NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Addition des Nombres

 

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Général

Racine numérique

&  voisins

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Nombres

Opérations

Chiffres

 

Preuve par 9

Rang

Somme des chiffres

Clé de divisibilité

 

Sommaire de cette page

>>> Racine numérique (additive)

>>> table de multiplication des RN

>>> Racine numérique (multiplicative)

 

 

 

 

 

Racines numériques (ou résidus)

Additives et Multiplicatives

 

 

Additions ou multiplications itératives sur les chiffres d’un nombre. La persistance (r) indique la quantité d’opérations à effectuer pour terminer l’itération (arriver à un seul chiffre).

 

Exemples

 

Anglais: Additive digital root / Multiplicative digital root /

Additive persistence / Multiplicative persistence

 

 

Racine numérique additive

 

*    Trouver la racine numérique d'un nombre c'est l'opération réalisée pour effectuer une preuve par neuf.

*    Pour trouver la racine numérique d'un nombre, on ajoute les chiffres du nombre.

*    Si le nombre comporte plus d'un chiffre, on recommence à ajouter les chiffres.

*    Et, cela autant de fois que nécessaire pour aboutir à un seul chiffre.

*    La quantité d'opérations est appelée le rang de la racine numérique.

 

 

Nombre

 

11

 

222

 

567

 

 

888 888

 

Racine Num.

 

2      r1

 

6      r1

 

18

9      r2

 

48

12

3      r3

*    Le neuf étant équivalent à 0, en pratique le calcul est simplifié en éliminant tous les neufs et toutes les sommes évidentes égales à 9.

*    Attention, le calcul de la persistance ne tient pas compte de ces raccourcis.

1 999 999

 

181 270 362

1      r3

 

3

Sans raccourci

30

3      r2

 

Table de multiplication des RN

 

Quelle est la racine numérique  du produit de deux nombres ?

 

Exemple

12 x 34 = 408

RN: 3 x 7 = 21 => 3

RN: 408 => 12 => 3

 

En jaune le cas ou le produit correspond aussi à la somme.

 

Exemple

8 x 473 = 3 784

RN: 8 x 5 => 4

RN: 3 784 => 4

et, en plus 8 + 5 + 13 => RN: 4

 

 

En jaune: produit = somme. Quatre cas avec comme résultat 4 ou 9 seulement.

Voir Nombres de Friedman multiplicatifs

 

 

EXEMPLES: N, RN, r

 

Exemple: N = 789 789; Racine Numérique = 3;

              En trois calculs:  r = 3

 

80, 8, 1

81, 0, 1

82, 1, 2

83, 2, 2

84, 3, 2

85, 4, 2

86, 5, 2

87, 6, 2

88, 7, 2

89, 8, 2

90, 0, 1

91, 1, 2

92, 2, 2

93, 3, 2

94, 4, 2

95, 5, 2

96, 6, 2

97, 7, 2

98, 8, 2

99, 0, 2

 

150, 6, 1

151, 7, 1

152, 8, 1

153, 0, 1

154, 1, 2

155, 2, 2

156, 3, 2

157, 4, 2

158, 5, 2

159, 6, 2

160, 7, 1

161, 8, 1

162, 0, 1

163, 1, 2

164, 2, 2

165, 3, 2

166, 4, 2

167, 5, 2

168, 6, 2

169, 7, 2

170, 8, 1

 

980, 8, 2

981, 0, 2

982, 1, 3

983, 2, 2

984, 3, 2

985, 4, 2

986, 5, 2

987, 6, 2

988, 7, 2

989, 8, 2

990, 0, 2

991, 1, 3

992, 2, 2

993, 3, 2

994, 4, 2

995, 5, 2

996, 6, 2

997, 7, 2

998, 8, 2

999, 0, 2

 

789 789, 3, 3

789 790, 4, 2

789 791, 5, 2

789 792, 6, 2

789 793, 7, 2

789 794, 8, 2

789 795, 0, 2

789 796, 1, 3

789 797, 2, 3

789 798, 3, 3

789 799, 4, 3

789 800, 5, 2

789 801, 6, 2

789 802, 7, 2

789 803, 8, 2

789 804, 0, 2

789 805, 1, 3

789 806, 2, 3

789 807, 3, 3

789 808, 4, 2

789 809, 5, 2

789 810, 6, 2

789 811, 7, 2

789 812, 8, 2

789 813, 0, 2

789 814, 1, 3

789 815, 2, 3

789 816, 3, 3

789 817, 4, 2

789 818, 5, 2

789 819, 6, 2

789 820, 7, 2

 

 

999 980, 8, 2

999 981, 0, 2

999 982, 1, 3

999 983, 2, 3

999 984, 3, 3

999 985, 4, 3

999 986, 5, 2

999 987, 6, 2

999 988, 7, 2

999 989, 8, 2

999 990, 0, 2

999 991, 1, 3

999 992, 2, 3

999 993, 3, 3

999 994, 4, 3

999 995, 5, 2

999 996, 6, 2

999 997, 7, 2

999 998, 8, 2

999 999, 0, 2

*    Nombres correspondant au changement de rang au plus tôt:

*    Il faut attendre un nombre avec 22 chiffres pour atteindre le quatrième rang.

*    Formule de récurrence

Ce dernier nombre dépasse la capacité de calcul de Maple, par exemple

 

Voir OEIS A006050 – Smallest number of additive persistence n

 

Voir Racine numérique avec des carrés et nombres heureux

 

 

 

 

RACINE Numérique multiplicative

 

*    On peut imaginer multiplier les chiffres au lieu de les additionner.

 

12

123

99

 

 

2

6

8

 

EXEMPLES: N, RN multiplicative

Exemple:

N = 57 => 5 x 7 = 35 => 3 x 5 = 15 => 1 x 5 = 5

En rouge, les records successifs de persistance.

 

10 ,  0

11 ,  1

12 ,  2

13 ,  3 

14 ,  4

15 ,  5

16 ,  6

17 ,  7

18 ,  8

19 ,  9

20 ,  0

21 ,  2

22 ,  4

23 ,  6

24 ,  8

25 ,  10 ,   0

26 ,  12 ,   2

27 ,  14 ,   4 

28 ,  16 ,   6

29 ,  18 ,   8

30 ,   0

31 ,   3

32 ,   6

33 ,   9

34 ,  12 ,   2

35 ,  15 ,   5

36 ,  18 ,   8

37 ,  21 ,   2

38 ,  24 ,   8

39 ,  27 ,  14 ,  4  

 

 

40 ,   0

41 ,   4

42     8

43 ,  12 ,   2

44 ,  16 ,   6

45 ,  20 ,   0

46 ,  24 ,   8

47 ,  28 ,  16 ,  6 

48 ,  32 ,   6

49 ,  36 ,  18 ,  8  

50 ,   0

51 ,   5

52 ,  10 ,   0

53 ,  15 ,   5

54 ,  20 ,   0

55 ,  25 ,  10 ,  0

56 ,  30 ,   0

57 ,  35 ,  15 ,  5  

58 ,  40 ,   0

59 ,  45 ,  20 ,  0 

60 ,   0

61     6

62 ,  12 ,   2

63 ,  18 ,   8

64 ,  24 ,   8

65 ,  30 ,   0

66 ,  36 ,  18 ,  8 

67 ,  42 ,   8

68 ,  48 ,  32 ,  6

69 ,  54 ,  20 ,  0

 

70 ,   0

71 ,   7

72 ,  14 ,   4

73 ,  21 ,   2

74 ,  28 ,  16 ,  6

75 ,  35 ,  15 ,  5 

76 ,  42 ,   8

77 ,  49 ,  36 , 18 , 8

78 ,  56 ,  30 ,  0

79 ,  63 ,  18 ,  8  

80 ,   0

81 ,   8

82 ,  16 ,   6

83 ,  24 ,   8

84 ,  32 ,   6

85 ,  40 ,   0

86 ,  48 ,  32 ,  6  

87 ,  56 ,  30 ,  0  

88 ,  64 ,  24 ,  8  

89 ,  72 ,  14 ,  4  

90 ,   0

91 ,   9

92 ,  18 ,   8

93 ,  27 ,  14 ,  4 

94 ,  36 ,  18 ,  8 

95 ,  45 ,  20 ,  0  

96 ,  54 ,  20 ,  0  

97 ,  63 ,  18 ,  8  

98 ,  72 ,  14 ,  4  

99 ,  81 ,   8

 

Record de persistance multiplicative

La liste des records de persistance multiplicative est sans doute finie :

*    Les chiffres sont non-décroissants.

*    Le chiffre 0 disparait dès le premier rang.

*    Pas de 5 avec un nombre pair.

*    Pas à la fois des 2 et des 3 qui seraient remplacés par des 6 et conduiraient à un record plus court.

*    Pas plusieurs 3, remplaçables par 9.

*    Etc.

*    Le nombre se termine par des 7, 8 et 9 dès le quatrième rang.

 

n

r

1

11

2

25

3

39

4

77

5

679

6

6 788

7

68 889

8

2 677 889

9

26 888 999

10

3 778 888 999

11

277 777 788 888 899

/

FIN

 

Suite par exemple:

Généralisation à la puissance k des chiffres.

Record de persistance des nombres premiers.

 

Exemples de produits des CARRÉS des chiffres

Le nombre 2 tient un record avec 7 itérations.

 

 

Programme de calcul de la persistance multiplicative

 

Programme Chiffre avec Maxima

Programme Persistance multiplicative

 

Sorties

 

 

Commentaires

 

On charge la fonction Chiffre mis au point sur une autre page.

 

 

Notre programme commence par une boucle d’analyse des nombres de 670 à 680 (par exemple).

Initialisation d’un compteur (kt) et d’une liste (L).

Appel à la fonction Chiffre qui liste les chiffres de n dans C. Quantité de chiffre mis dans l.

Tant que (while) cette longueur est supérieure à 1, on poursuit les calculs itératifs sur les chiffres.

Le produit des chiffres (P) est initialisé à 1.

Boucle de calcul du produit des chiffres : le produit est calculé avec le chiffre numéro i (part).

Le produit est décomposé en ses chiffres mis dans C.

Le produit est ajouté à la liste et le compteur est incrémenté.

En fin de calcul sur n, impression de la liste des produits successifs et de la quantité des itérations.

 

Note : on aurait pu éviter la gestion du compteur et demander la longueur de la liste finale.

 

 

 

 

Persistance additive

 

 

 

Commentaires

 

 

Le même programme adapté à la persistance additive.

P est initialisé à 0 (et non 1).

Et l’opération est l’addition et non la multiplication.

On en profite pour supprimer le compteur au produit du calcul de la longueur de la liste finale (L).

Voir ProgrammationIndex y compris liste des programmes Maxima

 

 

 

 

Voir

*    Preuve par neuf

*    Partition

*    Somme des chiffres

*    Autres procédés itératifs (Kaprekar …)

Aussi

*    Addition

*    Calcul mental

*    Divisibilité

*    Multiplication

*    Nombres géométriques

*    Représentation des nombres

Diconombre

*    Nombre 19

*    Nombre 77

*    Nombre 199

Sites

*    Multiplicative Persistence – Wolfram MathWorld 

*    OEIS A00301 – Smallest number of multiplicative persistence n.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/RAcNum.htm