NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Économie

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Sommaire de cette page

>>> Intérêts composés

>>> Exemples

>>> Utilisation d'un tableur – EN PRATIQUE

>>> Anglais

 

 

 

 

Calculs d'intérêts composés

 

Je place mon argent. Mon capital s'enrichit des intérêts. Combien cela me rapporte-t-il?

 

Autre situation: me voilà en fin de période. À quel taux d'intérêt correspond le capital final versé? Utilisation pratique d'un tableur pour éviter l'emploi d'outils mathématiques trop compliqués.

 

 

 

Intérêts composés

 

Je dispose d'une somme d'argent (capital) que je dépose à la banque pour celui-ci me rapporte des intérêts.

L'intérêt est la somme d'argent que la banque me versera pour chaque 100 euros de capital placé, et cela chaque année.

Un intérêt composé veut dire que chaque année les intérêts sont ajoutés à mon capital.

Les intérêts de l'année suivante sont calculés sur la base du capital et de tous les intérêts cumulés.

 

Capital: C = 10 000 €

Intérêt: t = 5%

 

Intérêts à la fin de la première année:

I = C . t

   = 10 000 x 5% = 500

C1 = 10 000 + 500 = 10 500 €

 

Intérêts à la fin de la deuxième année:

I = C1 . t

   = 10 500 x 5% = 525

C1 = 10 500 + 525 = 11 025 €

 

Le capital Cp acquis à partir d'un capital initial C0  au bout de p années avec un intérêt t est donné par la formule =>
 

Si la période de calcul des intérêts est une nième partie de l'année, la formule devient =>

 

Si le taux varie selon les années, la formule doit être adaptée =>

 

 

Cp = C0 (1 + t) p

 

 

Cp = C0 (1 + t/n) n.p

Pour 6 mois, n = 2

Pour 3 mois, n = 4

 

 

Cp = C0 (1 + t1)p1 (1 + t2)p2

 

 

Exemples

 

Capital: 10 000 €
sur 2 ans à 5%

 

 

 

Capital initial: 350 111
Capital final:  409 580

à 4%
Durée?

 

 

 

 

 

 

 

Le capital double en 4 ans.

Combien d'années pour un capital multiplié par 8 ?

Astuce: on trouve une expression ne faisant pas intervenir le capital. On peut la porter au cube. (sans craindre un capital au cube!)

Ensuite on multiplie par C de chaque côté.

 

Théorème

 

Si un capital est multiplié

par k en p années,

il croit kn fois en n.p années.

 

 

 

Cf  = 10 000 (1 + 5%)²

     = 10 000 x 1,1025

     = 11 025

 

409 580 = 350 111 (1 + 4%) p

1,04 p     = 409 580 / 350 111

              = 1,169 858

Or 1,042 = 1.081 6

     1,043 = 1.124 864

     1,044 = 1.169 858 Bingo

     Placement sur 4 ans

 

2C = C (1 + t)4
  2 = (1 + t)4

  23 = (1 + t)4x3

8C = C (1 + t)12

Il faut 12 ans pour 8 fois le capital.

En fait, le capital double en 4 ans. les 4 ans suivants, il aura encore doublé pour atteindre 4 fois le capital initial. Même chose sur les 4 ans qui suivent soit 12 ans pour 8 fois.

 

 

Utilisation d'un tableur

 

Calcul de la somme finale

Supposons un placement de 10 000 euros à 2% par an sur une durée de 10 ans.

1. Placez ces valeurs en D1, E1 et F1.

Pour avoir le %, utilisez la boite de dialogue "nombre" et choisissez %.

2. En D2 et D3, inscrivez 1 puis 2. Soulignez ces deux cellules et tirez sur la poignée en bas à droite jusqu'à l'apparition du nombre 10.

3. En F2, donnez la formule de calcul: multiplier F1 (l'intérêt) par E1 (la somme d'argent).

Pour que F1 (2%) soit toujours utilisée, montrez F1 avec la souris puis tapez sur F4 (touche de fonction) F1 devient $F$1.

 

 

 

Voir Programmation

 

4. En E2, mettre la formule de calcul: = E1+F2 (capital plus intérêt).

5. Soulignez E2 et F2 puis tirez sur la poignée en bas à droite, vers le bas jusqu'au 10 ans.

6. Mettre en forme à loisir.

 

Au bout de 10 ans, la somme placée est devenue 12 190 euros, valeur que l'on retrouve avec la  formule:

 

 

Calcul de l'intérêt à partir de la somme finale

 

Une somme de 15 000 euros a été placée durant 12 ans. La banquier m'avait indiqué un taux. Mais depuis, les frais de gestion et les taxes ont été modifiées; Finalement, à échéance, le banquier me sert une somme de 21 763 euros.

 

Gain: 6 763, soit 45% d'augmentation du capital

Intérêt moyen: 45 / 12 = 3,8%.

 

Je cherche un calcul plus précis de l'intérêt composé.

 

 

 

Je reprends le tableau précédent. J'adapte le tableur: 12 ans et 15 000 euros au départ.

Puis, par essais successifs, j'ajuste la valeur de l'intérêt dans F1 pour obtenir 21 763 euros en E13.

 

Et la formule? D'accord, mais il va falloir passer aux logarithmes!

 

On reprend la formule générale en adoptant T = 1 + t.

 

Le passage aux logaithmes transforme essentiellement une puissance en un produit: Tk devient k x ln(T).

De même, un produit devient une addition.

 

Lorsque log(T) est connu en valeur numérique:

*    après la descente avec les logs,

*    on remonte avec les exponentielles.

 

 

 

 

En pratique, le calcul des logarithmes et des exponentielles est disponible sur la calculette de votre ordinateur.

 

Pour le logarithme, introduire votre nombre avec le clavier numérique et appuyez sur ln.

 

Pour l'exponentielle, introduire votre nombre, appuyez sur Inv (illustration) et sur ex.

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Money is said to be lent at compound interest when at the end of the year (or other fixed period) the interest that has become due is not paid to the lender, but is added to the sum lent, and the amount thus obtained becomes the principal for the next period.

The process is repeated until the amount for the last period has been found.

The difference between the original principal and the final amount is called compound interest.

 

 

 

Voir

*  Rente

*  Règle de trois

*  Doublement de la population

*  Comprendre les exponentielles avec les intérêts composés

Aussi

*  Indicateurs économiques

*  Économie

*  Budget

*  Patrimoine

*  CAC 40

*  Crise de 2008

*  Nombres décimaux / fractionnaires

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