NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 05/05/2010

 

  -Ý- Rubrique: Suites de Fibonacci

§   Suite de Fibonacci

§   Parcours

§    

§   Suite de Lucas

§   Lapins

§   Nature

Sommaire de cette page

 

>>> NOMBRES DE LUCAS

>>> NOMBRES DE PELL

>>> SUITE DE LUCAS

>>> LUCAS & FIBONACCI

>>> TRIBONACCI

>>> FIBONACCI PUISSANCE

>>> SOMME RATIONNELLE

 

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§  Calcul mental

§  Géométrie

 

 

 

Cousine de la suite de Fibonacci

avec des chiffres différents au départ

et un calcul de somme pondérée

 

SUITE DE LUCAS

Anglais: Lucas numbers

 

Généralisation des nombres de Fibonacci

Nombres de LUCAS

Anglais: Lucas numbers

 

Nombre de Fibonacci avec 1 et 3

 

Nombres de PELL

Anglais: Pell numbers

 

Nombre de Fibonacci "double"

Voir Tables de ces nombres / Édouard Lucas (1842-1891)

 

 

 

 -Ý- NOMBRES  DE LUCAS

 

§  Somme comme Fibonacci

Mais, avec 1 et 3
comme points de départ

 

1    3

1 + 3 = 4

      3 + 4 = 7

            4 + 7 = 11

                  7 + 11 = 18

                         11 + 18 = 29

                                  18 + 29 = 47

                                           29 + 47 = 76 …

… 123, 199, 322, 521, 843, 1 364, 2 207, 3 571, 5 778, 9 349,

15 127, 24 476, 39 603, 64 079, 103 682, 167 761,

271 443, 439 204, 710 647, 1 149 851

 

 

 -Ý- NOMBRES DE PELL

 

§  Somme de deux fois le précédent et une fois l'autre d'avant

Avec 0 et 1 pour points de départ

 

0    1

0 + 2 = 2

      1 + 4 = 5

           2 + 10 = 12

                  5 +  24 = 29

                          12 + 58 = 70

                                  29 + 140 = 169

                                            70 + 338 = 408

Cette suite donne les dénominateurs des réduites de racine de 2

 

-Ý- NOMBRES DE PELL-LUCAS

 

§  Somme de deux fois le précédent et une fois l'autre d'avant

Avec 2 et 2 pour points de départ

 

2     2

2  + 4 =   6

       2 + 12 = 14

                6 + 28 = 34

                     14 +  68 = 82

                               34 + 164 = 198

 

 

 

 -Ý-SUITE DE LUCAS

 

 

Généralisation

 

 

On parle également des suites de Fibonacci généralisées, définies par

 

U1 = A 

U2 =B 

Un = R.Un-1 + S.Un-2

avec A, B, R, S des réels donnés

 

Exemple

1,3,4,7,11,18...

Rapport entre deux termes consécutifs: tend vers Phi.

Ex: U33/U32 = 5 781 196 / 3 570 847 = 1,618

 

 

Suite de Lucas

 

C'est une suite particulière de Fibonacci

 

L1 = 1

L2 = 3

Ln+2 = Ln+1 + Ln

 

 

 

 

 

 

-Ý- LUCAS & FIBONACCI

 

 

Définitions

 

Fibonacci

Lucas

F(n+2) = F(n+1) + F(n)

avec F(1) = F(2) = 1

L(n+2) = L(n+1) + L(n)

avec L(1) = 1 and L(2) = 3

  

 Liste

 

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Fibonacci

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

Lucas

1

3

4

7

11

18

29

47

76

123

199

322

 

13

14

15

16

17

18

19

20

21

 

233

377

610

987

1597

2584

4181

6765

10946

...

521

843

1364

2207

3571

5778

9349

15127

24476

...

 

  

Relations

 (extrait du tableau ci-dessus, partie grisée)

F(n+1) + F(n-1) = L(n)

L(n+1) + L(n-1) = F(n)*5

21 + 8 = 29

47 + 18 = 65 = 13 x 5

6

7

8

6

7

8

8

13

21

8

13

21

18

29

47

18

29

47

  

F(2n) = F(n) * L(n)

21 = 3 x 7

4

5

6

7

8

3

5

8

13

21

7

11

18

29

47

  

Autres relations

 

ü   L(n)2 = 5F(n)2 + 4(-1)n 

ü   F(n+1)*F(n-1) - F(n)2 = (-1)n   

ü   L(n+1)*L(n-1) - L(n)2 = 5*(-1)n+1    

ü   Pair: F(2n+1) = F(n+1)2 + F(n)2 

ü   Impair : F(2n) = F(n+1)2 - F(n-1)2  

ü   F(n+p+1) = F(n)*F(p) + F(n+1)*F(p+1)

ü   Somme [F(k) avec (k=1 à n)] = F(n+2) – 1

ü   Somme [L(k) avec (k=1 à n)] = L(n+2) - 3

 

 

Fibonacci premiers

 

F est premier si

n est premier

ou si

n = 4

 

Condition nécessaire, mais  pas suffisante; voir le tableau

 

P

2

3

5

7

11

13

17

19

 

F

1

2

5

13

89

233

1597

4181

...

 

P*

P

P

P

P

P

P

37 x 113

 

 * par extension et générosité

 

 

Liste des valeurs de n pour lesquelles F est premier

 

3

4

5

7

11

13

17

23

29

43

47

83

 

131

137

359

431

433

449

509

569

571

 

 

2971

4723

5387

9311

…

 

 

 

 

 

 

-Ý- TRIBONACCI

 

 

 Somme des trois nombres précédents

 

1

1

2

4

7

13

24

44

81

149

274

Etc.

 

 

 

 

 

 

-Ý- FIBONACCI PUISSANCE

 

 

Recherche sur les nombres de Fibonacci

 

§  Quels sont ceux qui sont carrés, cubes …

§  Dont la somme est un carré …

 

 

Fibonacci carré

 

Rang

2

3

13

< 1000

Fn

1

1

144

Aucun autre

 

 

Fibonacci cube

 

Rang

2

3

7

< 100

Fn

1

1

8

Aucun autre

 

 

Fibonacci puissance 5

 

Rang

2

3

< 100

Fn

1

1

Aucun autre

 

 

Somme de 2 Fibonacci consécutifs = carré

 

Rang

11

< 100

Fn

55

Aucun autre

Fn+1

89

 

 

Somme de 2 Fibonacci consécutifs = cube

 

Rang

5

< 100

Fn

3

Aucun autre

Fn+1

5

  

 

 

 

 

 -Ý- SOMME RATIONNELLE

 

 

Principe de sommation

 

§  On peut former une addition spéciale avec les nombres de Fibonacci

§  En décalant chaque nombre d'un cran vers la droite

0, 1

0, 01

0, 002

0, 0003

0, 00005

0, 000008

0, 0000013

0, 00000021

0, 000000034

0, 0000000055

0, 00000000089

0, 000000000144

0, 0000000000233

0, 0……………….

0, 112359550561…

Suite >>>

Résultats

 

§  La limite de cette somme avec les Fibonacci est exactement 10/89,

qui est un nombre rationnel, périodique qui se répète après 44 décimales

10 / 89   =   0,112 359  …

 

= 0, 112 359 550 561 797 752 808 988 764 044 943 820 224 719 10  112 359 5 …

§  Suite des 25 premiers termes de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025                     

§  Valeur de la somme décalée

 

 

0, 112 359 550 561 797 752 807 540 5

 

§  La même propriété se retrouve avec les nombres de Lucas

Rationnel de période 44 (comme ci-dessus)

12 / 89   =   0,134 831  …

 

= 0, 134 831 460 674 157 303 370 786 516 853 932 584 269 662 92  134 831 4 …

§  Suite des 25 premiers termes de Lucas:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761

§  Valeur de la somme décalée

 

0, 134 831 460 674 157 303 367 548 1

 

En décalant les Fibonacci de deux crans

10 /     9 899 = 0,010 102 030 508 …

Avec trois crans

10 / 998 999 = 0,000 010 020 030 …

Etc.

…

 

Qu'est-ce qui pousse ces sommes à tendre

vers des nombres rationnels lorsqu'on va jusqu'à l'infini ?

On ne sait pas encore!

 

 

 

 

Voir Tables de ces nombres

 

 

-Ý-