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NOMBRES de MERSENNE Mn = 2n – 1 Puissance de deux moins un. Intérêt particulier porté sur les nombres de Mersenne premier. Note: Généralement un
nombre de Mersenne est entendu comme un nombre de Mersenne premier. Les nombres de Mersenne sont un cas particulier des nombres de Cunningham et également des nombres de Williams. |
En bref
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Si on connaît un nombre de MERSENNE
premier: 2n – 1
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Alors, on connaît un nombre PARFAIT beaucoup plus grand: 2n – 1 (2n – 1) |
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Voir Défi
de Frénicle à Fermat
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Théorème
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Exemples M2 = 2² – 1
= 3 C'est le N°1 M3 = 23 – 1 =
7 C'est le N°2 M5 = 25 – 1 = 31
C'est le N°3 |
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Exploration de ce
théorème Pour ces nombres
premiers, 2n – 1 est composé: 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 … |
Liste pour les
premières valeurs Suite de ce tableau |
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Repunit en binaire
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112
= 310 = 4 – 1 = 22 – 1 1112
= 710 = 8 – 1 = 23 – 1 11112 =
1510 = 16 – 1 = 24 – 1 |
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2n
– 1 , si n est composé, il peut s'écrire 2km – 1 et se factoriser en: 2km
– 1 = (2k – 1) (2k (m-1) + … + 2kl + 2k
+ 1). Donc
n est composé, et 2n – 1 ne peut pas l'être (car divisible par 2k
– 1. 2n
– 1 ne peut être premier que si n l'est. Il
s'agit ici d'une démonstration
par l'affirmation opposée, dite par contraposée. On
peut même démonter que: si a et n sont des entiers plus grand que 1, si an
– 1 est premier, alors a = 2 et n est premier. |
Voir Divisibilité
des nombres de Mersenne / Contraposée
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Démonstration |
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an – 1 = (a – 1) (an-1 + an-2 + … +
a + 1) |
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(a – 1) = 1 a
= 2 |
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n = r . s |
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an
– 1 = 2rs – 1 =
(2r – 1) (2r(s-1) + 2r(s-2) + … + 2r
+ 1) |
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2n – 1 est premier que si n est premier |
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On ne sait pas
prouver que:
Euler a montré que:
Conjecture
Soit
p un entier impair quelconque. Si deux des conditions suivantes
sont remplies, alors la troisième aussi : 1) 2) 2p - 1 est premier (un premier de Mersenne, évidemment) 3) (2p + 1)/3 est premier. Vérifiée pour tous les premiers p < 100
000. |
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= 170141183 4604692317
3168730371 5884105727 C5 > 105121759971936968187987972338633157624 |
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Voir Nombres Sublimes
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M2 = 22 – 1 = 3
M3 = 23 – 1 = 7
M5 = 25 – 1 = 31
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Si Mp = 2p – 1 Produit de nombres de
Mersenne premiers: la somme des diviseurs est égale à 2 à la puissance de la
somme des indices: |
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Voir Nombres
sublimes (propriété utilisée pour la démonstration)
&
M – 1 = 2n – 2 = 2(2n-1 – 1) |
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Propriété amusante avec un nombre de Mersenne Mn
et Mn – 1. On pourrait penser que si Mn – 2 est
divisible par n, alors le nombre de Mersenne est premier. Ex: M5 = 25 – 1 = 31 qui est premier et 30 = 5 x 6 (en
jaune sur le tableau). Hélas, ça ne marche pas toujours. Pire, la quantité de faux augmente. Pour n jusqu'à 100 10 Vrais: [2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61,
89] 16 Faux: [1, 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97] Pour n jusqu'à 1000 14 Vrais: […, 107, 127, 521, 607] 158 Faux: […, 101, 103, 109, 113, 131, 137,
139, 149, …] Pour n jusqu'à 10 000 20 Vrais
& 666 Faux |
Cette affirmation est fausse
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Voir Nombre
666
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Avant
Regius
– 1536
Cataldi
– 1603
Fermat
– 1640
Arrive
le moine français Marin Mersenne (1588-1648)
Euler
– 1750
Lucas
– 1876
Pervusin
– Sept ans plus tard
Powers
– Au début des années 1900
Finalement,
en 1947
n = 2, 3, 5, 7, 13,
17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127 Depuis,
avec les ordinateurs
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2521 – 1 = 512 = 6,8648 … 10156 Premier
de Mersenne et de Woodall (Trouvé par Dobb, cité par Caldwell) |
Voir Nombres premiers de Woodall
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Sa
vie
Ami et
correspondant de Descartes et de
nombreux autres savants: Huygens, Fermat, Hobbes. Il crée autour de
lui une activité philosophique et scientifique. En 1635, il
organise des réunions régulières, sorte d'académie: Roberval, le père de Pascal (Étienne) … Ce foyer de
réflexion animé par Mersenne conduira à la création par Colbert de l'Académie
des sciences en 1666.
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Voir |
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Site |
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Remarquables
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Autres noms de nombres