NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/12/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Jeux et énigmes

 

Débutants

Général

Combinatoire

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Jeux

Combinatoire

 

Escalier 2

Escalier 3

Timbres

Abeille

Tournois

Lapins

Croix

 

Sommaire de cette page

>>> Problème de l'escalier

>>> Quatre marches

>>> Escalier à marches

>>> Partitions des nombres de 1 à 5

>>> Partitions des nombres de 6 à 10

>>> Bilan

 

 

 

  ESCALIER qui mène à FIBONACCI

 

Qui l'eut cru? Lorsque vous montez les marches d'un escalier en progressant d'une ou deux marches à la fois, vous expérimentez la suite des nombres de Fibonacci sans le savoir.

Voici l'énigme classique à résoudre:

 

Un escalier compte 5 marches. Je monte les marche par une ou par deux. Combien de possibilités?

 

 

 

  

Problème de l'escalier

 

*    Voici le décompte pour 1, 2 ou 3 marches:

*      1 marche: 1 seule possibilité;

*      2 marches: 2 possibilités

                 {deux fois 1 marche (21) et une fois 2 marches (12)  };

*      3 marches: 3 possibilités;

*      4 marches : 4 possibilités? Ce serait trop simple …

 



 

ESCALIER à 4 marches

 

*    Avec quatre marches, on compte 5 possibilités.

 



*    Vous aurez compris, avec la notation employée, qu'il s'agit en fait de compter les partitions du nombre 4 en utilisant que des 1 et des 2.

*      4 = 1 + 1 + 1+ 1

*      4 =    2    + 1 + 1

*      4 = 1    + 2    + 1

*      4 = 1 + 1   + 2

*      4 =    2       + 2

*    Il y en a effectivement 5.

 

Récapitulatif:

Marches

1

2

3

4

5

6

Possibilités

1

2

3

5

8?

13?

Suppléments

 

1

1

2

3

5

 

 

 

PARTITIONS de n (n de 1 à 5)

 

*    Nous avons vu que le problème de l'escalier revient à un problème de partition d'un nombre.

*    Étudions les partitions du nombre n dans les conditions suivantes:

*      avec les nombres 1 et 2 exclusivement,

*      en ignorant les permutations du même nombre: Ex: 2 + 2 et 2 + 2 comptent pour une seule combinaison.
 

*    Le tableau montre les différentes partitions pour n de 1 à 5.

 

*    Explications:

*      n = 3 => 1+2 représente les deux possibilités 1+2 et 2 + 1, soit deux possibilités

*      n = 4 => 1+1+2 illustre le cas de 1+1+2, 1+2+1 et 2+1+1, soit trois possibilités.

*      n = 5 => 1+2+2 compte pour trois cas selon la place du 1: 1+2+2, 2+1+2, et 2+2+1.

 

 

 

PARTITIONS de n (n de 6 à 10)

 

*    Poursuivons cette analyse pour de telles partitions des nombres de 6 à 10.

 



*    Explications:

*      n = 6 => 1+1+1+1+2 conduit a 5 possibilités suivant la position du 2.

*      n= 6 => 1+1+2+2 est représentatif des six possibilités suivantes:

*    1 + 1 + 2 + 2

*    1 + 2 + 1 + 2

*    1 + 2 + 2 + 1

*    2 + 1 + 1 + 2

*    2 + 1 + 2 + 1

*    2 + 2 + 1 + 1

En fait, ce sont les toutes les combinaisons de deux objets (ici le nombre 2) parmi quatre objets:

En vert, la simplification que l'on effectue immédiatement avec un peu d'habitude.

 

On peut voir les choses aussi avec les permutations: permuter quatre objets: 4!. Mais les deux 1 donnent des permutations identiques: 2! C'est la même chose pour les 2 qui donnent 2! permutations à éliminer. Soit le bilan: 4!/ (2! x 2!) =  1 x 2 x 3 x 4 / 4 = 6.

 

*      n = 7 => 1+1+1+2+2 Combinaisons de 2 parmi 5:

ou permutations: 5! / (3! x 2!) = 10.

 

*      n = 9 => 1+1+1+2+2+2, un dernier exemple de calcul:

ou permutations: 6! / (3! x 3!) = 4 x 5 x 6 / 6 = 20.

 

 

Bilan

Le problème de la montée des n marches d'un escalier est équivalent à celui de la partition du nombre n.

Avec la montée de 1 ou 2 marches à la fois – ou la partition avec des 1 et 2 exclusivement – la quantité de possibilités est égale au nombre de rang n+1 de la suite de Fibonacci.

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Possibilités

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

Fibonacci

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

 

  Que se passe-t-il si je pouvais monter aussi trois marches? >>>

 

 

Suite

*      Escalier avec trois marches

*      Parcours du taxi en ville

*      Escalier roulant

Voir

*      Jeux et énigmes - Index

*      Partage – Énigmes classiques

*      Méandres

*      Papier plié

DicoNombre

*      Nombre 14

*      Nombre 89

*      Nombre 274

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Combin/Timbre.htm