NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Travaux de Fermat

>>> Nombres idonéaux d'Euler

>>> Liste des 65 nombres idonéaux

 

 

 

Nombres IDONÉAUX

Numerus idoneus d'Euler

Suitable, convenient* numbers

 

Notion avancée de la théorie des nombres impliquant la relation: N = x² + Dy²  avec D comme nombre idonéal.

Euler constate qu'un nombre est premier s'il est exprimable qu'une seule fois sous cette forme.

Il s'agit de factorisation des nombres par utilisation de formes quadratiques binaires (ax² + bxy + cy²).

 

* Traduction: nombre pratique, mais ce nom est déjà utilisé pour les nombres pratiques (practical numbers).

 

 

Travaux de Fermat

 

Un nombre premier impair peut s'écrire comme la somme de deux carrés si

Ou encore:

 

L'idée est de généraliser ces relations avec un coefficient quelconque. Le coefficient sera nommé numerus idoneux par Euler. On les connait aussi sous le nom de convenient numbers (nombres pratiques)

 

Fermat à partir de 1640.

 

C'est Euler, à partir de 1750, qui démontrera ces propriétés en utilisant la méthode de la descente infinie de Fermat.

 

 

 

Nombres idonéaux d'Euler

 

Nombre entier positif D tel que tout entier N est

*      premier, une puissance premier, deux fois l'une de ces valeurs ou une puissance de 2,

*      avec et x² est premier avec Dy².

 

Ces nombres sont générateurs de suites infinies de nombres composés et aussi de suites de nombres premiers.

 

Définition selon Euler:

Soit m >1 un nombre impair premier avec n et qui peut s'écrire sous la forme m = x² + ny², avec x et y premiers entre eux et positifs non nuls.

Si cette équation a une seule solution, alors m est premier.

 

Type et liste connus d'Euler et de Gauss.

 

Par exemple Euler donne:

18 518 809 = 197² + 1 848 x 100²

 

Euler utilisa cette notion pour découvrir de très grands nombres premiers (>107).

 

Il y a 65 nombres idonéaux si on admet l'hypothèse généralisée de Riemann et, au maximum, un de plus, sinon.

 

Chowla a montré qu'ils étaient en nombre fini.
Prouvé en 1973 par Peter J. Weinberger.

 

Liste des 65 nombres idonéaux

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, et 1848

 

Euler a prouvé que les cinq premiers carrés sont les seuls nombres idonéaux carrés.

Les idonéaux premier: 2, 3, 5, 7, 13 et 37.

 

 

 

 

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*         Nombre 1 848

Livres

*           The Little Book of Bigger Primes - Par Paulo Ribenboim

*           My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory – Par Paulo Ribenboim

*           History of the Theory of Numbers: Divisibility and Primality, Volume 1 – Par Leonard Eugene Dickson

Sites

*           Idoneal number – Wikipedia

*           OEIS A000926 – Euler's "numerus idoneus" (or "numeri idonei", or idoneal, or suitable, or convenient numbers).

*           Primes of the form x² + ny² and the geometry of (convenient) numbers – Thomas R. Hagedorn

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Idoneal.htm