Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 01/11/2020

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de triangles

Triangle

Géométrie

 

Triangle: Droites remarquables

Droites et points

Bissectrices

Hauteurs – Propriétés

Point Milieu

Médianes

Hauteurs – Démo

Point et triangles

Médiatrices

Hauteurs – Démo-suite

Distances

 

 

HAUTEURS du TRIANGLE (3/3)

 

Propriétés des hauteurs du triangle. Suite des démonstrations sur l'orthocentre.

Occasion de découvrir de nombreuses propriétés des hauteurs des triangles.

    

 

Sommaire de cette page

>>> Démo avec quadrilatères inscriptibles

>>> Démo avec les bissectrices

>>> Démonstration la hauteur symétrique

>>> Démonstration la parallèle à la hauteur

>>> Démo avec vecteurs

>>> Démonstration avec nombres complexes

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Hauteur

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

 

Démonstration avec quadrilatères inscriptibles

haut

 

Démonstration – Inscriptible  / Cocycliques  

Le triangle ABC et ses deux hauteurs BB' et CC' qui se coupent en E.

Il s'agit de montrer que AE est perpendiculaire à BC et constitue la troisième hauteur.

 

Avec la présence d'angles droits, les quadrilatères BCB'C' et AB'EC' sont inscriptibles (BC est le diamètre de l'un des cercles et AE celui de l'autre).

Les angles en vert qui, deux à deux, interceptent des arcs égaux sont égaux.

Avec l'égalité des angles en A et C, le quadrilatère ACA'C' est inscriptible lui aussi (petits pointillés).

L'angle en C' est droit (AC est le diamètre de ce cercle), alors l'angle en A' est droit lui aussi.

 

Réciproque

Si AA', BB' et CC' sont les céviennes du triangle ABC se coupant en E et si les quadrilatères AC′EB′ and C′B′CB sont inscriptibles, alors E est l'orthocentre du triangle.

 

 

Propriété

Si deux quadrilatères parmi les six (AC′EB′; BA′EC′; CB′EA′; C′B′CB; A′C′AC; B′A′BA) sont inscriptibles, alors ils le sont tous et E est l'orthocentre du triangle.

Voir Propriétés des angles

 

 

Démonstration avec les bissectrices

haut

Démonstration – Bissectrices (1) 

Le triangle ABC et son cercle circonscrit

Les trois hauteurs en vert supposées non concourantes sont prolongées et rencontrent le cercle en A', B' et C'.

Les angles a1 et a1' qui interceptent le même arc sont égaux. Or a1' = 90° – a (dans le triangle rectangle ABB'')

Les angles a2 et a2' qui interceptent le même arc sont égaux. Or a2' = 90° – a.

Les angles a1 et a2 sont égaux et AA' est la bissectrice de l'angle en A'.

Même chose pour BB' et CC', bissectrices des autres angles du triangle A'B'C'. Or les bissectrices se coupent en un point unique.

Ces bissectrices sont aussi les hauteurs du triangle ABC. Celles-ci se coupent donc en un point unique.

L'orthocentre de ABC est aussi le centre du cercle inscrit au triangle A'B'C' (empreinte des hauteurs sur le cercle circonscrit).

 

Démonstration – Bissectrices (2) 

Le triangle ABC et son cercle circonscrit

Les trois hauteurs en vert. H est l'intersection de AA' et BB'. La troisième CC' est supposée non concourante.

On veut montrer que AA' est la bissectrice de l'angle B'A'C', que a1 = a2.

Les points AB'A'B sont cocycliques (triangles rectangles AB'B et AA'B). L'angle a1' est supplémentaire de BA'B' qui est supplémentaire de l'angle a. A1' = a
a1 = 90° – a1' = 90° – a

De même avec le quadrilatère inscriptible ACA'C':
a2 = 90° – a2' = 90° – a

AA' est la bissectrice de l'angle BA'C'; de même pour les deux autres. Or les bissectrices se coupent en un seul point. Comme ce sont les hauteurs du triangle ABC, celles-ci se coupent un point unique.

 

 

 

L'orthocentre de ABC est aussi le centre du cercle inscrit au triangle A'B'C' (pieds des hauteurs).

 

Démonstration la hauteur symétrique

haut

Démonstration –  tracé d'une hauteur symétrique

Triangle ABC et son cercle circonscrit.

Hauteur AA' prolongée qui coupe le cercle en H'

On positionne un point H sur AA' tel que A'H = A'H'. (vous le devinez BH est une hauteur; elle est symétrique de BH' par rapport au côté BC).

 

Par construction, les angles: a1 = a2.

Interceptant le même arc CH':  a2 = a3

Les angles égaux a1 et a3 interceptent le même arc A'B'. Les points ABA'B' sont cocycliques.

Interceptant le même arc AB, les angles en A et en B' sont égaux et valent un angle droit.

Le segment BB' est bien une hauteur.

Le même raisonnement tient pour la hauteur issue de C.

 

Démonstration avec la parallèle à la hauteur

haut

Parallélogramme avec les hauteurs

Triangle ABC et son cercle circonscrit.

Le point E diamétralement opposé à A.

Le quadrilatère BECH (bleu) est un parallélogramme.

M est le point milieu des diagonales.

Avec OB = OC = R, le triangle OBC est isocèle en O et sa médiane OM est aussi sa médiatrice. OM est perpendiculaire à BC.

Dans le triangle AHE, O et M sont des points milieux. OM est parallèle à AH et AH est donc perpendiculaire à BC comme OM.

Finalement, AH est bien une hauteur du triangle ABC et elle passe par H, intersection des deux autres hauteurs.

On trouve cette démonstration dans le pdf de Daniel PERRIN

 

Démonstration avec vecteurs

haut

 

Les hauteurs AA' et BB' se coupe en H. Il faut démontrer que la droite CC' est perpendiculaire à AB.

 

On note les vecteurs:

Traduction de HA perpendiculaire à BC:

Traduction de HB perpendiculaire à AC:

 

En ajoutant les deux égalités et en développant:

Cette relation veut dire que OC est perpendiculaire à AB.

Les trois hauteurs sont concourantes.

  

 

Rappel

 

 

Démonstration avec nombres complexes

haut

 

Le cercle trigonométrique est le cercle circonscrit au triangle ABC.

La démo est immédiate. Je donne une application numérique pour faciliter la compréhension.

 

Lecture des coordonnées sur la figure

 

 

 

   

Voir Nombres complexes

 

Démonstration

Les points A, B et C sont donnés. Le point M est le milieu de BC.

Nommons S le point suivant:

 

OM est la médiatrice, elle est perpendiculaire à BC, alors, la quantité suivante est purement imaginaire:

 

Complexes et orthogonalité

En remplaçant mu:

Même raisonnement pour les autres côtés. S est l'orthocentre H.

 

Vérification numérique

 

Haut de page

 

Retour

*      Hauteurs du triangle (1/3)

*      Démonstrations (2/3)

Suite

*      Médianes

*      Droites et points

*      Droite d'Euler

*      Droite de Simson

Voir

*      TriangleIndex

*      TriangleGlossaire

*      Éléments de géométrie

*      Triangle – Débutants, novices

*      DicoMot

*      DicoNombre

Sites

*      Le concours des hauteurs d’un triangle – Daniel PERRIN – Université Paris Saclay

*      Proof that the Altitudes of a Triangle are Concurrent – The University of Georgia

*      Concurrency of the Altitudes of a Triangle – Mowaffaq Hajja and Horst Martini

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Hauteur2.htm