NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>>  Approche

>>>  Explications

>>>  Identités

>>>  Historique

>>>  Anglais

 

 

 

 

 

Identités de BRAHMAGUPTA

ou de DIOPHANTE, FIBONACCI, BACHET, LAGRANGE

 

À première vue, une identité magique

 

Le produit d'une somme de deux carrés

donne aussi une somme de deux carrés

et même souvent de deux façons différentes.

 

Utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes  (Pell-Fermat).

 Voir page similaire: Somme de deux carrés et imaginaires

 

 

 

Approche

 

Observation

Voyez ces exemples.

Dès qu'un nombre peut s'exprimer sous forme d'un produit de somme de deux carrés (SDC), il est automatiquement somme de deux carrés.

 

 

  50 = (1² + 2²) (1² + 3²) = 1² + 7² = 5² + 5²

  65 = (1² + 2²) (2² + 3²) = 1² + 8² = 4² + 7²

  68 = (1² + 1²) (3² + 5²) = 2² + 8² 

533 = (2² + 3²) (4² + 5²) = 2² + 23² = 7² + 22²

 

SDC x SDC  = SDC

 

 

Explications

 

La somme des deux carrés est aussi égale à la somme de quatre carrés.

 

N         = (a² + b²) (c² + d²)

       = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

 

       = (ac)² + (ad)² + bc)² + (bd)²   (1)

 

 

Pour aller plus loin, il nous faut un truc tout bête lorsqu'il est dévoilé.

Ajouter et soustraire une même expression de manière à former des carrés.

Facile, lorsqu'on se souvient des identités remarquables de base

(a + b = a² + 2ab + b

 

 

N       = a²c² + b²d² + 2abcd

+ a²d² + b²c²   2abcd

 

= (ac + bd)² +  (ad – bc)²          (2)

 

Nous aurions pu inverser l'addition et la soustraction.

D'où la formation d'une deuxième somme de deux carrés. Elle est parfois identique à la première à une commutation près des termes.

 

 

N       = a²c² + b²d² – 2abcd

+ a²d² + b²c² +  2abcd

 

= (ac – bd)² +  (ad + bc)²          (3)

 

Exemple avec 50

 

Avec une coquetterie, car 50 est le produit de sommes de deux carrés de deux façons différentes

 

50       =  (1² + 2²) (1² + 3²)

=   1² + 3² + 2² + 6²   = 1 + 9 + 4 + 36     (1)

=  (1 + 6)² + (3 – 2)²  = 7² + 1²                  (2)

=  (1 – 6)² + (3 + 2)²  = 5² + 5²                  (3)

 

50       =  (1² + 1²) (3² + 4²)

=   3² + 4² + 3² + 4²   = 9+ 16 + 9 + 16    (1)

=  (3 + 4)² + (4 – 3)²  = 7² + 1²                  (2)

=  (3 – 4)² + (3 + 4)²  = 1² + 7²                  (3)

 

Voir Table

 

 

Identités - Noms usuels

 

Deux carrés

 

N = (a² + b²) (c² + d²) = E² + F²

 

Deux carrés généralisés

 

N = (a² + Nb²) (c² + Nd²) = E² + NF²

 

Trois et quatre carrés

 

N = (a² + b² + c²) (a'² + b'² + c'²)

= (aa' + bb' + cc')²

+ (ab' - a'b)² + (bc' - b'c)² + (ca' - c'a

 

 

 

 

 

de Diophante

ou de Bachet  >>>

 

 

de Brahmagupta

ou de Fibonacci >>>

 

 

 

de Lagrange >>>

 

 

Historique

 

-      Diophante d'Alexandrie (grec) découvre le premier l'identité:

(a² – b²)(c² – d²) = (ac + bd)² – (ad + bc

 

-      628 – Brahmasphutasiddhanta, ouvrage de Brahmagupta (598 – 668), mathématicien et astronome indien. Il y redécouvre l'identité qui portera son nom.

Mohammad al-Farazi traduit les textes de Brahmagupta du sanskrit en arabe.

 

-      1150 – Généralisation de Bhaskara II

(a² – kb²)(c² – kd²) = (ac + kbd)² – k(ad + bc

 

-      1126 – Traduction en latin

 

-      1225Fibonacci, dans Liber quadratorum, énonce cette identité dans son ouvrage sur les carrés.

 

-      Euler généralise avec quatre carrés, identité qui servira dans la formation des quaternions.

 

Rappel: Tout nombre entier est la somme de quatre carrés

 

-      Extension à huit carrés avec les nombres de Cayley ou octonions

 

Voir Diophante, Fibonacci, Euler, Contemporains

 

 

English corner

 

Brahmagupta's identity says that the product of two numbers, each of which being a sum of two squares, is itself a sum of two squares.

 

 

 

 

 

Suite

*    Table de valeurs

*    Généralisation

*    Aire des quadrilatères – Formule de Brahmagupta

Voir

*    Identité de Diophante, Brahmagupta, Lagrange

*    Puissance

*    Carrés

*    Groupe

Biographies

*    Diophante

*    Fibonacci

*    Lagrange

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