NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/10/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	AIRES
Débutants Géométrie	Quadrilatères				Glossaire Aire
INDEX Polygones Géométrie	Quadrilatère – Introduction		Quadrilatère – Aire	Aire du carré
	Constructions		Aire et bi-médianes	Aire des polygones
	Résolution du quadrilatère		Aire et segments	Aires – Formulaire
	Aires et diagonales
		Sommaire de cette page >>> Aires de triangles dans un quadrilatère & Voir ci-dessous >>>

AIRE du QUADRILATÈRE quelconque

La donnée des quatre côtes d'un quadrilatère ne suffit pas pour caractériser un quadrilatère, ni pour calculer son aire. D'autres connaissances sont nécessaires: longueur des diagonales, valeur des angles, ou coordonnées des sommets.

L'aire du quadrilatère peut être estimée ou calculée de diverses manières:

Graphique – Décomposition en triangles rectangles >>>

Analytique – Connaissance des coordonnées des sommets >>>

Algébrique – Méthode des côtés et diagonales >>>

– Méthode des diagonales et leur angle >>>

– Méthode des côtés et angles >>>

– Méthode utilisant la loi des cosinus >>>

Anglais: Quadrilateral area

Aires de triangles dans un quadrilatère		haut
Construction Un quadrilatère et une médiane (pointillé rouge) Segments verts qui joignent les sommets du quadrilatère aux pieds de la médiane. Aires des triangles notées: A, B, C, D, X et Y. Quelle est l'aire de A connaissant B, C et D ? Piste La médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire. D + X = Y + C A + X = Y + B Soustraction A = B – C + D ou A + C = B + D Exemple A = 3,74 – 9,35 + 11,61 = 6

Voir Brève 55-1084

Estimation par décomposition en triangles
Méthode de découpe selon le quadrillage Cette première méthode est la plus simple lorsqu'on n'exige pas une précision mathématique. À partir de sommets, on trace des lignes selon le quadrillage (en vert). De la sorte, la mesure des longueurs est facilitée. L'aire du quadrilatère est la somme des aires des triangles rectangles.	Aire = somme des aires des triangles rectangles
Méthode de découpe selon une diagonale Le calcul est plus simple à condition de connaitre la longueur de segments internes. On dessine la diagonale BD (ou l'autre). Les hauteurs des triangles ABD et BCD sont tracées à l'aide d'un carré dessiné et orienté selon la diagonale. Si vous êtes sur une feuille de papier, vous mesurez la longueur de BD, AE et CF. Si vous êtes sur l'ordinateur vous copiez les segments et vous les orientez selon l'horizontale (outil pivoter en degrés sur Word). On peut également dessiner des cercles. L'aire du quadrilatère est égale au produit de la diagonale par la somme des longueurs des hauteurs.	Aire = ½ D (h1 + h2) Notez que la longueur de la diagonale D se calcule aussi via Pythagore:9² + 8² = 144 = 12²

Quadrilatère CONVEXE - Formule analytique
On connait la formule du calcul analytique de l'aire du triangle qui fait intervenir l'aire de trapèze. Le même principe de calcul s'applique au quadrilatère quelconque et, à condition de connaitre les coordonnées des sommets, on obtient très simplement l'aire précise du quadrilatère.
Rappel: aire du trapèze	Produit de la hauteur par la demi-somme des bases. >>>
Formulation analytique de l'aire du quadrilatère CONVEXE Pour les quadrilatères concaves, il est conseillé de reprendre le calcul dès le départ, avec les trapèzes.	Barres verticales = prendre la valeur absolue (sans signe)
Application numérique	Valeur exacte.
Interprétation géométrique La formule est la somme de deux produits dont chacun est l'aire d'un rectangle. Le recouvrement des deux rectangles sur deux fois le quadrilatère est une dissection faisable mais pas simple.

Suite Aires des quadrilatères formés par les bi-médianes avec énigmes de la quatrième parcelle

Formule avec les diagonales – Bretschneider
Cette formule fait intervenir six longueurs: celles des côtés et celles des diagonales. Ici, nous les avons calculées en utilisant le théorème de Pythagore.

Formule avec diagonales et angle
Cette formule utilise uniquement les deux diagonales et l'angle entre elle. La mesure de l'angle peut se faire avec: un rapporteur ou sur l'ordinateur en faisant pivoter AC sur BD (outil pivoter en degrés de Word): je mesure 74,5°, ou en dessinant les triangles rectangles en pointillés et en calculant les arcs-tangente des deux angles. La somme donne 74,45°. Calcul de l'aire:
Justification avec les vecteurs Le produit scalaire est l'aire du paralléogramme formé par deux vecteurs. Soit la moitié pour l'aire du traingle. Rappel

Formule avec côtés et angles – Bretschneider
Cette formule fait intervenir les quatre côtés et deux angles opposés du quadrilatère. On mesure les angles par l'une des méthodes indiquées ci-dessus. Sur la figure, calcul des angles par les arcs-tangente. Application numérique	Ou, sous forme développée:
Formule de Brahmagupta pour les quadrilatères inscriptibles. Voir Démonstration / Formule de Héron pour les triangles Voir Quadrilatère inscriptibles	Si la quadrilatère est inscriptible dans un cercle de rayon R, alors A + B = 180°, et le cosinus de sa moitié est nul. La formule devient: Et avec le rayon du cercle: Propriété: l'aire du quadrilatère inscrit occupe la surface maximale pour des longueurs de côtés données. Relation entre diagonales et côtés pour un quadrilatère inscriptible: p.q = a.c + b.d
Formule pour tout quadrilatère

Loi des cosinus (longueur) et des sinus (aire)
La figure montre notre quadrilatère complètement résolu: cotés et angles. Supposons que nous ne connaissions que trois côtés (a, b et c) et les deux angles qu'ils forment (B et C). La diagonale AC partage le quadrilatère en deux triangles. Nous pouvons calculer l'aire du triangle ABC et celle du triangle ACD. Pour cela nous devons calculer la longueur de la diagonale AC et l'angle DCA avec la loi des cosinus; et calculer l'aire des deux triangles avec la loi des sinus.	Seuls a, b, c, B et C (en jaune) sont connus. Aire Quadrilatère = Aire triangle ABC + Aire triangle ACD
La loi des cosinus appliquée au triangle ABC: La loi des sinus pour le calcul des aires:

Suite	Aires des quadrilatères formés par les bi-médianes Énigme de la quatrième parcelle Énigme des huit parcelles Aire du carré Aire du triangle – Méthode analytique Aire du parallélogramme – Méthode analytique
Voir	Allumettes Carré Construction à la règle et au compas Découpe du rectangle en carré Dissection Énigmes classiques Géométrie – Index Huit points (théorèmes des - ) Jeux – Index Les trois filles Pliages Quantité de carrés avec des allumettes Rectangle
Site	Quadrilateral – Mathworld Quadrilateral – Silvio Levy – 1995 Heron, Brahmagupta, Pythagoras and the law of cosines (pdf) – Kristin Johnson - 2006
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/QuadAire.htm