NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres de Fibonacci

>>> Généralisation: k-bonacci

>>> Listes des n-bonacci

>>> Liste des nombres de Fibonacci jusqu'au rang 100

>>> Production et programmation des k-bonacci

 

 

 

 

 

NOMBRES de Fibonacci et k-bonaci

 

Tous les développements sur les nombres de Fibonacci >>>

Cette page reprend la définition et présente la liste des nombres de Fibonacci et leur généralisation (les k-bonacci). On donne également al manière de les produire.

 

Les pages sur la décomposition des entiers en nombres de 1 à k montrent comment les k-bonacci sont reliés à la partition des nombres: fonctions génératrices des compositions d'un entier sous contrainte.

 

  

Famille

Nombre / Dénombrement

 

NOMBRES de FIBONACCI

 

Nombres de Bell

Approche

*   Soit deux nombres racines;

*   Le suivant est la somme des deux précédents;

*   Nous avons créé la suite de Fibonacci.

1, 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

etc.

 

Définitions

Suite de nombres dont chacun est la somme des deux précédents

F0 = 0

F1 = 1

Fn+1 = Fn + Fn-1

 

Illustration

Un pavage naturel avec les nombres de Fibonacci

 

Anglais

The Fibonacci numbers form a sequence defined recursively by

 

F(n) = 

0

for n = 0

1

for n = 1

F(n-1) + F(n-2)

for  n > 1

 

 

 

Généralisation

 

Tribonacci

Somme des trois termes précédents.

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44 …   >>>

Tétrabonacci ou Tétranacci

Somme des quatre termes précédents.

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56 …  >>>

k-bonnacci

Somme des k termes précédents

Lucas

Fibonacci avec 1 et 3 au départ.

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 … >>>

 

Pell

Deux fois le précédent et une fois celui d'avant.

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 … >>>

 

Pell-Lucas

Pell avec 2 et 2 au départ.

2, 2, 6, 14, 34, 82 … >>>

 

Un nombre trobonaccique est un entier de la suite de Tribonacci

 

 

Liste des nombres

Fibonacci

 

1, 1

2, 1

Premier, 3, 2

Premier, 4, 3

Premier, 5, 5

6, 8

Premier, 7, 13

8, 21

9, 34

10, 55

Premier, 11, 89

12, 144

Premier, 13, 233

14, 377

15, 610

16, 987

Premier, 17, 1 597

18, 2 584

19, 4 181

20, 6 765

21, 10 946

22, 17 711

Premier, 23, 28 657

24, 46 368

25, 75 025

Tribonacci

 

1, 1

2, 1

3, 2

4, 4

Premier, 5, 7

Premier, 6, 13

7, 24

8, 44

9, 81

Premier, 10, 149

11, 274

12, 504

13, 927

14, 1 705

15, 3 136

16, 5 768

17, 10 609

18, 19 513

19, 35 890

20, 66 012

21, 121 415

22, 223 317

23, 410 744

24, 755 476

25, 1 389 537

Trétrabonacci

 

1, 1

2, 1

3, 2

4, 4

5, 8

6, 15

Premier, 7, 29

8, 56

9, 108

10, 208

Premier, 11, 401

Premier, 12, 773

13, 1 490

14, 2 872

15, 5 536

16, 10 671

17, 20 569

18, 39 648

19, 76 424

20, 147 312

21, 283 953

22, 547 337

23, 1 055 026

24, 2 033 628

25, 3 919 944

5 – bonacci

 

1, 1

2, 1

3, 2

4, 4

5, 8

6, 16

Premier, 7, 31

Premier, 8, 61

9, 120

10, 236

11, 464

12, 912

13, 1 793

14, 3 525

15, 6 930

16, 13 624

17, 26 784

18, 52 656

19, 103 519

20, 203 513

21, 400 096

22, 786 568

23, 1 546 352

24, 3 040 048

Premier, 25, 5 976 577

Lucas

 

1, 1

2, 3

  3, 4

Premier, 4, 7

Premier, 5, 11

  6, 18

Premier, 7, 29

Premier, 8, 47

  9, 76

  10, 123

Premier, 11, 199

  12, 322

Premier, 13, 521

  14, 843

 15, 1364

Premier, 16, 2207

Premier,  17, 3571

 18, 5778

Premier, 19, 9349

 20, 15127

 21, 24476

 22, 39603

 23, 64079

 24, 103682

 25, 167761

 26, 271443

 27, 439204

 

 

Pell

 

1, 0

2, 1

Premier,  3, 2

Premier,  4, 5

  5, 12

Premier,  6, 29

 7, 70

 8, 169

 9, 408

 10, 985

 11, 2378

Premier, 12, 5741

 13, 13860

Premier, 14, 33461

 15, 80782

 16, 195025

 17, 470832

 18, 1136689

 19, 2744210

 20, 6625109

 21, 15994428

 22, 38613965

 23, 93222358

 24, 225058681

 25, 543339720

 26, 1311738121

 27, 3166815962

 

Pell-Lucas

 

1, 2

2, 2

3, 6

4, 14

5, 34

6, 82

7, 198

8, 478

9, 1154

10, 2786

11, 6726

12, 16238

13, 39202

14, 94642

15, 228486

16, 551614

17, 1331714

18, 3215042

19, 7761798

20, 18738638

21, 45239074

22, 109216786

23, 263672646

24, 636562078

25, 1536796802

26, 3710155682

27, 8957108166

 

 

 

 

Liste des nombres de Fibonacci jusqu'au rang 100

Cellules marron: nombres de Fibonacci premiers.

En rouge: le premier en cent, mille, million, milliard …

 

Le centième Fibonacci

 F100 = 3,5 1020

        = 354 224 848 179 261 915 075 

        = 3 . 5² . 11 . 41 . 101 . 151 . 401 . 3001 . 570 601

 

Liste de grands nombres de Fibonacci.

En gros, en passant d'une puissance 10 à la suivante, le nombre Fibonacci voit sa puissance de 10 multipliée par 10.

 

Voir Calcul avec le formule de Binet

 

 

 Racine numérique des nombres de Fibonacci

La racine numérique est la somme des chiffres du nombre, éventuellement itérée pour obtenir un nombre à un seul chiffre, comme pour la preuve par neuf.

Les nombres de Fibonacci produisent la suite répétitive suivante:
[(0 puis 9), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1]

Période 24.

Somme de la première période: 108; somme des périodes suivantes avec le 9: 117.

 

 

Production des k-bonacci

Les nombres de Fibonacci

 

Tableur

Obtenir les nombres de Fibonacci avec un tableur est élémentaire.

Placer les deux premiers 1, l'un sous l'autre, en début de colonne.

Faire la somme des deux cellules précédentes (visualisée en fx, en haut).

Tirer la poignée en bas à droite de la cellule pour reproduite cette somme autant de fois que désiré.

Programmation

Sa programmation est assez simple.

 

Ci-contre, un exemple de réalisation avec Scratch.

Trois variables A, B et C son créées.

Ce programme fait énoncer les nombres de Fibonacci par la jeune fille.

 

 

Polynômes générateurs des nombres k-bonacci

Rappel: les k-bonacci sont reliés à la partition des nombres:

fonctions génératrices des compositions d'un entier sous contrainte.

Polynôme générateur de la suite de Fibonacci

 

Le polynôme visualisé en première ligne bleue. Il s'agit de la division de l'unité par le polynôme (1 – z – z²).

 

Les coefficients de son développement en série sont les nombres de Fibonacci  (deuxième ligne bleue). Identités valables pour z compris entre 0 et 1.

 

Il suffit de les extraire avec l'instruction coefficients et, les uns après les autres, par l'instruction séquence.

 

Bipartition (1, 2) – Traitement avec le logiciel Maple

Voici comment modifier les paramètres du programme pour sortir les 21 premiers nombres de Fibonacci.

Il faut demander un peu plus de termes dans le développement de la série.

Polynôme générateur de la suite de Tribonacci

 

Il suffit d'ajouter un terme supplémentaire  en z3 à la fraction.

 

Tripartition (1, 2, 3)

Polynôme générateur de la suite de Trétrabonacci

 

Il suffit d'ajouter un terme supplémentaire  en z4 à la fraction.

 

Etc.

 

Quadripartition (1, 2, 3, 4)

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres de Fibonacci – Développements

*    Les k-bonacci et les partitions

*    Somme des chiffres

*    Nombre de Catalan

*    Nombre de Bell

*    Dénombrement

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