NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/07/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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NOMBRES HYPERCOMPLEXES

QUATERNIONS

Généralisation du concept de nombres complexes

Nombres complexes: c = a + ib

Quaternions: q = a + ib + jc + kd

Octonions: 8 termes

APPROCHE

Les quaternions sont formés d'une quantité (un scalaire) et d'un vecteur (un point dans l'espace) soit 4 composantes au total. Durant de longues années, Hamilton (1805-1865)a cherché un nombre qui ne serait formé que de 3 composantes sans trouver une algèbre satisfaisante (les calculs ne collaient pas). Alors, il a eu l'idée d'ajouter une quatrième composante, et tout devenait bon! Avec une petite exception: pas de commutativité. Avec les quaternions l'ordre des termes importe. Plus tard, il a été démontré que 3 composantes n'est pas possible.

DÉFINITION des QUATERNIONS

Définition Quaternions: nombre complexe, formé de 4 composantes: q = a + ib + jc + kd  a, b, c et d sont des nombres réels; et i, j, k sont des coefficients imaginaires.  Propriétés des coefficients Les coefficients i, j, k sont tels que leurs produits donnent: i² = j² = k ² = i j k = – 1 ij = k = -ji jk = i = -kj ki = j = -ik Tableau de multiplication des coefficients entre eux (minuscules et majuscules par commodité, car non commutatif):

REPRÉSENTATION

ROTATIONS
Les rotations dans l'espace peuvent être décrites par les quaternions Formulation générale Avec q le quaternion adéquate pour effectuer la rotation désirée Exemples Rotation particulière Avec un angle 2q, alors q = cos q + (bi + cj + dk) sin q

MULTIPLICATION des QUATERNIONS
Exemples Notez la non commutativité D'une manière générale La multiplication est définie par:

PROPRIÉTÉS

Quaternions Structure de corps non commutatif, corps des quaternions de Hamilton, noté H. Un quaternion peut s'écrire: Q = C1 + j C2 où C1 et C2 sont des complexes (C = a + ib) Sur la même idée, existent les octavions de Cayley Le corps H des quaternions est Associatif Distributif NON Commutatif Conjugué q = a + ib + jc + kd q* = a – bi – cj – dk On peut vérifier que q q* = a² + b² + c² + d² = r Inverse q^-1 = (1 / qq*) . q*

NORME

Norme ou module des quaternions r = a² + b² + c² + d²  Le quaternion nul est le seul à avoir une norme nulle.  Norme du produit Le problème d'Hamilton dans ses recherches était de respecter la loi de multiplication: La norme du produit de 2 quaternions est égale au produit de leur norme. Cette loi était déjà connue d'Euler en 1705. Elle a été utilisée par Lagrange pour démontrer l'affirmation de Fermat disant que: tout nombre est la somme de 4 carrés.

INTÉRÊT
Mathématique pure:	Algèbres
Géométrie:	Rotation
Physique quantique:	Représentation du spin des particules

Suite	Octavions Quatrième dimension Nombres d'Hamilton Complexe – Index
Voir	Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres réels
Site	Quaternionic Fractals par Andy Burbanks
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagQuat.htm