NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

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IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Identités

Remarquables

Degré > 2

Trigonométrie

Euler & Riemann

Spéciales

Complexes

Puissance 5

xn – 1

(x+ x² + …) ^k

a^n – b^n

Inverses

Divers

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Ponts entre somme de carré et produit

>>> Somme de carrés

>>> Factorisation de 4n + n4

 

 

 

 

Quelques IDENTITÉS importantes

 

 

Ponts entre somme de carré et produit

(a + b)2 + (a – b)2

(a + b)2 – (a – b)2

(a + b)3 + (a – b)3

(a + b)3 – (a – b)3

(a + b)4 + (a – b)4

(a + b)4 – (a – b)4

=

=

=

=

=

=

2(a² + b²)

4 ab

2a(  a² + 3b²)

2b(3a² +   b²)

2(a4 + 6a²b² + b4)

8ab (a² + b²)

*      Identités de Legendre et semblables

(a² + b²) (A² + B²)

=

(aA – bB)² + (aB + bA)²

*      Identité de Diophante

*      ou Fibonacci

*      ou de Bachet

*      ou de Lagrange d'ordre 2

(a² + b²) (A² + B²)

(aB + bA)²

*      Inégalité de Cauchy pour l'ordre 2.

 (a² + kb²) (A² + kB²)

=

(aA – bBk)² + k(aB + bA)²

*      Identité de Brahmagupta

 

(a² + b² + c²) (A² + B² + C²)

 

=

 

(aA + bB + cC)²

+ (aB – Ab)²

+ (bC – Bc)²

+ (cA – Ca)²

 

*      Identité de Lagrange

(a2 + b2 + c2 + d2

=

(a2 + b2 c2 d2

+ (2ac + 2bd)²

+ (2ad – 2bc)²

*      Identité de Lebesgue

 

 

(a2+b2+c2+d2)(A2+B2+C2+D2)

 

 

 

=

 

z12 + z22 + z32 + z42

avec

z1 = aA + bB + cC + dD

z2 = aB – bA + cD – dC

z3 = aC – cA – bD + dB

z4 = aD – dA + bC – cB

 

*      Identité des quatre carrés  d'Euler

Exemples

(1²+2²+3²+4²)(5²+6²+7²+8²) = 25 x 174 =  63² + (16)² +5² + (-10)² =   4 350 (1²+3²+5²+7²)(2²+4²+6²+8²) = 84 x 120 = 100² + (-4)² + 0² + (-8)² = 10 080

Généralisation

Le produit de nombres, chacun somme de quatre carrés, est somme de quatre carrés.

Voir Théorème des quatre carrés de Lagrange

 

 

(a + b + c)2 + (a – b – c)2

=

2(a² + b² + c²) + 4bc

*      Identité de Gauss

Voir Identités du 3e degré

a3 + a2 + a + 1

=

(a + 1) (a² + 1)

 



a4 + a2 + 1

=

(a² + a + 1) (a² – a + 1)

 

*      Identité d'Argand

Voir Identités du 4e degré

 

 

 

Identité des quatre carrés d'Euler

Un simple développement permet de vérifier l'identité qu'Euler communiqua à Goldbach par lettre en 1749. La théorie des quaternions permet une explication en profondeur. En effet, la norme du produit de deux quaternions est le produit des normes.

 

Euler Four Square Identity can be verified by expanding out the parentheses in both sides. Its deeper meaning becomes clear only after one can become acquainted with the algebraic objects called "quaternions" – Oleg A. Ivanov

 

 

 

Cette relation:

 

Peut être transposée en (avec x  1):

Quelques exemples:

 

Nombres atteint par cette relation pour x et n jusqu'à 10

7, 13, 15, 21, 31, 40, 43, 57, 63, 73, 85, 91, 111, 121, 127, 156, 255, 259, 341, 364, 400, 511, 585, 781, 820, 1023, 1093, 1111, 1365, 1555, 2801, 3280, 3906, 4681, 5461, 7381, 9331, 9841, 11111, 19531, 19608, 21845, 29524, 37449, 55987, 66430, 87381, 97656, 111111, 137257, 299593, 335923, 349525, 488281, 597871, 960800, 1111111, 2015539, 2396745, 2441406, 5380840, 6725601, 11111111, 12093235, 19173961, 47079208, 48427561, 111111111, 153391689, 435848050, 1111111111 …

 

=

*      Identité d'Euler

 

1

=

a.u + b.v

*      Identité de Bézout ou de Bachet

*      Définition des nombres étrangers

 

 

 

 

SOMME  DE CARRÉS

 

Identité de Brahmagupta

 

(a² + b²) (c² + d²)

=

(ad + bc)² + (ac – bd)²

 

Suite sur ce genre d' Identités

 

 

Vérification de la formule

(ad + bc)² + (ac – bd)² =

a²d² + 2 abcd + b²c² +

a²c²  – 2 abcd + b²d²

=

a² (c²+d²) + b² (c² + d²)

=

(a² + b²) (c² + d²)

 

Conséquence

 

Si les entiers m et n

sont somme de 2 carrés,

leur produit m.n l'est aussi.

 

Formulation

(a² + b²) (c² + d²) = (ad + bc)² + (ac - bd)²

m    = a² + b²

n     = c² + d²

m.n = u² + v²

 

Exemple

 

10

=

2

x

5

1² + 3²

 

1² + 1²

 

1² + 2²

 

Liste des premiers nombres ayant  cette propriété

 

m

a

b

n

c

d

m.n

(ad+bc)²

(ac-bd)²

Somme

2

1

1

2

1

1

4

4

0

4

2

1

1

5

1

2

10

9

1

10

2

1

1

8

2

2

16

16

0

16

2

1

1

10

1

3

20

16

4

20

5

1

2

5

1

2

25

16

9

25

2

1

1

13

2

3

26

25

1

26

2

1

1

17

1

4

34

25

9

34

2

1

1

18

3

3

36

36

0

36

2

1

1

20

2

4

40

36

4

40

5

1

2

10

1

3

50

25

25

50

 

Liste

4  10  16  20  25  26  34  36  40  50  52  58  64  65  68  74  80  82  85  90  100  104  106  116  125  130  136  144  145  146  160  164  170  180  185  194  200  202  205  208 

 

 

Voir Théorie de la somme de deux carrés

 

 

Deux identités remarquables de Ramanujan

 

 

 

 

 

 

Voir Développements

 

 

Factorisation de 4n + n4 (4^n+n^4)

Montrez que cette expression est composée, sauf pour n = 1.

E est un carré tronqué:

Premières vérifications

Valeur pour n = 1

4 + 1 = 5 premier

Valeur pour n = 2

42 + 24 = 16 + 16 = 32 composé

Valeur pour n = 3

43 + 34 = 64 + 81 = 145 composé

Valeur pour n = 2k

42k + (2k)4 = 2K composé

Valeurs impaires de n

Valeur pour n = 2k – 1 ou n + 1 = 2k.

Le deuxième terme devient un carré et propice à l'application d'une identité remarquable.

 

Cette expression n'est première que si le plus petit facteur est égal à 1, ou composé si supérieur à 1.

 

Compte tenu des vérifications pour n jusqu'à 3,  il suffit de vérifier au-delà.

 

Conclusion: aucun des deux facteurs ne peut égaler 1, l'expression représente toujours n nombre composé.

 

n = 3 => 23 + 32 = 8+9 = 17 & 3x22 =  12

Inégalité vérifiée pour 3 et au-delà.

 

Plus formellement (n>3):

2n + n2 > 2n + 1

             = 22k – 1 + 1 = 2k .2k-1 +1
             > (2k – 1) 2k + 1
2n + n2 > n.2k + 1

Vérification

jusqu'à n = 10

 

 

 

Anglais

All values (but 1) of  n^4 + 4^n for the positive integer n are not prime.

Expressions semblables

(test pour n jusqu'à 100)

Première pour n = 1, 3, 9, 15, 31, 33

Première pour n = 2, 56

Première pour n = 24

Voir Identités remarquables du quatrième degré

 

 

 

 

 

Suite

*    Identités en puissance 5

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

Voir

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/IdentSpe.htm

 

 

 

Pour ces liens voir >>>

Inverses de nombres – Sommes

Inverses de nombres – Produit

Inverses de carrés – Produit