NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Complexe

Nombres complexes

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

 

Types de Nombres

Introduction

Complexes

Quaternions

Octavions

Historique

Factorisation

Trois Algèbres

Cyclotomique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition des quaternions

>>> Représentation

>>> Rotations

>>> Multiplication des quaternions

>>> Propriétés 

>>> Norme 

>>> Intérêt 

 

 

 

NOMBRES HYPERCOMPLEXES

QUATERNIONS

 

Généralisation du concept de nombres complexes

 

*    Nombres complexes:    c = a + ib

*    Quaternions:                   q = a + ib + jc + kd

*    Octonions:                       8 termes

 

   

APPROCHE

 

*    Les quaternions sont formés d'une quantité (un scalaire) et d'un vecteur (un point dans l'espace) soit 4 composantes au total.

*    Durant de longues années, Hamilton a cherché un nombre qui ne serait formé que de 3 composantes sans trouver une algèbre satisfaisante (les calculs ne collaient pas).

*    Alors, il a eu l'idée d'ajouter une quatrième composante, et tout devenait bon! Avec une petite exception: pas de commutativité. Avec les quaternions l'ordre des termes importe.

*    Plus tard, il a été démontré que 3 composantes n'est pas possible.

 

 

 

DÉFINITION des QUATERNIONS

 

  Définition

*    Quaternions: nombre complexe, formé de 4 composantes:

 

q = a + ib + jc + kd

 a, b, c et d sont des nombres réels; et

i, j, k sont des coefficients imaginaires. 

 

 

 Propriétés des coefficients

*    Les coefficients  i, j, k sont tels que leurs produits donnent:

 

  =     = k ² =  i j k  = – 1    

 

ij = k = -ji

jk = i = -kj

ki = j = -ik

 

 Tableau de multiplication des coefficients entre eux

(minuscules et majuscules par commodité, car non commutatif):

 

 

 

REPRÉSENTATION


 

 

ROTATIONS

 

Les rotations dans l'espace peuvent être décrites par les quaternions

 

Formulation générale

 

 

Avec q le quaternion adéquate pour effectuer la rotation désirée

 

Exemples

 

Rotation particulière

 

Avec un angle 2q, alors   q = cos q + (bi + cj + dk) sin q

 

 

 

 

MULTIPLICATION des QUATERNIONS

 

Exemples


 

Notez la non commutativité

  

D'une manière générale

La multiplication est définie par:

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS 

 

Quaternions

 

*    Structure de corps non commutatif, corps des quaternions de Hamilton, noté H.

*    Un quaternion peut s'écrire:

Q = C1 + j C2

où C1 et C2 sont des complexes (C = a + ib)

 

*    Sur la même idée, existent les octavions de Cayley

 

 

 Le corps H des quaternions est

 

Associatif

Distributif

NON Commutatif

 

Conjugué

 

q = a + ib + jc + kd

q* = a – bi – cjdk

 

On peut vérifier que

q q* = a² + b² + c² + d² = r

 

Inverse

q-1 = (1 / qq*) . q*

 

 

 

NORME

 

Norme ou module des quaternions

 

r = a² + b² + c² + d² 

 

*    Le quaternion nul est le seul à avoir une norme nulle

 

Norme du produit

 

*    Le problème d'Hamilton dans ses recherches était de respecter la loi de multiplication:

 

La norme du produit de 2 quaternions est égale au

produit de leur norme.

 

 

 

 

 

*    Cette loi était déjà connue d'Euler en 1705.
Elle a été utilisée par Lagrange pour démontrer l'affirmation de Fermat disant que: tout nombre est la somme de 4 carrés.

 

 

 

INTÉRÊT

*    Mathématique pure:

Algèbres

*    Géométrie:

Rotation

*    Physique quantique:

Représentation du spin des particules

 

 

 

 

Suite

*        Octavions

*        Quatrième dimension

*         ComplexeIndex

Voir

*         Inventaire des types de nombres

*         Nombre de Gauss

*         NombresGlossaire et index

*         Nombres réels

Site

*         Quaternionic Fractals par Andy Burbanks

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