12 190 euros, valeur que l'on retrouve avec la  formule:

 

 

Calcul de l'intérêt à partir de la somme finale

 

Une somme de 15 000 euros a été placée durant 12 ans. La banquier m'avait indiqué un taux. Mais depuis, les frais de gestion et les taxes ont été modifiées; Finalement, à échéance, le banquier me sert une somme de 21 763 euros.

 

Gain: 6 763, soit 45,09 % d'augmentation du capital

Intérêt moyen: 45,09 / 12 = 3,757%.

 

Je cherche un calcul plus précis de l'intérêt composé.

 

 

 

Je reprends le tableau précédent. J'adapte le tableur: 12 ans et 15 000 euros au départ.

Puis, par essais successifs, j'ajuste la valeur de l'intérêt dans F1 pour obtenir 21 763 euros en E13. La valeur du taux vaut alors 3,15 %.

 

Je souhaiterais un calcul direct avec une formule?

D'accord, mais il va falloir passer aux logarithmes!

 

 

 

 

Calcul formel du taux – (logarithmes et exponentielles)

On reprend la formule générale en adoptant: T = 1 + t.

Ck est le capital acquis après k années et C est le capital initial.

Passage aux logarithmes népériens.

(Pour pouvoir utiliser l'exponentielle, sa fonction réciproque)

Propriété des logarithmes:
produit devient somme.

Propriété des logarithmes:
puissance devient produit.

Nous cherchons  le taux T.

 

Passage aux valeurs numériques.

 

Rappel du problème: 15 000 euros placés durant 12 ans deviennent 21 763. Quel est le taux composé?

Passage aux exponentielles, en se souvenant que exp(ln(T)) = T.

Retour au taux d'intérêt (t = T – 1).

Et en pourcentage arrondi:

                 t  =        3,15 %

En pratique

Le calcul des logarithmes et des exponentielles est disponible sur la calculette de votre ordinateur.

Pour le logarithme, introduire votre nombre avec le clavier numérique et appuyez sur ln.

Pour l'exponentielle, introduire votre nombre, appuyez sur la flèche (illustration) et sur ex.

Note

On ne sera pas étonné de la proximité des décimales car le logarithme de 1 + x est très voisin de x pour x petit. O(x3) indique que le terme suivant est du troisième dégré (ici, négligeable).

  

 

Bonus pour s'exercer

Je souhaite que mon capital  de 10 000 euros soit doublé en 20 ans. Quel est le taux à appliquer?

Résolution

 

Vérification

 

 

Table: intérêts composés sur 3 ans pour un taux de 1 à 10 %

 

 

Exemples de calculs – Intérêts composés

 

Capital

15 000 euros à 3% sur 2 ans.

15 000 euros à 3% sur 3 ans.

 

C(3%, 2) = 15 000 x 1,0609 = 15 913,50

C(3%, 3) = 15 000 x 1,092727 = 16 390,90

15 000 euros à 2 % la première année, puis à 3 % les 2 prochaines années.

Capital à l'issue des 3 ans?

C = 15 000 (1 + 2/100) (1 + 3/100)2

    = 15 000 x 1,02 x 1,0609

    = 16 231,77 euros

Si 4 800 deviennent 6 000 en 4 ans, quelle sera le capital après 12 ans?

4 800 (1 + t/100)4 = 6 000

(1 + t/100)4 = 6 000 / 4 800 = 5 / 4

(1 + t/100)4x3 = (5 / 4)3 = 125 / 64

Après 12 ans:

4 800 (1 + t/100)12 = 4 800 x 125 / 64 = 9 375 euros

Durée

5 000 à 3 % produisent  5 304,50 euros.

Durée?

5 000  x (1 + 3/100)p  = 5 304,50

(1 + 3/100)p  = 5 304,5 / 5000 = 1,0609

Réponse : 2 ans (lecture dans le tableau).

Durée en années pour que ma somme placée 10 % me rapporte plus du double?

C x (1 + 10/100)p > 2C

 (1,1)p > 2

(1,1)7 = 1,95

(1,1)8 = 2,14

Réponse: 8 ans

Valeur exacte: 7,27 ans (= ln2 / ln1,1)

Mon capital triple en 3 ans. Dans combien de temps aurai-je 9 fois mon capital initial?

Raisonnement intuitif: le capital triple acquis après 3 ans est replacé pour 3 ans. Sa valeur triple. Bilan: le capital acquis est multiplié par 3x3 = 9 en deux périodes de 3 ans, soit 6 ans.

C x (1 + t/100)3  = 3 C

(1 + t/100)3  = 3

{ (1 + t/100)3 }²  = 32 = 9

(1 + t/100)6   =  9

C(1 + t/100)6   =  9C

Réponse: en 6 ans

Taux

Je dispose de 9 fois le capital en 2 ans. Quel est le taux?

C(1 + t/100)2  = 9C

(1 + t/100)2  = 9 = 32

1 + t/100  = 3

t = 2 x 100 = 200 %

Mon capital de 80 000 euros produit une somme 88 200 euros en 2 ans. Quel est le taux?

88 200 = 80 000 (1 + t/100)2

(1 + t/100)2 = 88 200 / 80 000 = 1,1025

Réponse : 5 ans (lecture dans le tableau). 

Intérêts

Quel est l'intérêt servi à partir d'un capital de 15 000 euros placés à 4 %, puis 5 % et enfin à 6 % sur 3 ans?

CI = 15 000 (1+4/100)(1+5/100)(1+6/100) – 15 000

     = 17 362,80 – 15 000 = 2 362,80 euros

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Money is said to be lent at compound interest when at the end of the year (or other fixed period) the interest that has become due is not paid to the lender, but is added to the sum lent, and the amount thus obtained becomes the principal for the next period.

The process is repeated until the amount for the last period has been found.

The difference between the original principal and the final amount is called compound interest.

 

 

 

Suite

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Sites

*  Intérêts – Wikipédia

*  Analyse financière - Leçon 10 - Les Calculs d'intérêts (1/2) – ABC Bourse

*  Intérêts – Université Paul Valéry

*  Calculatrice des intérêts composés – CVMO – Calcul et graphique

Livre

*  Magical book on quicker maths – M. Tyra – BSC publishing - 2000

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