NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/06/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PARTITION

 

Débutants

Addition

Somme d'entiers

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Introduction

Digi partition

Diff. Partition

S'y retrouver

BI partition

TRI partition

Quantité de partitions

Prim BI partition

Prim TRI partition

 

Sommaire de cette page

>>> Quantité de partitions de 1 à 100

 

Formules

>>> Quantité totale

>>> Quantité propre de partitions

>>> Formule citée par Nathanson

>>> Relation d'Euler

 

 

 

 

 

 

 

PARTITION - Quantité

 

 

Décomposition d'un nombre en sommes de nombres.

Combien ?

Formule ?

 

 

QUANTITÉ DE PARTITIONS de 1 à 100

 

 

n

Quantité

de partitions

 

n

Quantité

de partitions

1

1

 

51

239 943

2

2

 

52

281 589

3

3

 

53

329 931

4

5

 

54

386 155

5

7

 

55

451 276

6

11

 

56

526 823

7

15

 

57

614 154

8

22

 

58

715 220

9

30

 

59

831 820

10

42

 

60

 966 467

11

56

 

61

1 121 505

12

77

 

62

1 300 156

13

101

 

63

1 505 499

14

135

 

64

1 741 630

15

176

 

65

2 012 558

16

231

 

66

2 323 520

17

297

 

67

2 679 689

18

385

 

68

3 087 735

19

490

 

69

3 554 345

20

627

 

70

 4 087 968

21

792

 

71

4 697 205

22

1 002

 

72

5 392 783

23

1 255

 

73

6 185 689

24

1 575

 

74

7 089 500

25

1 958

 

75

8 118 264

26

2 436

 

76

9 289 091

27

3 010

 

77

10 619 863

28

3 718

 

78

12 132 164

29

4 565

 

79

13 848 650

30

5 604

 

80

15 796 476

31

6 842

 

81

18 004 327

32

8 349

 

82

20 506 255

33

10 143

 

83

23 338 469

34

12 310

 

84

26 543 660

35

14 883

 

85

30 167 357

36

17 977

 

86

34 262 962

37

21 637

 

87

38 887 673

38

26 015

 

88

44 108 109

39

31 185

 

89

49 995 925

40

37 338

 

90

56 634 173

41

44 583

 

91

64 112 359

42

53 174

 

92

72 533 807

43

63 261

 

93

82 010 177

44

75 175

 

94

92 669 720

45

89 134

 

95

104 651 419

46

105 558

 

96

118 114 304

47

124 754

 

97

133 230 930

48

147 273

 

98

150 198 136

49

173 525

 

99

169 229 875

50

204 226

 

100

190 569 292

Voir Tables

 

 

 

 

QUANTITÉ TOTALE (toutes les possibilités)

 

Dénombrement

 

Le nombre de sommes pour partitionner n est 2n-1.

 

Exemple

3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1

4 possibilités (dont le nombre lui-même)

Soit:  4 = 23-1

 

Démonstration

 

*      On écrit tous les " 1 " pour faire n en les ajoutant.

*      On forme les nombres à ajouter en mettant un espace entre les " 1 " souhaités et un signe + entre les blocs ainsi constitués

 

Exemple

1 1 1 + 1 1 + 1 => 3 + 2 + 1

 

*      On dénombre les combinaisons de + ou espaces entre ces " 1 ".

*      Il y a deux signes pour n-1 positions, soit 2n-1 possibilités.

 

Note

*      Il s'agit de toutes les possibilités imaginables, y compris, les permutations.
Comme 5 = 3 + 2 = 2 + 3 qui comptent pour 2 partitions.

 

 

 

QUANTITÉ PROPRE DE PARTITIONS

 

Quantité de partitions

*      Il n'existe pas de formule simple donnant la quantité p(n) de décompositions d'un nombre n en somme de nombres.
Vers 1918, Ramanujan et Hardy trouve une limite asymptotique qui conduit à la formule:

 

 

*      Eux-mêmes, puis d'autres comme Rademacher en 1937, donnèrent d'autres formules plus précises, mais beaucoup plus compliquées.

 

Que donne la formule ?

 

 

n

p(n)

Calcul

Écart

en

10

42

48

145

20

627

692

104

30

5 604

6 080

85

40

37 338

40 080

73

50

204 226

217 590

65

100

190 569 292

199 280 893

45

200

3 972 999 029 388

0, 41 10^13

32

300

9 253 082 936 723 602

0, 95 10^16

26

400

6 727 090 051 741 041 926

0, 69 10^19

22

500

2 300 165 032 574 323 995 027

0, 234 10^22

20

1 000

24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991

0, 244 10^32

14

2 000

4 720 819 175 619 413 888 601 432 406 799 959 512 200 344 166  

0, 477 10^46

10

 

*      La quantité de partitions croît vertigineusement.

Plus de 1040 dès le nombre 2 000.

La formule converge très lentement.

Encore 10 pour mille (soit 1%) pour n = 2000.

 

 

 

Formule citée par Nathanson

 

*      La quantité de partitions p(n) d'un nombre positif n satisfait la formule asymptotique suivante:

 

*      Avec:

                                                   = 2,5650996603237281911…

 

*      On en déduit que:

 

 

 

*      Hardy et Ramanujan et aussi Uspensky ont trouvé cette formule indépendamment. Leurs démonstrations font usage des variables complexes et les fonctions modulaires. Plus tard, Erdös trouvera une démonstration plus directe, mais … très ardue. Méthode appliquant une démonstration par induction à une formule récursive.

 

D'après Elementary Methods in Number Theory - Melvyn B. Nathanson - Springer - 2000

 

 

 

Relation d'Euler

 

Euler montre l'égalité des deux séries suivantes:

 

 

Développement pour n = 5

 

S(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5

 

 

 

Exemple de calculs jusqu'à 6

 

En jaune, le développement pertinent compte tenu du nombre de facteurs dans le produit. Nous reconnaissons bien la quantité de partitions.

 

Voici le développement pour n = 16

 

Le O(x13) final indique que le terme suivant sera en puissance 13.

 

Voir Identité d'Euler avec les nombres premiers / Identités classiques

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Digipartition

*    Initiation à la théorie des nombres – Partitions

*    S'y retrouver

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Multi-somme de puissances

*    Totient d'Euler

DicoNombre

*    Nombre 2, 565…

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/PttQte.htm