NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Général

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Terminale

Débutants

Introduction

Glossaire

Cours de Terminale

Technique opératoire

Ex1

Ex2

Ex3

Ex4

 

Sommaire de cette page

>>> Introduction – Rappels

>>> Introduction – Nombres complexes

>>> Racine carrée des nombres négatifs

>>> Opérations

>>> Nombres complexes et trigonométrie

>>> Forme exponentielle

 

 

 

 

 

Nombres complexes

Résumé du cours de terminale

 

Rappel des principales notions à connaître en classe de terminale et liens vers les pages de développements et d'exercices de ce site. Une page spéciale est consacrée aux techniques opératoires à connaître en terminale.

 

 

 

Introduction – Rappels

Géométrie – Droite

Un repère orthonormé: .

 

Équation de la droite: ax + by + c = 0

avec a et b différents de 0.

 

Distance M0M:

 

 

 

 

Géométrie – Cercle

 

Cercle de centre :

et de rayon R.

 

Son équation:

 

 

Trigonométrie

Un repère orthonormé direct: .

 

Un cercle orienté de centre O

et de rayon  = 1.

 

Un point M (x; y) auquel est associé l'angle orienté , un nombre réel.

 

L'abscisse de M:  et

L'ordonnée de M: .

 

Suite en Cercle trigonométrique

 

 

 

Introduction – Nombres complexes

 

Introduction des nombres complexes

 

Les coordonnées du point M se notent de trois façons équivalentes:

 

 

La valeur imaginaire "i" joue le même rôle sur la droite des imaginaires que "1" sur la droite des réels.

 

À tout point M est associé un nombre complexe x + i.y.

 

 

Suite en Représentation cartésienne

 

 

 

Avec les nombres réels, on travaille avec des nombres alignés sur une droite: une seule dimension.

 

Les nombres réels deviennent un cas particuliers (un sous-ensemble) des nombres complexes.

 

 

Avec les nombres complexes, on travaille avec des nombres disposés dans un plan: deux dimensions.

 

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels à deux composantes: l'une réelle (les nombres classiques), et l'autre associée, (imaginaire).

Suite en Ensembles des nombres

 

 

 

 

 

Définition des nombres complexes

 

 

 

Racine carrée des nombres négatifs

Dans le monde des réels

 

car 2 x 2 = 4 et (–2) x (–2) = 4

 

Dans le monde des imaginaires

 

Avec l'astuce de i² = -1

 

car 2i x 2i = 4i² = 4 x(–1) = –4

et (–2i) x (–2i) = 4i² = 4 x(–1) = –4

 

 

 

Équation du second degré (trinôme)

 

y compris à

discriminant négatif

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Équation du second degré et sa forme canonique

 

Forme canonique complète:

 

Il devient possible de prendre la racine carrée de ce nombre négatif en introduisant i, et de continuer les calcules jusqu'à l'obtention des racines complexes de l'équation.

 

Suite en Équation du second degré

 

Équations du troisième degré

 

Encore plus profitable, cette astuce des nombres imaginaires permet de poursuivre les calcules et d'aboutir … à une racine réelle, autrement impossible à calculer.

 

Équations quelconque: théorème de D'Alembert- Gauss

 

Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet n racines dans , racines distinctes ou confondues.

 

 

 

 

Opérations

Conjugué

2 + 3i et 2 – 3i sont deux nombres complexes conjugués.

Addition et soustraction

 

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

 

Multiplication par k

(2 + 3i) x 4 = 8 + 12i

Multiplication

 

Multiplication avec parenthèses, puis i² = –1

 

(2 + 3i) x (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i²

= 8 + 10i + 12i – 15

= –7 + 22i

 

Carré

(2 + 3i)² = 4 + 12i + 9i² = –5 + 12i

Produit des conjugués

(2 – 3i)(2 + 3i) = 4 – (9i²)

= 4 + 9 = 13, un nombre réel

Inverse d'un complexe

Puissance de 1

 

Inverse de i

 

 

Opérations sur les conjugués

 

 

 

Complexes et trigonométrie

 

Nombre complexe

 

z le nombre représentant le point M, c'est l'affixe du point M ou l'affixe du vecteur .

 

M est le point image du nombre complexe z.

 

 

 

z = a + ib

 

 

Son module (la longueur de OM)
(notation avec deux barres verticales)

 

 

 

 

Somme des modules (identité triangulaire)

 

 

 

Propriétés du module

 

 

*    Le module d’un produit est égal au produit des modules;

*    Le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est égal à l’inverse de son module; et

*    Le module d’un quotient est égal au quotient des modules.
 

 

Argument  ou angle (thêta)
= toute valeur de
 en radians

 

 

Propriétés de l'argument

 

 

 

 

Forme trigonométrique

 

 

Égalité

 

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2 près).

 

Relations

 

 

Opérations

 

Cas du nombre 0

0 est aussi considéré comme un imaginaire pur, car 0i = 0.

0 n'a pas d'argument (pas d'angle!) 

 

Forme exponentielle

On admet cette relation:

 

Écriture exponentielle d'un nombre complexe

 

Cas où le module est unitaire et l'argument est l'angle droit (Pi/2).

 

On trouve alors une forme exponentielle de i.

 

 

 

 

Identité d'Euler

Module 1 et argument Pi

 

 

Propriétés

 

Bilan

Comme nous l'avons précisé, les nombres complexes constituent un outil performant pour exécuter des calculs dans de nombreux domaines. Alors,  passons maintenant aux techniques opératoires indispensables à connaître en classe de terminale >>>

 

 

 

 

Suite

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*         Complexes – Introduction

*         ComplexesIndex

Voir

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*         NombresGlossaire et index

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*         OpérationsIndex

*         Vecteurs

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