NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique  LOGIQUE

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Ensemble

 

Théorie des ensembles

 

 

 

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Théorie des ensembles

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définitions

>>> Dénombrable et continu

>>> Cardinal

 

 

 

 

Théorie des ensembles

FINI & INFINI

 

Comment distinguer à coup sûr un ensemble fini d'un ensemble infini?

 

 

Approche

 

Ensemble fini

*      C'est une collection d'objets, de nombres, comptant une quantité limitée de ces objets.

L'ensemble de chiffres est fini: il compte dix éléments: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

 

Ensemble infini

*      C'est une collection d'objets, de nombres, comptant une infinité de ces objets.

L'ensemble de nombres entiers est infini: il contient une collection sans fin de nombres: {0, 1, 2, … 123,  124, …}.

 

*      Les trois points indiquent qu'il n'y a pas de limite à la succession de ces éléments. Le symbole  est utilisé pour désigner le "dernier" élément de l'ensemble des nombres.

L'ensemble des nombres entiers positifs est décrit par: {tous les nombres de zéro à l'infini}.

 

*      La valeur littérale d'un élément de l'ensemble est parfois donnée par n ou une formule en n.

Nombres entiers: {0, 1, 2, …   n,   …}.

Nombres pairs:    {0, 2, 4, … 2n,   …}.

 

*      Les ensembles suivants sont infinis:

*           nombres entiers,

*           nombres pairs, nombres impairs,

*           nombre carrés, cubes ou autres puissantes,

*           nombres premiers,

*           nombres rationnels,

*           nombres réels,

*           nombres complexes,

*           etc.

 

 

Définitions

 

*      Comment passer d'une explication intuitive simple à une définition mathématique précise … 

 

Sous ensemble propre (SEP)

*      Un ensemble P est un sous-ensemble propre d’un ensemble E

*           si tout élément de P appartient à E et

*           si au moins un élément de E n’appartient pas à P.

 

Dis-autrement: P est une partie de E sans qu'il soit E.

le sous ensemble {0, 2, 4, 6, 8} est un SEP de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

 

Bijection

*      Deux ensembles E et F sont en bijection si

*           tout élément de l'un a une image dans l'autre, et

*           tout élément de l'autre a une image dans le premier.

 

Dis-autrement: les éléments se correspondent un à un.

E = {1, 2, 3} et F = {2, 4, 6} sont en bijection en prenant le double des éléments de E pour passer à F.

 

Deux classes d'ensembles

*      Avec ces définitions, on définit les ensembles infinis et les ensembles finis:

*           les ensembles infinis sont ceux dont les éléments peuvent être mis en relation bijective avec les éléments d’un sous-ensemble propre, et

*           les ensembles finis sont tous les autres.

Axiome de Dedekind (1831-1916)

 

Infini

1) L'ensemble des nombres pairs est un sous-ensemble propre de l'ensemble des nombres entiers.

2) Il est possible de passer de façon unique d'un nombre entier à un nombre pair en le doublant et il est possible de passer d'un nombre pair à un nombre entier unique en effectuant une division par deux. Ces deux ensembles sont en bijection.

1) et 2) = > ces ensembles sont infinis.

 

Fini

Avec un ensemble tel que {1, 2, 3, 4}, il est impossible de trouver un sous ensemble propre (ex:{1, 2, 3} ) tel que les deux ensembles soient en bijection. Il n'est pas possible que tous les éléments de l'un aient une correspondance dans l'autre et que tous les éléments de l'autre aient une correspondance dans le premier.

 

Définition mathématique: un ensemble fini est un ensemble E tel qu'il n'existe pas d'injection non surjective de E dans E.

 

 

 

Dénombrable & continu

 

*      Les ensembles infinis de nombres en bijection avec l'ensemble des nombres entiers () sont dénombrables: ils comportent la même quantité (certes infinie) d'éléments.

*      Cependant, l'ensemble des nombres réels () – entiers, rationnels, irrationnels et transcendants – n'est pas dénombrable. En effet, il n'existe aucune bijection de cet ensemble avec celui des nombres entiers. L'ensemble  possède une quantité infinie d'éléments supérieure à celle de .

*      Par contre, la quantité infinie de nombres réels est en bijection avec celle du nombre de points sur une ligne (de longueur quelconque d'ailleurs). On dit que l'ensemble  a la puissance du continu.

 

Voir Curieux infinis

 

 

CARDINAL

 

*      Le cardinal d'un ensemble témoigne de la quantité d'éléments qu'il contient.

 

L'ensemble de chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} compte dix éléments. Son cardinal est 10.

 

*      Le cardinal d'un ensemble fini est fini et les cardinaux finis sont les nombres entiers naturels.

*      Le cardinal d'un ensemble infini est infini. Son existence est un axiome de la théorie des ensembles. Il en existe un nombre infini et sont notés   (Aleph i). Ce sont les transfinis.

*           Le cardinal de l'ensemble infini des nombres entiers est  , le plus petit des cardinaux infinis.

*           Le cardinal de l'ensemble infini des nombres réels est  le cardinal suivant .

 

 

 

 

 

 

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