NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

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Général

 

Dénombrement

Nombres

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Droites

 

Sommaire de cette page

>>> APPROCHE

>>> Ensemble & Ensemble des PARTIES

>>> Ensemble PLUS GRAND

>>> Les INFINIS

 

 

COMPTER DANS LES ENSEMBLES

 

*       Découpons un ensemble en morceaux et comptons les parties obtenues.

*       L'infini ne se cache pas loin! Où l'on arrive à créer un ensemble plus grand que n'importe quel ensemble imaginable.

 

 

Les femmes sont capables de tout. Les hommes du reste.

Henri de Régnier

Voir Pensées & humour

 

APPROCHE – Deux éléments

 

Ensemble de 2 éléments

 

 

*      Combien y a-t-il de façons de choisir ces éléments par 2, par 1 … ?

*      Je cherche toutes les combinaisons réalisables avec les éléments de cet ensemble.

 

*      On parle de parties.

2 éléments

 

1 sous-ensemble

1 élément

2 sous-ensembles

0 élément

 

1 sous-ensemble

Total des possibilités de décomposition en parties

4 sous-ensembles

Deux remarques importantes:

*      Une coïncidence ou une règle générale ?
Un ensemble de deux éléments donne 4 sous-ensembles.

*      Attention à la marche!
La collection des quatre  sous-ensembles forme un nouvel ensemble que l'on appelle l'ensemble des parties.

 

4 = 2 2

 

 

 

 

APPROCHE – Trois éléments

 

Ensemble de 2 éléments

 

  

 

*      Combien y a-t-il de façons de choisir ces éléments par 3, par 2, par 1 … ?

*      Je cherche toutes les parties réalisables avec les éléments de cet ensemble.

 

3 éléments

  

1 sous-ensemble

2 éléments

 

 

 

3 sous-ensembles

1 élément

3 sous-ensembles

0 élément

 

1 sous-ensemble

Total des possibilités de décomposition en parties

8 sous-ensembles

Conclusion

*      On retrouve la puissance de deux:
Un ensemble de 3 éléments donne 8 sous-ensembles.

 

 

8 = 2 3

 

 

ENSEMBLE & ENSEMBLE DES PARTIES

 

Ensemble

{ ,  , }

n éléments

 

Ensemble des parties

{(),

(),(),

(),(),

(),(),( )}

2 n éléments

Si un ensemble contient n éléments, l'ensemble de ses parties contient 2 n éléments.

 

 

ENSEMBLE PLUS GRAND

 

Avez-vous déjà remarqué que

*      Quel que soit l'ensemble considéré, je sais créer un ensemble bien plus grand. Il suffit simplement de considérer l'ensemble de ses parties.

D'un ensemble de n éléments, on passe à un ensemble de 2 n éléments

 

Avec ce type de construction

*      On se dirige tout droit vers l'infini !

 

Voir

Je sais créer un nombre différent

Je sais créer une nombre premier plus grand

Je sais créer plus de points que je ne peux en compter

 

 

 

LES INFINIS

 

On se souvient que:

*      L'ensemble des nombres rationnels est infini et, sa taille est 0

Mais, il y a des ensembles plus grands.

Que l'on peut construire au moins de 2 manières:

Recherche des parties

Diagonale de Cantor

C'est la méthode que nous venons de voir ci-dessus

avec les nombres rationnels.

C'est la manière que nous avons vu sur une autre page

avec les nombres réels.

 

L'ensemble de ses parties est plus grand et, sa taille est:

 

L'ensemble des nombres réels forme une  infinité d'un ordre plus grand et, sa taille est:

1

 

*      On trouve effectivement deux nouveaux types d'infinis.

Sont-ils différents ou identique ?

Question qui a troublé les mathématiciens …

 

Voir réponse en Dénombrable et continu

En maths, on remplace le mot taille par cardinal

 

 

Suite

*       Compter les droites

*       Partition des ensembles

*       InfiniIndex

Voir

*    Calcul mental

*    Cardinal

*    Crises en maths

*    Diagonale de Cantor

*    Ensemble - Glossaire

*    Fini et infini

*    Groupe

*    Jeux

*    Les infinitésimaux

*    Les nombres et leurs ensembles

*    Magie

*    Nombres rationnels

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