NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

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Puissance

 

 

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Puissance

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MERSENNE (biographie)

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Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Carol et Kynea

Sommaire de cette page

>>> Propriété fondamentale

>>> Nombres de Mersenne

>>> Exposant premier

>>> Théorèmes et conjectures

>>> Mersenne en puissance

>>> Mersenne et diviseurs

>>> Historique

 

 

 

NOMBRES de MERSENNE

  

Mn = 2n – 1

 

Puissance de deux moins un.

Intérêt particulier porté sur les nombres de Mersenne premier.

 

 

 

Propriété fondamentale

 

Si on connaît

un nombre de MERSENNE premier:

 

2n – 1

 

Alors, on connaît

un nombre PARFAIT

beaucoup plus grand:

 

2n – 1  (2n – 1)

Voir Défi de Frénicle à Fermat

 

 

 

 

NOMBRES DE MERSENNE (1664)

 

Mn = 2n – 1

 

Si ce nombre est premier alors n est premier. La réciproque n'est pas vraie.

Exemples

 

M2 =  2² – 1  =   3  C'est le N°1

M3 =  23 – 1  =   7  C'est le N°2

M5 =  25 – 1  = 31  C'est le N°3

 

Voir Liste des nombres de Mersenne

 et Record des nombres de Mersenne premiers

 

*      Cas des rep-units, nombres formés de 1, en binaires.

*      Traduit en décimal, ce sont tous des nombres de Mersenne.

 

112 =   310 =   4 – 1 = 22 – 1

1112 =   710 =   8 – 1 = 23 – 1

11112 = 1510 = 16 – 1 = 24 – 1

 

Démonstration en bref

2n1 , si ne est composé peut s'écrire 2km – 1 et se factoriser en:

2km – 1 = (2k – 1) (2k (m-1) + … + 2kl + 2k + 1).

Donc n est composé, 2n – 1 ne peut pas l'être.

2n – 1 ne peut être premier que si n l'est.

Démonstration par l'affirmation opposée, dite par contraposée.

 

 

Exposant premier

 

N = an – 1

 

Ce nombre n'est premier que si a  = 2 et n est premier, et c'est justement un nombre de Mersenne.

 

Démonstration

*    Calcul avec le développement:

an – 1

= (a – 1) (an-1 + an-2 + … + a + 1) 

*    Pour être premier l'un de ces deux facteurs doit être égal à 1.

*    Or le deuxième est > 1.

*    C'est donc le premier qui vaut 1.

 

 

 

(a – 1) = 1

 a = 2

*    Supposons que n soit composé

*    Avec r et s > 1

n = r . s

*    Nouveau calcul:

*    Le nombre est alors le produit de deux facteurs.

*    Chacun est > 1.

*    Il est composé et non premier comme le veut l'hypothèse.

an – 1 = 2rs – 1

= (2r – 1) (2r(s-1) + 2r(s-2) + … + 2r + 1) 

*    Seule possibilité

2n – 1 est premier que si n est premier

 

 

 

THÉORÈMES ET CONJECTURES

 

On ne sait pas prouver que:

*    Les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini.

*    Les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini.

 

On sait aujourd'hui que:

*    Si Mp est premier, alors p l'est aussi, mais la réciproque n'est pas vraie.

*    Par contre: si p est composé alors Mp est composé (Connu de Mersenne).

*    Les nombres de Mersenne sont premiers entre eux.
C'est la base d'une démonstration montrant qu'il existe un nombre infini de nombres premiers.

*    Chaque nombre de Mersenne engendre un nombre parfait

 

Euler a montré que:

*     Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2p = 1 (mod 2p+1).
Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2p – 1 est composé. 
Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinité de telles paires p et 2p+1.

 

Conjecture

*    La nouvelle conjecture de Mersenne, Bateman, Selfridge et Wagstaff affirme que:

Soit p un entier impair quelconque. Si deux des conditions suivantes sont remplies, alors la troisième aussi :

1)  

2)   2p - 1 est premier (un premier de Mersenne, évidemment)

3)   (2p + 1)/3 est premier.

Vérifiée pour tous les premiers p < 100 000.

 

 

 

MERSENNE en puissance

 

*      Est-ce que ces nombres sont premiers?

 

= 170141183 4604692317 3168730371 5884105727

C5 > 105121759971936968187987972338633157624

*    Selon Dickson, Catalan répondit en 1876 à Lucas, en affirmant que C4 = 2127 - 1 est premier.

*    Il est improbable que tous ces nombres soient premiers.

*    C'est un exemple de la grande loi de Guy sur les petits nombres.

Voir Nombres Sublimes

 

MERSENNE et diviseurs

*      Observons la somme des diviseurs des nombres de Mersenne premiers.

 

*      Et leur produit.

M2 = 22 – 1 = 3

 = 1 + 3 = 4 = 22

M3 = 23 – 1 = 7

 = 1 + 7 = 8 = 23

M5 = 25 – 1 = 31

 = 1 + 31 = 32 = 25

 

 = 22 . 23 = 25 = 32

 = 22 . 23 . 25  = 210 = 1024

Si Mp = 2p – 1

 

Produit de nombres de Mersenne premiers: la somme des diviseurs est égale à 2 à la puissance de la somme des indices:

Voir Nombres sublimes (propriété utilisée pour la démonstration)

 

 

 

HISTORIQUE

Avant

*       De nombreux auteurs pressentaient que les nombres de la forme 2n – 1 étaient tous premiers

Regius – 1536 

*       Hudalricus Regius montre que 211 - 1 = 2 047 n'est pas premier (2047 = 23 x 89). 

Cataldi – 1603 

*       Pietro Cataldi vérifie que 217 – 1 and 219 – 1 sont tous les deux premiers, mais indique faussement que 2n – 1 est aussi premier pour 23, 29, 31 et 37. 

Fermat – 1640   

*       Fermat  montre que Cataldi avait tort pour 23 et 37.

Arrive le moine français Marin Mersenne (1588-1648)

*       Mersenne mentionne dans la préface de son livre Cogitata Physica-Mathematica (1644) que le les nombres 2n - 1 sont premiers pour : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu'ils sont composés pour les autres n < 257. 

*       La conjecture, incorrecte, de Mersenne était à peine meilleure que celle de Regius, mais c'est son nom qui reste attaché à ces nombres. 

Euler – 1750

*       Euler montre que Cataldi avait tord aussi pour 29 et raison pour 31.  

Lucas – 1876

*       Après un siècle, Lucas vérifie que 2127 - 1 est premier aussi.  

Pervusin – Sept ans plus tard

*       Il montre que 261 - 1 est premier. Mersenne n'avait pas vu celui-là. 

Powers – Au début des années 1900

*       Il montre que Mersenne était passé à côté de 289 - 1 et 2107 - 1 

Finalement, en 1947

*       La liste correcte des nombres de Mersenne pour n < 258, est établie et vérifiée :

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127

Depuis, avec les ordinateurs

*       Les records tombent régulièrement et, en fait, donnent les plus grands nombres premiers connus.

 

 

Un beau spécimen

2521  – 1 = 512  2512 – 1

= 6,8648 … 10156

Premier de Mersenne et de Woodall

(Trouvé par Dobb, cité par Caldwell)

Voir Nombres premiers de Woodall

 

 

 

Père Marin Mersenne (1588-1648 : 60 ans)

 

Sa vie

*      Savant, philosophe français né à Oizé près du Mans.

*      Collège des jésuites de la Flèche (comme et avant Descartes).

*      En 1611, religieux de l'ordre des Minimes dans un couvent situé à l'actuelle place des Vosges (Paris).

*      Nevers, enseignement de la philosophie.

*      En 1619, il rejoignit Paris, et entra au couvent de l'Annonciade.

Ami et correspondant de Descartes et de nombreux autres savants: Huygens, Fermat, Hobbes.

Il crée autour de lui une activité philosophique et scientifique.

En 1635, il organise des réunions régulières, sorte d'académie: Roberval, le père de Pascal (Étienne) …

Ce foyer de réflexion animé par Mersenne conduira à la création par Colbert de l'Académie des sciences en 1666.

 

*      1636: De l'harmonie universelle,  traité d'acoustique physique et mathématiques des instruments de musique.

*      1644-1645, en Italie: découvre le baromètre et le fait connaître en France, notamment à Pascal.


Son œuvre

*    Il détermine les rapports des fréquences des notes de la gamme.

*    Il mesure la vitesse du son (1636).

*    Connu pour les nombres qui portent son nom.

 

 

 

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