NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

Débutants

Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Puissance de 2

 

Nombres en puissance

 

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Carol et Kynea

Sommaire de cette page

>>> Propriété fondamentale

>>> Nombres de Mersenne

>>> Exposant premier

>>> Théorèmes et conjectures

>>> Mersenne en puissance

>>> Mersenne et diviseurs

>>> Mersenne & Mersenne – 1

>>> Historique

 

 

 

NOMBRES de MERSENNE

  

Mn = 2n – 1

 

Puissance de deux moins un.

Intérêt particulier porté sur les nombres de Mersenne premier.

 

 

 

Propriété fondamentale

 

Si on connaît

un nombre de MERSENNE premier:

 

2n – 1

 

Alors, on connaît

un nombre PARFAIT

beaucoup plus grand:

 

2n – 1  (2n – 1)

Voir Défi de Frénicle à Fermat

 

 

 

 

NOMBRES DE MERSENNE (1664)

Théorème

 

Mn = 2n – 1

 

Si ce nombre est premier alors n est premier. La réciproque n'est pas vraie.

Exemples

 

M2 =  2² – 1  =   3  C'est le N°1

M3 =  23 – 1  =   7  C'est le N°2

M5 =  25 – 1  = 31  C'est le N°3

 

Voir Liste des nombres de Mersenne

 et Record des nombres de Mersenne premiers

Exploration de ce théorème

 

 

Pour ces nombres premiers, 2n – 1 est composé:

11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 …

 

Liste pour les premières valeurs

 

 

Repunit en binaire

*      Cas des rep-units, nombres formés de 1, en binaires.

*      Traduit en décimal, ce sont tous des nombres de Mersenne.

 

112 =   310 =   4 – 1 = 22 – 1

1112 =   710 =   8 – 1 = 23 – 1

11112 = 1510 = 16 – 1 = 24 – 1

 

Démonstration express

2n – 1 , si n est composé, il peut s'écrire 2km – 1 et se factoriser en:

2km – 1 = (2k – 1) (2k (m-1) + … + 2kl + 2k + 1).

Donc n est composé, et 2n – 1 ne peut pas l'être (car divisible par 2k – 1.

2n – 1 ne peut être premier que si n l'est.

Il s'agit ici d'une démonstration par l'affirmation opposée, dite par contraposée.

 

On peut même démonter que: si a et n sont des entiers plus grand que 1, si an – 1 est premier, alors a = 2 et n est premier. 

Voir Contraposée

 

Exposant premier

 

N = an – 1

 

Ce nombre n'est premier que si a  = 2 et n est premier, et c'est justement un nombre de Mersenne.

 

Démonstration

*    Calcul avec le développement:

an – 1

= (a – 1) (an-1 + an-2 + … + a + 1) 

*    Pour être premier l'un de ces deux facteurs doit être égal à 1.

*    Or le deuxième est > 1.

*    C'est donc le premier qui vaut 1.

 

 

 

(a – 1) = 1

 a = 2

*    Supposons que n soit composé

*    Avec r et s > 1

n = r . s

*    Nouveau calcul:

*    Le nombre est alors le produit de deux facteurs.

*    Chacun est > 1.

*    Il est composé et non premier comme le veut l'hypothèse.

an – 1 = 2rs – 1

= (2r – 1) (2r(s-1) + 2r(s-2) + … + 2r + 1) 

*    Seule possibilité

2n – 1 est premier que si n est premier

 

 

 

THÉORÈMES ET CONJECTURES

 

On ne sait pas prouver que:

*    Les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini.

*    Les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini.

 

On sait aujourd'hui que:

*    Si Mp est premier, alors p l'est aussi, mais la réciproque n'est pas vraie.

*    Par contre: si p est composé alors Mp est composé (Connu de Mersenne).

*    Les nombres de Mersenne sont premiers entre eux.
C'est la base d'une démonstration montrant qu'il existe un nombre infini de nombres premiers.

*    Chaque nombre de Mersenne engendre un nombre parfait

 

Euler a montré que:

*     Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2p = 1 (mod 2p+1).
Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2p – 1 est composé. 
Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinité de telles paires p et 2p+1.

 

Conjecture

*    La nouvelle conjecture de Mersenne, Bateman, Selfridge et Wagstaff affirme que:

Soit p un entier impair quelconque. Si deux des conditions suivantes sont remplies, alors la troisième aussi :

1)  

2)   2p - 1 est premier (un premier de Mersenne, évidemment)

3)   (2p + 1)/3 est premier.

Vérifiée pour tous les premiers p < 100 000.

 

 

 

MERSENNE en puissance

 

*      Est-ce que ces nombres sont premiers?

 

= 170141183 4604692317 3168730371 5884105727

C5 > 105121759971936968187987972338633157624

*    Selon Dickson, Catalan répondit en 1876 à Lucas, en affirmant que C4 = 2127 - 1 est premier.

*    Il est improbable que tous ces nombres soient premiers.

*    C'est un exemple de la grande loi de Guy sur les petits nombres.

Voir Nombres Sublimes

 

MERSENNE et diviseurs

*      Observons la somme des diviseurs des nombres de Mersenne premiers.

 

*      Et leur produit.

M2 = 22 – 1 = 3

 = 1 + 3 = 4 = 22

M3 = 23 – 1 = 7

 = 1 + 7 = 8 = 23

M5 = 25 – 1 = 31

 = 1 + 31 = 32 = 25

 

 = 22 . 23 = 25 = 32

 = 22 . 23 . 25  = 210 = 1024

Si Mp = 2p – 1

 

Produit de nombres de Mersenne premiers: la somme des diviseurs est égale à 2 à la puissance de la somme des indices:

Voir Nombres sublimes (propriété utilisée pour la démonstration)

 

 

MERSENNE M   

             &   M – 1 = 2n – 2 = 2(2n-1 – 1) 

 

Propriété amusante avec un nombre de Mersenne Mn et Mn – 1.

 

On pourrait penser que si Mn – 2 est divisible par n, alors le nombre de Mersenne est premier.

Ex: M5 = 25 – 1 = 31 qui est premier et 30 = 5 x 6 (en jaune sur le tableau).

 

Hélas, ça ne marche pas toujours.
Ex: M11 = 211 – 1 = 2 047 = 23 x 89 et 2046 = 11 x 186 (en bleu sur le tableau).

Pire, la quantité de faux augmente.

 

Pour n  jusqu'à 100

10 Vrais: [2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89]

16 Faux: [1, 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97]

 

Pour n  jusqu'à 1000

14 Vrais: […, 107, 127, 521, 607]

158 Faux: […, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, …]

 

Pour n  jusqu'à 10 000

20 Vrais   & 666 Faux

 

Cette affirmation est fausse

 

Voir Nombre 666

 

  

 

HISTORIQUE

Avant

*       De nombreux auteurs pressentaient que les nombres de la forme 2n – 1 étaient tous premiers

Regius – 1536 

*       Hudalricus Regius montre que 211 – 1 = 2 047 n'est pas premier (2 047 = 23 x 89). 

Cataldi – 1603 

*       Pietro Cataldi vérifie que 217 – 1 and 219 – 1 sont tous les deux premiers, mais indique faussement que 2n – 1 est aussi premier pour 23, 29, 31 et 37. 

Fermat – 1640   

*       Fermat  montre que Cataldi avait tort pour 23 et 37.

Arrive le moine français Marin Mersenne (1588-1648)

*       Mersenne mentionne dans la préface de son livre Cogitata Physica-Mathematica (1644) que le les nombres 2n - 1 sont premiers pour : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu'ils sont composés pour les autres n < 257. 

*       La conjecture, incorrecte, de Mersenne était à peine meilleure que celle de Regius, mais c'est son nom qui reste attaché à ces nombres. 

*       Les cinq erreurs de Mersenne n'ont été résolues définitivement qu'en 1952 par Robinson par ordinateur.

Euler – 1750

*       Euler montre que Cataldi avait tord aussi pour 29 et raison pour 31.  

Lucas – 1876

*       Après un siècle, Lucas vérifie que 2127 - 1 est premier aussi.  

*       Il a mis au point un test de primalité des nombres de Mersenne, amélioré par Lehmer en 1930. Application à la main pour les 19 premiers Mersenne (p < 258).

Pervusin – Sept ans plus tard

*       Il montre que 261 - 1 est premier. Mersenne n'avait pas vu celui-là. 

Powers – Au début des années 1900

*       Il montre que Mersenne était passé à côté de 289 - 1 et 2107 - 1 

Finalement, en 1947

*       La liste correcte des nombres de Mersenne pour n < 258, est établie et vérifiée :

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127

Depuis, avec les ordinateurs

*       En 195, M257 est confirmé en quelques secondes sur la machine SWAC.

*       Avec la capacité croissante des ordinateurs, sans oublier de réel progrès en technique de calcul (factorisation et test de primalité), les records tombent régulièrement et, en fait, donnent les plus grands nombres premiers connus.

 

 

Un beau spécimen

2521  – 1 = 512  2512 – 1

= 6,8648 … 10156

Premier de Mersenne et de Woodall

(Trouvé par Dobb, cité par Caldwell)

Voir Nombres premiers de Woodall

 

 

 

Père Marin Mersenne (1588-1648 : 60 ans)

 

Sa vie

*      Savant, philosophe français né à Oizé près du Mans.

*      Collège des jésuites de la Flèche (comme et avant Descartes).

*      En 1611, religieux de l'ordre des Minimes dans un couvent situé à l'actuelle place des Vosges (Paris).

*      Nevers, enseignement de la philosophie.

*      En 1619, il rejoignit Paris, et entra au couvent de l'Annonciade.

Ami et correspondant de Descartes et de nombreux autres savants: Huygens, Fermat, Hobbes.

Il crée autour de lui une activité philosophique et scientifique.

En 1635, il organise des réunions régulières, sorte d'académie: Roberval, le père de Pascal (Étienne) …

Ce foyer de réflexion animé par Mersenne conduira à la création par Colbert de l'Académie des sciences en 1666.

 

*      1636: De l'harmonie universelle,  traité d'acoustique physique et mathématiques des instruments de musique.

*      1644-1645, en Italie: découvre le baromètre et le fait connaître en France, notamment à Pascal.


Son œuvre

*    Il détermine les rapports des fréquences des notes de la gamme.

*    Il mesure la vitesse du son (1636).

*    Connu pour les nombres qui portent son nom.

 

 

 

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*    OEIS A001348 – Mersenne numbers

*    Mersenne numbers – Guy Haworth – Intérêt historique

 

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