NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Identités

Remarquables

Degré > 2

Trigonométrie

Euler & Riemann

Spéciales

Complexes

Puissance 5

xn – 1

a^n – b^n

Inverses

Divers

 

Sommaire de cette page

>>> Ponts entre somme de carré et produit

>>> Somme de carrés

 

 

 

 

Quelques IDENTITÉS importantes

 

 

Ponts entre somme de carré et produit

 (a² + b²) (c² + d²)

=

(ac – bd)² + (ad + bc)²

*      Identité de Diophante

*      ou de Bachet

*      ou de Lagrange d'ordre 2

 (a² + kb²) (c² + kd²)

=

(ac – bdk)² + k(ad + bc)²

*      Identité de Brahmagupta

 

(a² + b² + c²) (a'² + b'² + c'²)

 

=

 

(aa' + bb' + cc')²

+ (ab' – a'b)²

+ (bc' – b'c)²

+ (ca' – c'a)²

 

*      Identité de Lagrange

 

(x12+x22+x32+x42)(y12+y22+y32+y42)

 

=

 

z12 + z22 + z32 + z42

avec

z1 = x1y1+x2y2+x3y3+x4y4

z2 = x1y2–x2y1+x3y4–x4y3

z3 = x1y3–x3y1–x2y4+x4y2

z4 = x1y4–x4y1+x2y3–x3y2

 

*      Identité d'Euler

1+ x + x² + x3 + x4

=

*      Généralisable

=

*      Identité d'Euler

 

1

=

a.u + b.v

*      Identité de Bézout ou de Bachet

*      Définition des nombres étrangers

 

 

 

 

SOMME  DE CARRÉS

 

Identité de Lagrange (dites aussi de Fibonacci - 1202)

 

(a² + b²) (c² + d²)

=

(ad + bc)² + (ac – bd)²

 

 

Vérification de la formule

(ad + bc)² + (ac – bd)² =

a²d² + 2 abcd + b²c² +

a²c²  – 2 abcd + b²d²

=

a² (c²+d²) + b² (c² + d²)

=

(a² + b²) (c² + d²)

 

Conséquence

 

Si les entiers m et n

sont somme de 2 carrés,

leur produit m.n l'est aussi.

 

Formulation

(a² + b²) (c² + d²) = (ad + bc)² + (ac - bd)²

m    = a² + b²

n     = c² + d²

m.n = u² + v²

 

Exemple

 

10

=

2

x

5

1² + 3²

 

1² + 1²

 

1² + 2²

 

Liste des premiers nombres ayant  cette propriété

 

m

a

b

n

c

d

m.n

(ad+bc)²

(ac-bd)²

Somme

2

1

1

2

1

1

4

4

0

4

2

1

1

5

1

2

10

9

1

10

2

1

1

8

2

2

16

16

0

16

2

1

1

10

1

3

20

16

4

20

5

1

2

5

1

2

25

16

9

25

2

1

1

13

2

3

26

25

1

26

2

1

1

17

1

4

34

25

9

34

2

1

1

18

3

3

36

36

0

36

2

1

1

20

2

4

40

36

4

40

5

1

2

10

1

3

50

25

25

50

 

Liste

4  10  16  20  25  26  34  36  40  50  52  58  64  65  68  74  80  82  85  90  100  104  106  116  125  130  136  144  145  146  160  164  170  180  185  194  200  202  205  208  …

 

 

Voir Théorie de la somme de 2 carrés

 

 

 

Suite

*    Identités en puissance 5

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

Voir

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/IdentSpe.htm

 

 

 

Pour ces liens voir >>>

Inverses de nombres – Sommes

Inverses de nombres – Produit

Inverses de carrés – Produit