NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Identités

Remarquables

Degré > 2

Trigonométrie

Euler & Riemann

Spéciales

Complexes

Puissance 5

xn – 1

(x+ x² + …) ^k

a^nb^n

Inverses

Divers

 

Sommaire de cette page

>>> Ponts entre somme de carré et produit

>>> Somme de carrés

 

 

 

 

Quelques IDENTITÉS importantes

 

 

Ponts entre somme de carré et produit

(a² + b²) (A² + B²)

=

(aAbB)² + (aB + bA

*      Identité de Diophante

*      ou Fibonacci

*      ou de Bachet

*      ou de Lagrange d'ordre 2

(aB + bA

*      Inégalité de Cauchy pour l'ordre 2.

 (a² + kb²) (A² + kB²)

=

(aAbBk)² + k(aB + bA

*      Identité de Brahmagupta

 

(a² + b² + c²) (A² + B² + C²)

 

=

 

(aA + bB + cC

+ (aB – Ab)²

+ (bCBc

+ (cA – Ca

 

*      Identité de Lagrange

(a2 + b2 + c2 + d2

=

(a2 + b2 c2 d2

+ (2ac + 2bd)²

+ (2ad – 2bc)²

*      Identité de Lebesgue

 

(a2+b2+c2+d2)(A2+B2+C2+D2)

 

=

 

z12 + z22 + z32 + z42

avec

z1 = aA + bB + cC + dD

z2 = aBbA + cDdC

z3 = aCcAbD + dB

z4 = aDdA + bCcB

 

*      Identité des quatre carrés  d'Euler

  

 

Identité des quatre carrés d'Euler

Un simple développement permet de vérifier l'identité qu'Euler communiqua à Goldbach par lettre en 1749. La théorie des quaternions permet une explication en profondeur. En effet, la norme du produit de deux quaternions est le produit des normes.

 

Euler Four Square Identity can be verified by expanding out the parentheses in both sides. Its deeper meaning becomes clear only after one can become acquainted with the algebraic objects called "quaternions" – Oleg A. Ivanov

 

 

 

1+ x + x² + x3 + x4

=

*      Généralisable

=

*      Identité d'Euler

 

1

=

a.u + b.v

*      Identité de Bézout ou de Bachet

*      Définition des nombres étrangers

 

 

 

 

SOMME  DE CARRÉS

 

Identité de Brahmagupta

 

(a² + b²) (c² + d²)

=

(ad + bc + (ac – bd)²

 

Suite sur ce genre d' Identités

 

 

Vérification de la formule

(ad + bc + (ac – bd)² =

a²d² + 2 abcd + b²c² +

a²c²  – 2 abcd + b²d²

=

a² (c²+d²) + b² (c² + d²)

=

(a² + b²) (c² + d²)

 

Conséquence

 

Si les entiers m et n

sont somme de 2 carrés,

leur produit m.n l'est aussi.

 

Formulation

(a² + b²) (c² + d²) = (ad + bc)² + (ac - bd

m    = a² + b²

n     = c² + d²

m.n = u² + v²

 

Exemple

 

10

=

2

x

5

1² + 3²

 

1² + 1²

 

1² + 2²

 

Liste des premiers nombres ayant  cette propriété

 

m

a

b

n

c

d

m.n

(ad+bc

(ac-bd

Somme

2

1

1

2

1

1

4

4

0

4

2

1

1

5

1

2

10

9

1

10

2

1

1

8

2

2

16

16

0

16

2

1

1

10

1

3

20

16

4

20

5

1

2

5

1

2

25

16

9

25

2

1

1

13

2

3

26

25

1

26

2

1

1

17

1

4

34

25

9

34

2

1

1

18

3

3

36

36

0

36

2

1

1

20

2

4

40

36

4

40

5

1

2

10

1

3

50

25

25

50

 

Liste

4  10  16  20  25  26  34  36  40  50  52  58  64  65  68  74  80  82  85  90  100  104  106  116  125  130  136  144  145  146  160  164  170  180  185  194  200  202  205  208 

 

 

Voir Théorie de la somme de deux carrés

 

 

 

Suite

*    Identités en puissance 5

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

Voir

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/IdentSpe.htm

 

 

 

Pour ces liens voir >>>

Inverses de nombres – Sommes

Inverses de nombres – Produit

Inverses de carrés – Produit