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Fraction / Règle de trois 

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POURCENTAGE

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Calculs

>>>  Hausse et baisse – Bilan

>>> Exemple (impôt)

>>> Exemples typiques avec l'argent

>>> Exemple de piège: le drap qui rétécit

>>> Index

 

 

Le chiffre d'affaires du PMU vient de baisser de trois pur-sang.

Coluche

Notez que pur-sang ne prend pas de "s" au pluriel.

Voir Pensées & humour / Orthographe / Orthographe des nombres

 

 

Devinette

Une légion romaine de 3 000 fantassins. Dix pourcent ont une lance; parmi les autres, seule la moitié est armée de deux lances. Les autres ne sont pas armés. Combine faut-il confectionner de lances pour cette légion?

Solution

 

 

Définition

POURCENTAGE

*        Rapport permettant une comparaison sur une base de référence égale à 100.

 

Proportion de quelque chose pour 100 unités.

 

Règle de trois pour laquelle l'un des dénominateurs est fixé à 100.

En pratique

*        Si la carafe de 75 cl contient 37,5 cl d'eau.

*    le rapport eau sur contenance est: 37,5 / 75 = 0,5

*    elle est à moitié pleine.

carafes2

*    en conservant la proportion d'eau, une carafe de 100 cl, à moitié pleine  contiendrait 50 cl.

*    elle contient 50 cl d'eau pour 100 cl de contenance.

*        Toute deux sont pleines à 50%.

 

 

Remarque

*        S'agissant d'un rapport le pourcentage est un nombre sans dimension (pas d'unité).

Notation

*    Pour cent:     %

*    Pour mille:    

*    Autres (ppb, ppt …) >>>

Abréviation

*        Se souvenir que % est l'abréviation de

Décimal

*        Transformer 4,5 % en nombre décimal.

4,5 % = 4,5 / 100 = 0,045

Fraction

*        Transformer 3  % en fraction.

*        Transformer 5  % en fraction.

*        Transformer 12 ½  % en fraction

*        Quelle est la valeur de 3/8 en pourcentage?

 

 

Calcul

*        Prendre x % d'une quantité c'est multiplier par x et diviser par 100.

Exemple:

12% de 345 = 345 x 12 / 100 = 41,4

Il est normal que le résultat soit plus petit que le nombre de départ.

 

*        Augmenter de x % c'est multiplier par (1 + x %)

 

Exemple:

345 + 12% = 345 ( 1 + 12/100) = 345 + 41,4 = 386,4

 

*        Calcul du %: 12 personnes sur 73, c'est combien en pourcent?

Données

12

73

En pourcent

x

100

 

Fameuse règle de trois (ou égalité des produits en croix).

           x = 12 x 100 / 73 = 16,4 %

 

*        Calcul mental du %: avec le même problème que ci-dessus

73 représente un peu moins des  ¾ de 100.

Pour aller à 100, il faudrait diviser par 3 et multiplier par 4.
C'est-à-dire multiplier par 4/3.

Même chose pour la colonne du 12.
Soit l'ordre de grandeur de x:
         
12 x 4 / 3 = 16

Piège

*        Avec un salaire annuel de 20 keuros, que choisissez-vous?

une augmentation de 20%

ou deux de 10% l'une après l'autre.

*        Réponse pas si indifférente que cela:

*      Cas 20% : Revenu:
            20 x (1 + 20/100) = 24 keuros

*      Cas 10% : revenu intermédiaire:
            20 x (1 + 10/100) = 22 keuros
Revenu après le deuxième 10%:
            22 x (1 + 10/100) = 24,2 keuros

*      Ce qui correspond à 0,2 keuros de plus sur 24
ou en pourcentage:
            0,2 x 100 / 24 =  0,8%

 

Explication: deux fois 10% correspond à: 1,1 x 1,1 = 1,21 qui donne 21% soit plus que 20%.

 

Si la deuxième augmentation est différée, la réponse n'est pas immédiate car cette personne aura un revenu de 22 keuros et non pas 24 pendant un certain temps.

 

*        Avec un salaire annuel de 20 keuros, et pas d'autre augmentation pendant 5 ans, que choisissez-vous?

une augmentation de 20% immédiate

ou 10% maintenant et 10 % l'an prochain?

 

Calcul:

Année

Premier cas

Deuxième cas

1

2

3

4

5

20 (1 + 20/100) = 24

24

24

24

24

20 (1 + 10/100)    = 22

22 (1 + 10/100) = 24,2

24,2

24,2

24,2

Total

120

118,8

 

 

*        Avec un salaire annuel de 20  keuros, et pas d'autre augmentation pendant 5 ans, que choisissez-vous?

une augmentation de 50% immédiate

ou 10% maintenant et 25 % l'an prochain?

 

Calcul:

Année

Premier cas

Deuxième cas

1

2

3

4

5

20 (1 + 50/100) = 30

30

30

30

30

20 (1 + 25/100)      = 25

25 (1 + 25/100) = 31,25

31,25

31,25

31,25

Total

150

150

 

*        Morale de ces histoires:

La première version est souvent citée pour dénoncer un défaut de raisonnement avec les pourcentages et, c'est très bien.

Cependant dans la réalité, les augmentations sont différées dans le temps.

Dans ce cas, et aussi pour diverses raisons de conjoncture, il vaut souvent mieux tenir la grosse augmentation dès que possible!

 

 

Sommes-nous tous égaux face aux pourcentages?

 

 

Dessin de Tiounine (Russe)

Voir Pensées & humour

 

 


EXEMPLES

 

 

Hausse et baisse

 

Le cours boursier de cette société est juste à 100. Il subit une croissance de 5% pendant 5 ans puis une baisse de 5% pendant 5 ans. Quel sera son cour au bout des 10 ans? En hausse ou en baisse?

 

F = 100 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 105 x 0,95 x 0,95 x 0,95 x 095 x 0,95 = 98,76

On peut l'écrire: F = 100 x 1,055 x 0,955
Ce qui signifie que les 5 hausses et les 5 baisses peuvent se produire dans n'importe quel ordre. Imaginons une alternance hausse baisse (Courbe verte du graphique).  Cette disposition permet de connaitre le cours au bout de 2k années.

 

Le graphique montre les effets d'une alternance de1% (rouge), 5% (vert) et 10% (violet).

 

 

 

Exemples de calcul

 

*    Avec 10% d'impôt sur un salaire brut (B), le net (N) après impôt est:

N = B – B/10 =  9B / 10
B =                   10N /  

 

*    Selon que l'on connaît B ou N:

 

B connu

N connu

B = 1000

B = ?

N = ?

N = 1000

N = 9B / 10

B = 10N / 9

N = 900

N = 1 111

Retrait: 100

Augmentation: 111

Bilan: 100 / 1000 = 10%

Bilan: 111 / 1000 = 11,1%

 

Illustration 

 

*    Attention aux pourcentages, dans un sens ou dans l'autre.
Les résultats sont très différents!

 

 

Quelques calculs typiques avec de l'argent

Prix TTC 210 euros

Tva 20%

Prix HT?

PTTC = PHT + 0,2 PHT

PHT = PTTC / 1,2

       = 210 / 1,2 = 175 €

Il ne pas retrancher 20% à 210, mais bien reprendre la formulation indiquée.

La TVA s'applique au prix hors taxes, comme son nom l'indique.

Doubler un capital (C).

Les intérêts (I) sont égaux au capital.

C'est posséder 200% du capital initial.

C'est avoir gagné 100% en plus du capital.

L'action chute de 10% et augmente de x% pour retrouver sa valeur nominale. Valeur de x?

 

 

 

Une action d e 100 euros passe à 90 (-10%).

Pour remonter de 90 à 100 euros, elle doit gagner 10 par rapport à sa valeur actuelle 90, soit 10/90 = 11,11…%.

Votre placement vous rapporte 9%

L'inflation est de 5%

Quel est le rapport réel

 

Ce n'est pas la différence 9 – 5 = 4%.

Le calcul donne un peu moins, car l'inflation s'applique à la somme acquise, soit 3,55%

Placement de 1000 euros à 5% sur 10 ans.

Votre gain?

En laissant les intérêts sur le compte, la somme finale s'élève à 1 639 euros.

Alors qu'en touchant les intérêts à la fin de chaque année, ce serait seulement 1 500 euros.

D'après un article publié par Le Revenu

 

 

LE DRAP qui rétrécit – Un exemple de piège!

Problème

 

attention.png  Sa résolution paraît simple, mais attention au piège!

Un drap rectangulaire de 300 cm x 200 cm.

Ses dimensions se réduisent de 3% suite au premier lavage.

Quel est le pourcentage de réduction de l'aire du drap.

*    Les dimensions de l'étoffe diminuent de 3 %.

*    Les dimensions sont bien la longueur et  la largueur.

*    Chacune de ces dimensions rétrécit de 3%.

Solutions

 

1 ) Solution FAUSSES

*    L'aire rétrécit comme le produit des rétrécissements de la longueur et de la largueur.

R = 3% x 3% = 0,03 x 0,03 = 0,0009

 ou 3 10-2 x 3 x 10-2 = 9 x 10-4.

Solution fausse avec solution très éloignée du bon résultat >>>

*    Facile, comme la longueur et la larguer rétrécissent, ça fait deux fois 3%, soit 6%. Ce raisonnement est totalement faux et pourtant, il nous rapproche de la bonne réponse >>>

2) La solution "laborieuse"

Elle nécessite un calcul complet.

Les pourcentages sont toujours traîtres!

Alors, cette méthode permet de se rassurer.

*    Longueur initiale:  L = 320 cm

L' = L – L x 0,03

     = 300 – 300 x 0,03 = 291 cm

*    Larguer initiale: l = 230 cm

l' = l – l x 0,03

  = 200 – 200 x 0.03 = 194 cm

*    Aire de l'étoffe

A  = L x l  = 300 x 200 = 60 000 cm²

A' = L' x l' = 291 x 194 = 56 454 cm²

*    Écart

E = 60 000 – 56 454 = 3 546 cm²

*    Rapport

3) La solution plus directe

 

*    On conserve les valeurs des pourcentages le long des calculs.

*    Ce qui évite le calcul numérique des aires.

*    Pour quelqu'un d'entraîné la réponse serait directement:

R = 1 – 0,97² = 0, 0591= 5,91%

Commentaires

*    La solution fausse 1 s'explique avec un dessin montrant les pourcentages.

*    Seule la partie bleue reste après rétrécissement. Elle correspond à 97% x 97%; alors que le petit rectangle en bas correspond à 3% x 3% ( les pourcentages étant appliqués aux dimensions de l'étoffe). Ce qui explique la solution et également la solution fausse.

*    La solution fausse n°2 montre que le double de 3% est presque la bonne réponse: 6% est proche de 5,91%. Est-ce un hasard? Non car, si x est le taux de rétrécissement, alors:

R = 1 – ( 1 – x)²

= 1 – 1 + 2x – x² = 2x – x².

Ce nombre est effectivement proche de 2x à x² près, un petit nombre si x est petit.

 

 

 

Devinette – Solution

3000 fantassins. 10% avec une lance et 50% des autres avec 2 lances.

Cette moitié ayant deux lances, c'est comme si tous avaient une lance et comme les autres 10% en ont une; alors, il faut fabriquer 3000 lances.

Calcul

*       (10% de 3000) x 1 = 300 lances.

*       (50% de (3000 – 300) ) x 2 = 0,5 x 2700x 2 = 2700 lances.

*       Total: 300 + 2700 = 3000 lances. 

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Anglais

POURCENTAGE

*        An amount, number or rate given as fraction of one hundred.

We have expressed all the figures as percentages.

*        Per cent : a fraction of one hundred.

Ne pas prononcer "père-sans" à la française, mais quelque chose comme "peu-si-ntt" avec l'accent à le fin.

Exemples de calcul

*       Règle de trois pour exemples simples

*       Exemple de calcul ci-dessous

Voisins

*       Échelle

*       Intérêts

*       Proportion

*       Règle de trois

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