NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉLÉMENTS de base

 

Débutants

Géométrie

 

Junior

Découverte des quadrilatères

 

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

INDEX

 

Polygones et  polyèdres

 

Géométrie

 

 

 

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Parallélogramme – Toutes les formules

Rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés

>>> Aire

>>> Curiosités – Théorèmes

>>> Partage du parallélogramme

>>> Aire analytique (vecteurs)

>>> Diagonales et milieu – Démonstration

 

 

 

 

PARALLÉLOGRAMME

 

Quadrilatère plan dont les côtes sont parallèles deux à deux.

 

Parallélogrammes particuliers: rectangle, losange et carré

 

Note: le parallélogramme est utilisé dans les organigrammes (description d'algorithmes) pour désigner une entrée de données.

parallelogrammes

Hexagone formé de 12 parallélogrammes

(losanges)

 

Anglais: Parallelogram: A quadrilateral that contains two pairs of parallel sides.

A four-sided plane figure that has two sets of opposite parallel sides.

 

La famille

Voir Parallélépipède et sa famille

 

 

 

Ce qu'il faut savoir du parallélogramme

Un parallélogramme a:

*    ses côtés opposés sont parallèles;

*    ses côtés opposés 2 à 2 de même longueur;

*    ses angles opposés 2 à 2 de même mesure;

*    ses angles adjacents sont supplémentaires (= 180°)

*    ses quatre angles totalisent 360°

*    ses diagonales, inégales, se coupent en leur milieu;

*    chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles égaux >>>

*    les deux diagonales divisent le parallélogramme en deux paires de triangles égaux >>>

*    la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés >>>

*    pour centre de symétrie l'intersection de ses diagonales.

*    les bissectrices des angles opposées sont parallèles >>>

*    les bissectrices de deux angles adjacents sont perpendiculaires >>>

*    les quatre bissectrices délimitent un rectangle >>>

 

C'est un parallélogramme si:

*    un quadrilatère* a ses côtés opposés deux à deux de même mesure;

*    un quadrilatère* a ses angles opposés deux à deux de même mesure;

*    un quadrilatère* a deux côtés opposés parallèles et de même longueur;

*    un quadrilatère* a ses diagonales qui se coupent en leur milieu;

*    un quadrilatère* a un centre de symétrie;

*    un quadrilatère* à deux côtés parallèles et de même longueur;

*    un trapèze à ses côtés parallèles;

 * quadrilatère non croisé.

Voir Démonstration du théorème des points milieux du triangle

 

 

 

PROPRIÉTÉS

Côtés opposés

Parallèles

Mêmes longueurs

AB = CD

AD = BC

Angles opposés

Égaux

AABC = ACDA

ABCD = ADAB

Angles consécutifs

Supplémentaires

AABC + ABCD = 180°

Aire

Base par hauteur

Aire = L . h

Règle du parallélogramme

Somme des carrés de tous les côtés

= somme des carrés des diagonales

Diagonales (Figure ci-dessous)

Voir Toutes les autres formules du parallélogramme / Exemple de calculs

 

 

 

 

Triangles formés par les diagonales

 

Les diagonales partagent le parallélogramme en quatre triangles d'aires égales.

 

Angles alternes internes égaux.

AABD = ABDC

Même milieu O.

Médiane de l'autre.

Centre de symétrie du parallélogramme.

OA = OC

OB = OD

Grands triangles égaux.

Deux côtés de même longueur.

Un angle égal.

Aire égale à la moitié de celle du parallélogramme.

ABD =

BCD =

CDA =

DAB

Petits triangles égaux.

ABC et DCD sont égaux.

OBC est une partie commune.

Les deux parties restantes sont égales.

OAB =

OCD =

OBC =

OAD

Suite >>>

 

 

 

Triangles avec les médianes

Tous ces triangles notés de 1 à 8 couvrent un quart de la surface du parallélogramme. De même, les huit autres en prenant les autres diagonales.

 

Voir Application

 

 

Cercle circonscrit

Cercle inscrit

 

Seul le carré possède les deux; le rectangle n'a que le cercle circonscrit.

 

 

 

AIRE

 

*    L'aire du parallélogramme est égale au produit des mesures de la longueur d'un côté par la hauteur issue de ce côté.

 

A = l . h = l' h'

 

A = l × h where the base l is any side, and the height h is the distance between the lines that the sides of length B lie on.

 

 

Deux possibilités pour calculer l'aire:

A = 10 x 2 = 4 x 5 = 20

 

 

 

Elle est équivalente à celle d'un rectangle de côtés l et h dans un sens ou dans l'autre.

 

 

 

Tous les parallélogrammes de côté l et hauteur h ont même aire A = l . h

 

Parallelograms on the same base and between the same parallels are equal in area.

 

 

 

Les quatre petits triangles découpés par les diagonales ont même aire.

 

Aire du parallélogramme

ABCD = 2h . AB

            = 2h' . BC

 

En divisant par 4

½ h . AB = ½ h' . BC

 

Or ce sont les aires des triangles:

Aire(ABO) = Aire(BCO)

 

 

Application pratique: calculez la distance x sur cette figure.

Comparaison des aires:

        P1 = T1 + P2 + T2

 

Évaluation de chacune de ses aires et mise en évidence de la valeur de x.

Voir Calcul vectoriel de l'aire

 

 

 

Curiosités – Théorèmes


Trois parallélogrammes siamois (de même aire).

Ils sont construits sur la base des deux diagonales.

Base: les trois segments cochés en rouge sont de même longueur.

Hauteur: d'évidence la même.

 

Un quadrilatère quelconque.

 

Le milieu de chaque côté.

 

Le nouveau quadrilatère formé est un parallélogramme

 

 

Théorème de Varignon (1654-1722)

 

 

Les quatre bissectrices délimitent un rectangle

 

Les bissectrices sont parallèles deux à deux => parallélogramme.

Suivons les angles:

1 = 2 car alternes internes.

2 = 3 car bissectrice

4 = 5 car bissectrice

1 + 5 + 7 = 180 ° car somme des angles

4 + 3 + 6 = 180°

6 – 7 = 0 car résultat de la différence

Les angles 6 et 7 sont égaux et leur somme vaut 180°, chacun vaut 90°.

Le parallélogramme a ses angles droits, c'est un rectangle.

 

Un parallélogramme et les carrés formés sur chacun des côtés.

 

Le quadrilatère formé avec les centres de ces quatre carrés est lui même un carré.

 

Théorème de Thébault (1882-1960)

 

 

 

Partage du parallélogramme

 

Comment partager un parallélogramme en triangles dont les aires sont dans les rapports: 1, 2, 3 et 4?

Parallélogramme ABCD.

Points milieux: I et J.

 

Les triangles AMI et IMB ont même hauteur (h, non représentée) et même longueur de base (AI = IB): ils ont la même aire, notée "a".

Même chose pour BMJ et JMC, dont l'aire est notée "b".

 

Les triangles CBI et CDJ ont une aire égale au quart de celle du parallélogramme; à partir de là, on calcule les aires indiquées sur la figure (ci-contre).

 

 

 

 

Calcul des aires indiquées sur la figure

Aire (CDJ) = Aire(CBI) = a + 2b

Aire (ABCD) = 4(a + 2b)

Aire(CDM) = a + b

Aire(ADM) = Aire(ABCD) – (2a + 2b + a + b) = 4(a + 2b) – (3a + 3b) = a + 5b

 

Quelle est la relation entre les aires a et b?

Aire(MAB) + Aire(MCD) = ½ (AB.h1 + CD.h2) = ½ (AB.h) = ½ Aire(ABCD) (hauteur non représentée).

Aire(MAD) + Aire(MBC) = ½ aire (ABCD) par le même raisonnement.

Bilan:  (2a + a + b) = (a + 5b + 2 b) = 2(a + 2b)

            3a + b = a + 7b = 2a + 4b

            a = 3b

 

Aires des quatres triangles:

Triangle

MBC

MCD

MAB

MAD

Aire

2b

3b+ b = 4b

2a = 6b

a + 5b = 8b

Rapport

1

2

3

4

 

 

Voir Partage du triangle en sept

 

 

 

Les deux parallélogrammes ABCD et ABEC ont même aire, disons 4.

Dans ces deux parallélogrammes les petits triangles ont même aire

e = f = b + c = a + d = ¼ x 4 = 1

g = h = a + c = b + d = ¼ x 4 = 1

 

123, curiosité avec deux parallélogrammes

 

Les surfaces ainsi formées sont

dans le rapport

1   pour   a et b

2   pour   c et d

3   pour   e, f, g et h

Dans le triangle ABC:

O est le milieu de AC, et BO est médiane de ABC.

O' est le milieu de BC, AO' est médiane de ABC.

Les médianes se coupent au centre de gravité M situé au 2/3 de chaque médiane en partant du sommet
     BM = 2 MO et AM = 2 MO'

Dans un triangle, une droite issue d'un sommet et coupant le côté opposé dans un certain rapport r, le rapport des aires des sous triangles formés par cette droite est dans le même rapport r

Dans ABO' => c = 2a

Dans ABO  => c = 2b

Or, b + c = 1 => a = 1/3 et c = 2/3

En recoupant toutes ces informations

e = f =g = h = 1

c = d = 2/3

a = b = 1/3

 

D'après une idée de Élisabeth Busser et Gilles Cohen – Le Monde 28 février 2006

 

 

 

 

Niveau avancé**

Aire du parallélogramme – Analytique

 

Comment calculer l'aire du parallélogramme en connaissant les coordonnées de trois points (A, B et C); ou de deux vecteurs (Ab et AC).

 

Figure

 

Calcul

*      Nous cherchons l'aire du parallélogramme (jaune)

L = T1 + T2

*    Elle est égale à celle du grand rectangle diminuée des parties bleues

L = R – (R1 + R2 + T3 + T4 + T5 + T6)

   =  R – 2(R1 + T3 + T5)

*    En développant

L = (a + c)(b + d) – 2(ab + ad/2 + cb/2)

*    En calculant

L = ab + ad + bc+ cd – 2ab – ad – bc

*    Bilan

L  = cdab

*    En coordonnées
(Barres verticales =  prendre la valeur absolue)

 

*    En vecteurs

 

*    Avec pour les trois points déterminant le parallélogramme

*    Vérification (voir figure)

A (4, 3)  ,   B (1, 9)   ,   C(11, 1)

L = (11 – 4) (9 – 3) – (1 – 4)(1 – 3)

   = 7 x 6 – (-3)(-2) = 42 – 6 = 36

Voir Aire du triangle / Volume du parallélépipède

 

 

Diagonales et milieu – Démonstration

Diagonales

 

Position du point M par deux voies

En égalant

 

 

 

 

 

 

Retour

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DicoNombre

*         Nombre 4

Sites

*         Parallélogramme - Wikipédia

*         Parallelogram (Mathworld) – toutes les formules utiles

*         Thébault problem – avec animation de A. Bogomolny

*         Interactive parallelogram

*         Parallelogram – Wolfram

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