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Identités de Brahmagupta

Applications

Où il est question d'anneaux et de nombres complexes.

Puis d'un calcul astucieux d'une fraction approximant de très près une racine carrée.

BRAHMAGUPTA-FIBONACCI - Applications
Identité valable pour les nombres entiers (anneau des entiers), les nombres rationnels (anneau des nombres rationnels.	et d'une manière générale pour tout anneau commutatif.
Si la somme de deux carrés est un objet mathématique. Le produit de deux de ces objets donne un objet de même type.	= (a² + b²) Alors x = L'ensemble des sommes de deux carrés est clos pour l'opération multiplication.
Calcul avec les nombres complexes. Utilisation de l'identité remarquable avec une somme de deux carrés a² + b² = (a + ib) (a – ib).	N = (a² + b²) (c² + d²) = (a + ib) (a - ib) (c + id) (c - id) = (a + ib) (c + id) (a - ib) (c - id) = [(ac - bd) + i(ad + bc)] [(ac - bd) – i(ad + bc)] = (ac - bd)² - i² (ad + bc)² = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Dans le monde des nombres complexes, la norme est égale à la somme des carrés des parties réelles et imaginaires. Notre propriété permet de calculer la norme d'un produit de nombres complexes.	C = a + ib N( C ) = a² + b² Alors N( C.D ) = N( C ) . N( D )
Cette propriété permet de démontrer que le produit d'un carré par un nombre premier de la forme 4n+1 est une somme de deux carrés. Et donc que tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.	Exemples 2² x 5 = 20 = 4² + 2² 3² x 5 = 45 = 6² + 3² 4² x 13 = 208 = 12² + 8² 5² x 13 = 325 = 15² + 10²

Approximation de racines
Brahmagupta fait des essais avec sa fameuse formule. Il obtient une relation qui, si N/F² est petit, produit une fraction proche de racine de n.	N = (a² – nb²) (c² – nd²) = (ac + nbd)² - n (ad+bc)² N = E² – n F²
Il la teste la racine de 3 avec: a = c = 7 et b = d = 4 se basant sur le fait que: 7² – 3 x 4² = 49 – 48 = 1
Il pousse ses recherches et donne: a = c = 97 et b = d = 56 En remarquant que: 97² – 3 x 56² = 9 409 – 3 x 3 136 = 9 409 – 9 408 = 1	Fraction = 1,73205081001473 Racine de 3 = 1,73205080756888

Voir Calcul des racines carrées – Index

Merci à Jean-Marc D.

Propriété: a² - n.b² = 1 jusqu'à 10 000
Remarquez que les carrés purs n'apparaissent pas. Exemple de calcul avec cette table
Formule avec a = c, b = d et numérateur = 1
Racine de 5 avec 161 et 72	Fraction = 2,23606797791580 Racine de 3 = 2,23606797749979

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