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  AIRES

 

Débutants

Géométrie

Quadrilatères

 

Glossaire

Aire

 

 

INDEX

 

Géométrie 

Quadrilatère

Aire et segments

Aires formulaire

Aire et bi-médianes

Aire du carré

 

Sommaire de cette page

Voir ci-dessous >>>

 

 

 

 

AIRE du QUADRILATÈRE quelconque

 

La donnée des quatre côtes d'un quadrilatère ne suffit pas pour caractériser un quadrilatère, ni pour calculer son aire. D'autres connaissances sont nécessaires: longueur des diagonales, valeur des angles, ou coordonnées des sommets.

L'aire du quadrilatère peut être estimée ou calculée de diverses manières:

 

*      Graphique – Décomposition en triangles rectangles >>>

*      Analytique – Connaissance des coordonnées des sommets >>>

*      Algébrique – Méthode des côtés et diagonales >>>

*                       – Méthode des diagonales et leur angle >>>

*                       – Méthode des côtés et angles >>>

*                       – Méthode utilisant la loi des cosinus >>>

 

Anglais: Quadrilateral area

 

 

Estimation par décomposition en triangles

Méthode de découpe selon le quadrillage

*    Cette première méthode est la plus simple lorsqu'on n'exige pas une précision mathématique.

*    À partir de sommets, on trace des lignes selon le quadrillage (en vert). De la sorte, la mesure des longueurs est facilitée.

*    L'aire du quadrilatère est la somme des aires des triangles rectangles.

 

 

Aire = somme des aires des triangles rectangles

 

 

Méthode de découpe selon une diagonale

*    Le calcul est plus simple à condition de connaitre la longueur de segments internes.

*    On dessine la diagonale BD (ou l'autre).

*    Les hauteurs des triangles ABD et BCD sont tracées à l'aide d'un carré dessiné et orienté selon la diagonale.

*    Si vous êtes sur une feuille de papier, vous mesurez la longueur de BD, AE et CF. Si vous êtes sur l'ordinateur vous copier les segments et vous les orienter selon l'horizontale (outil pivoter en degrés sur Word).
On peut également dessiner des cercles.

*    L'aire du quadrilatère est égale au produit de la diagonale par la somme des longueurs des hauteurs.

 

 

Aire = ½ D (h1 + h2)

 

Notez que la longueur de la diagonale D se calcule aussi via Pythagore:9² + 8² = 144 = 12²

 

 

Quadrilatère CONVEXE - Formule analytique

 

*    On connait la formule du calcul analytique de l'aire du triangle qui fait intervenir l'aire de trapèze.

 

*    Le même principe de calcul s'applique au quadrilatère quelconque et, à condition de connaitre les coordonnées des sommets, on obtient très simplement l'aire précise du quadrilatère.

 

 

Rappel: aire du trapèze

Produit de la hauteur par la demi-somme des bases. >>>

Formulation analytique de l'aire du quadrilatère CONVEXE

 

Pour les quadrilatères concaves, il est conseillé de reprendre le calcul dès le départ, avec les trapèzes.

 

 

 

Barres verticales = prendre la valeur absolue (sans signe)

 

Application numérique

 

 

  Valeur exacte.

 

Interprétation géométrique

 

La formule est la somme de deux produits dont chacun est l'aire d'un rectangle.

 

Le recouvrement des deux rectangles sur deux fois le quadrilatère est une dissection faisable mais pas simple.

 

Suite Aires des quadrilatères formés par les bi-médianes avec énigmes de la quatrième parcelle

 

 

 Formule avec les diagonales – Bretschneider

*    Cette formule fait intervenir six longueurs: celles des côté et celles des diagonales.

*    Ici, nous les avons calculées en utilisant le théorème de Pythagore.

 

 

 

 

 

Formule avec diagonales et angle

 

*    Cette formule utilise uniquement les deux diagonales et l'angle entre elle.

*    La mesure de l'angle peut se faire avec:

*  un rapporteur ou

*  sur l'ordinateur en faisant pivoter AC sur BD (outil pivoter en degrés de Word): je mesure 74,5°, ou

*  en dessinant les triangles rectangles en pointillés et en calculant les arcs-tangente des deux anges. La somme donne 74,45°. 

*    Calcul de l'aire:

 

 

 

 

 

Formule avec côtés et angles – Bretschneider

 

*    Cette formule fait intervenir les quatre côtés et deux angles opposés du quadrilatère.

*    On mesure les angles par l'une des méthodes indiquées ci-dessus. Sur la figure, calcul des angles par les arcs-tangente.

 

Application numérique

 

 

 

 

 

Ou, sous forme développée:

 

Formule de Brahmagupta

pour les quadrilatères inscriptibles.

 

Voir Démonstration /

Formule de Héron

pour les triangles

 

Voir Quadrilatère inscriptibles

 

 

 

Si la quadrilatère est incriptible dans un cercle de rayon R, alors A + B = 180°, et le cosinus de sa moitié est nul. La formule devient:

 

 

Et avec le rayon du cercle:

 

Propriété: l'aire du quadrilatère inscrit occupe la surface maximale pour des longueurs de côtés données.

 

Relation entre diagonales et côtés pour un quqdrilatère insriptible:

p.q = a.c + b.d

 

Formule pour tout quadrilatère

 

 

 

 

Loi des cosinus (longueur) et des sinus (aire)

 

*    La figure montre notre quadrilatère complètement résolu: cotés et angles.

*    Supposons que nous ne connaissions que trois côtés (a, b et c) et les deux angles qu'ils forment (B et C).

*    La diagonale AC partage le quadrilatère en deux triangles.

*    Nous pouvons calculer l'aire du triangle ABC et celle du triangle ACD.

*    Pour cela nous devons

*  calculer la longueur de la diagonale AC et l'angle DCA avec la  loi des cosinus; et

*  calculer l'aire des deux triangles avec la loi des sinus .

 

 

Seuls a, b, c, B et C (en jaune) sont connus.

Aire Quadrilatère =

Aire triangle ABC + Aire triangle ACD

 

 

*    La loi des cosinus appliquée  au triangle ABC:

 

*    La loi des sinus pour le calcul des aires:

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Aires des quadrilatères formés par les bi-médianes

*    Énigme de la quatrième parcelle

*    Énigme des huit parcelles

*    Aire du carré

Voir

*    Allumettes

*    Carré

*    Construction à la règle et au compas

*    Découpe du rectangle en carré

*    Dissection

*    Énigmes classiques

*    GéométrieIndex

*    JeuxIndex

*    Les trois filles

*    Pliages

*    Quantité de carrés avec des allumettes

*    Rectangle

Site

*       QuadrilateralMathworld

*       Quadrilateral – Silvio Levy – 1995 

*       Heron, Brahmagupta, Pythagoras and the law of cosines (pdf) – Kristin Johnson - 2006

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/QuadAire.htm