NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Fibonacci

 

Itérations

 

Fibonacci

Propriétés (1/2)

Propriétés (2/2)

Formule de Binet et Binet généralisé

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle de Pascal

>>> Fibonacci & nombre d'or

>>> Divisibilité

>>> Formule de Binet

>>> Autres formules (sommes)

>>> Carré des Fibonacci – Démonstration avec Binet

>>> Somme infinie et 89

 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI

Propriétés (2/2)

Formule de Binet

  

Revue des principales propriétés des nombres de Fibonacci.

Notamment comment calculer les grandes valeurs directement sans avoir à calculer tous les précédents.

 

En pratique pour calculer un nombre de Fibonacci de rang n:

 

 

Triangle de Pascal

 

 

 

*      Dans le triangle de Pascal, la somme des "diagonales" forment la suite de Fibonacci.

 

 

Voir Triangle de Pascal et Nombres de Fibonacci

 

 

Nombre d'or et Fibonacci

 

*      Le rapport entre deux termes consécutifs tend vers le nombre d'or.

 

 

 

 

*      La suite des nombres de Fibonacci est la seule suite ayant les deux propriétés:

 

Un+1 = Un + Un-1

 

Compléments en Nombre d'Or

 

 

Divisibilité

 

Trois nombres de Fibonacci consécutifs sont premier entre eux par paires.

 

Explication

On sait que, par définition, Fn+1 = Fn + Fn–1

Si de divise deux des nombres, il divise le troisième.

Par induction on remonte jusqu'à F1 = 1 qui n'est divisible que par 1.

 

(Fn-1, Fn) = (Fn-1, Fn+1) = (Fn, Fn+1) = 1

 

Exemple

F8  = 21 = 3 x 7

F9  = 34 = 2 x 17

F10 = 55 = 5 x 11

Aucun facteur en commun

 

Le PGCD de deux nombres de Fibonacci est égal au Fibonacci d'indice égal à ce PGCD.

(Fn, Fm) = F(n, m)

 

Exemple

F12  = 144 et  F18  = 2 584

PGCD(144, 2 584) = 8

PGCD(12, 18) = 6

                           F6   = 8

 

 

Propriétés de divisibilités

2

F3k 

2, 8, 34, 144 …

3

F4k 

3, 21, 144, 987 …

4

F6k 

8, 144,  2 584, 46 368 …

5

F5k 

5, 55, 610, 6 765 …

6, 9 et 12

F12k 

144, 46,368, 14 930 352 …

7

F8k 

21, 987, 46 368, 2 178 309 …

10 et 61

F15k 

610, 832 040, 1 134 903 170 …

11

F10k 

21, 987, 46 368, 2 178 309 …

13

F7k 

13, 377, 10 946, 317 811…

15

F20k 

6 765, 102 334 155 …

17

F9k 

34, 2 584, 196 418, 14 930 352…

29

F14k 

377, 317 811, 267 914 296 …

Propriété exploitée

 

Si m | n alors Fm | Fn

 

Exemples

3   n  alors n = 3k

Si  3   n  alors F3 | Fn ou 2   F3k

 

15 | n alors n = 15k

Si 15 | n alors F15 | Fn soit 610 | F15k

Voir Divisibilité des Fibonacci par 11 / Divisibilité par n

 

 

 

FORMULE de BINET

 

*      En 1843, Binet publie une formule qui donne le nième nombre de la suite de Fibonacci.

 

*      Notez la présence de la racine de 5 qui rappelle le nombre d'or.

 

 

 

 

 

Voir La formule de Binet – Développements

 

 

 

Autres formules: sommes

 

 

Formule valable pour n >1

 

 

Application linéaire

Pour r = 0

 

 

Carré des FibonacciDémonstration

 

Propriété de l'expression E

 

Le carré d'un nombre de Fibonacci est égal au produit de ses deux voisins à 1 près.

E = Fn–1 . Fn+1 – Fn2 = (–1)n

 

Expression matricielle**

 

 

Illustration

Démonstration

Nous noterons A et B le nombre d'or et son inverse en négatif.

Souvenons-nous que leur produit est égal à –1.

 

Formule de Binet

Avec notation facilitant la lecture

FN

Carré

 

Rappel:
(An)m = An . m >>>

FN2

 

 

Produit

 

Rappel: produit de puissances, on ajoute les indices. >>>

Fn – 1 . Fn +1

 

 

 

Expression demandée

E

Produit de AB

A.B

An.Bn

= – 1 

= (A.B)n = (– 1)n 

Produits mixtes

 

 

 

 

 

An-1. Bn+1

 

An+1. Bn-1

= (-1)n-1

 

= (-1)n-1 A2

Explication

Les produits deux à deux de A et B jusqu'à n – 1 donne (–1);

les deux B restants donnent le produit B².

Remplaçons

 

 

E

 

 

Somme des carrés

A² + B²

 

 

Retour à E

E

 

 

 

Somme infinie et 89

On peut montrer que (m > 1):

Avec

Fn = 89 = m² – m – 1 => m = 10

En remplaçant

Calcul

Avec 10 termes

Avec 20 termes

1 / 89,000000000000063930

Voir Nombre 89

 

 

 

 

 

Retour

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Suite

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Voir

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*       Récurrence

*       Théorie des nombres

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*       Tables des nombres de Fibonacci et autres

Aussi

*       Arctg et Fibonacci

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*       Fraction continue

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