NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Introduction – Rappels >>> Introduction – Nombres complexes >>> Racine carrée des nombres négatifs >>> Opérations >>> Nombres complexes et trigonométrie >>> Forme exponentielle

Nombres complexes

Résumé du cours de terminale

Rappel des principales notions à connaître en classe de terminale et liens vers les pages de développements et d'exercices de ce site. Une page spéciale est consacrée aux techniques opératoires à connaître en terminale.

Notez Bien: on aurait dû appeler ces nombres autrement: binombre ou duonombre, par exemple. A priori, rien de complexe !

Introduction – Rappels
Géométrie – Droite Un repère orthonormé: . Équation de la droite: ax + by + c = 0 avec a et b différents de 0. Distance M0M:
Géométrie – Cercle Cercle de centre : et de rayon R. Son équation:
Trigonométrie Un repère orthonormé direct: . Un cercle orienté de centre O et de rayon = 1. Un point M (x; y) auquel est associé l'angle orienté , un nombre réel. L'abscisse de M: et L'ordonnée de M: .	Suite en Cercle trigonométrique

Introduction – Nombres complexes
Introduction des nombres complexes Les coordonnées du point M se notent de trois façons équivalentes: La valeur imaginaire "i" joue le même rôle sur la droite des imaginaires que "1" sur la droite des réels. À tout point M est associé un nombre complexe x + i.y.	Suite en Représentation cartésienne
Avec les nombres réels, on travaille avec des nombres alignés sur une droite: une seule dimension. Les nombres réels deviennent un cas particuliers (un sous-ensemble) des nombres complexes.	Avec les nombres complexes, on travaille avec des nombres disposés dans un plan: deux dimensions. Les nombres complexes sont une extension des nombres réels à deux composantes: l'une réelle (les nombres classiques), et l'autre associée, (imaginaire). Suite en Ensembles des nombres

Définition des nombres complexes

Racine carrée des nombres négatifs
Dans le monde des réels	car 2 x 2 = 4 et (–2) x (–2) = 4
Dans le monde des imaginaires Avec l'astuce de i² = -1	car 2i x 2i = 4i² = 4 x(–1) = –4 et (–2i) x (–2i) = 4i² = 4 x(–1) = –4
Équation du second degré (trinôme) y compris à discriminant négatif	Équation du second degré et sa forme canonique Forme canonique complète: Il devient possible de prendre la racine carrée de ce nombre négatif en introduisant i, et de continuer les calcules jusqu'à l'obtention des racines complexes de l'équation. Suite en Équation du second degré
Équations du troisième degré	Encore plus profitable, cette astuce des nombres imaginaires permet de poursuivre les calculs et d'aboutir … à une racine réelle, autrement impossible à calculer.
Équations quelconque: théorème de D'Alembert- Gauss	Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet n racines dans , racines distinctes ou confondues.

Merci à Sten M. pour sa lecture attentive

Opérations
Conjugué	2 + 3i et 2 – 3i sont deux nombres complexes conjugués.
Addition et soustraction	(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
Multiplication par k	(2 + 3i) x 4 = 8 + 12i
Multiplication Multiplication avec parenthèses, puis i² = –1	(2 + 3i) x (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i² = 8 + 10i + 12i – 15 = –7 + 22i
Carré	(2 + 3i)² = 4 + 12i + 9i² = –5 + 12i
Produit des conjugués	(2 – 3i)(2 + 3i) = 4 – (9i²) = 4 + 9 = 13, un nombre réel
Inverse d'un complexe
Puissance de 1
Inverse de i Notez bien	Moins i	Moins un

Opérations sur les conjugués

Complexes et trigonométrie
Nombre complexe: z = a + ib z le nombre représentant le point M, c'est l'affixe du point M ou l'affixe du vecteur . M est le point image du nombre complexe z. Illustration de laquelle nombre de propriétés peuvent être déduites.
Son module (la longueur de OM) (notation avec deux barres verticales)
Somme des modules (identité triangulaire)
Propriétés du module	Le module d’un produit est égal au produit des modules; Le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est égal à l’inverse de son module; et Le module d’un quotient est égal au quotient des modules.
Argument ou angle (thêta) = toute valeur de en radians
Propriétés de l'argument
Forme trigonométrique
Égalité	Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2 près).
Relations
Opérations

Cas du nombre 0

0 est aussi considéré comme un imaginaire pur, car 0i = 0.

0 n'a pas d'argument (pas d'angle!)

Forme exponentielle
On admet cette relation:
Écriture exponentielle d'un nombre complexe
Cas où le module est unitaire et l'argument est l'angle droit (Pi/2). On trouve alors une forme exponentielle de i.
Identité d'Euler Module 1 et argument Pi
Propriétés

Bilan

Comme nous l'avons précisé, les nombres complexes constituent un outil performant pour exécuter des calculs dans de nombreux domaines. Alors, passons maintenant aux techniques opératoires indispensables à connaître en classe de terminale >>>

Merci à Ricky pour sa relecture attentive

Suite	Complexes – Techniques opératoires Complexes – Introduction Complexes – Index
Voir	Constantes Inventaire des types de nombres Nombres – Glossaire et index Nombres réels Opérations – Index Vecteurs
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