NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Brevet 01

  Bac2018 n°4 N

Bac2018 n°4 S

Terminale

 

Sommaire de cette page

 

>>> Question n°1 – Nombres complexes (non spécialité)

>>> Question n° 2 – Récurrence

>>> Question n° 3 – Longueur ligne brisée

 

 

Baccalauréat S 2018

Une pétition très suivie a été émise protestant contre la difficulté du quatrième exercice, jugé infaisable, et contre le troisième considéré comme hors-programme.

Cet exercice "n°4 – non spécialité" a semblé trop calculatoire et sans possibilité de se rassurer en cours de route.

Baccalauréat S

Session 2018

Mathématiques

"Normal"

Exercice n°4

Voir EnseignementIndex

 

 

Exercice n°4 – Nombres complexes (non spécialité)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct :

On pose z0 = 8 et pour tout entier naturel n :

On note An le point du plan d’affixe xn.

 

Rappels

Repère orthonormé >>>

Nombres complexes en terminale >>>

Affixe : coordonnées d'un point du plan donnée par sa notation complexe : z =  a + ib.

Récurrence : la valeur de la variable à l’itération n+1 est déduite de sa valeur à l’itération précédente n >>>

1a) Vérifiez que

 

 Ce qui est demandé, en fait : passage de la présentation algébrique à la présentation polaire.

Il faut connaitre le module (longueur) et l'argument (angle)

Alors : a – i b devient 

Partie réelle &

Partie imaginaire

Représentation

 

À faire à main levée et sans se soucier de l’échelle

Si possible tout de même sur u papier quadrillé en respectant l’ordre de grandeur.

L’angle est très proche de – 30° car la droite verte coupe le cercle trigonométrique pour y = - 0,5 (grosse flèche mauve).

 

Voir Cercle trigonométrique

 

 

Module

Le calcul de l’argument passe par le calcul du sinus et du cosinus de l’angle

Forme exponentielle de ce nombre que l’on baptise z

 

 

1b) En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes z1, z2, z3 sous forme exponentielle et vérifiez que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

 

 

Un produit ! La forme exponentielle s’y prête bien :

Produit des modules et addition des arguments

Calcul des zi

 

L’argument de z3 est un angle en  90°, c’est un complexe imaginaire pur

 

 

1c) Représenter graphiquement les points A0, A1, A2, A3 ; on prendra pour unité le centimètre.

A0 correspond à z = 8, un réel qui se trouve sur l’axe des x, abscisse 8.

A1 est le rayon d’angle – 30° et avec une longueur de 6,92.

A2 est le rayon d’angle – 60° et avec une longueur de 6.

A3 est le rayon d’angle – 90° et avec une longueur de 5,2. Ce qui confirme son statut d’imaginaire pur négatif.

 

 

2a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n,

La démonstration par récurrence consiste à vérifier que cette relation est vraie au début et que, étant supposée vraie pour n elle est aussi vraie pour n + 1

Vraie pour z1

Valeur pour zn+1

 

On se souvient que :

an+1 = an . a

e(n+1)k = en.k . ek

 

 Ce qui est bien notre formule de récurrence

 

 

2b) Pour tout entier n, on pose

 

Déterminer la nature et la limite de (un).

L’idée consiste à recalculer la formule de récurrence dans ce cas.

On rappelle que /z/ est le module, soit le coefficient devant l’exponentielle.

Récurrence en reprenant la formule initiale de l’énoncé

On a calculé le module du premier terme

Reprenons

C’est une suite géométrique de raison rac(3)/2, inférieure à 1

Comportement de la suite (chaque nouveau terme diminue)

 

 

3a) Démontrer que, pour tout entier naturel k,

 

En déduire que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité

Simple calcul avec des nombres complexes, sans oublier l’emploi du conjugué.

 

Le numérateur est une soustraction de nombres complexes. La somme donnerait la longueur de diagonale issue de l’origine ; la soustraction donne la longueur de l’autre diagonale, le segment qui joint les deux points représentés.

Calcul du numérateur, toujours avec la formule initiale

 

En divisant par le dénominateur

Multiplication du dénominateur par le conjugué pour sortir la racine

 

Transformation de la relation en termes de longueurs (cf. remarque liminaire)

 

3b) Pour tout entier naturel n, on appelle ln la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0, A1, A2, A3 … An-1, An.

On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 + … + An-1An

Démontrer que la suite (ln) est convergente et calculer la limite.

 

La ligne brisée invoquée est constituée des segments qui relient tous les points les uns après les autres.

 

La longueur demandée est la somme des longueurs calculées précédemment pour chaque segment.

Somme des longueurs

 Avec OA = /z/ = u,

calculé précédemment

Or u est une suite géométrique

 

Formule de calcul de la somme :

 

 

Pour n tendant vers l’infini la puissance n de (rac(3) / 2 = 0,866 < 1) tend vers 0.

Résulta final  obtenu en multipliant par le conjugué.

 

 

 

 

 

 

Suite

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