NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Croissance

>>> Nombres de Sierpinski

>>> Recherches

>>> Waclaw Sierpinski

 

Retour NOMBRE 78 557

 

 

 

 

NOMBRES DE SIERPINSKI

 

Les nombres en N = k . 2n + 1, formés avec des puissances de 2, sont les nombres de Proth.

Certains de ces nombres ne sont jamais premiers quelle que soit la valeur de n.

Le facteur k de tels nombres est un nombre de Sierpinski. Le plus petit connu est  k = 78 557.

 

 

 

Approche – Exploration des nombres

 

 

Prenons les puissances de 2 multipliées par un nombre k et ajoutons 1:

N = k . 2n + 1

Indiquons si ces nombres sont premiers.

Tableau central =>

 

Nous constatons que pour chaque valeur de k, il existe rapidement une valeur de n donnant un nombre N premier.

Tableau de droite =>

 

 

Pour chaque k, notons la première valeur de n  qui donne N premier.

Pour tous les k successifs, il y a, semble-t-il, un N premier.

 

Et, jusqu'à présent, la valeur de n reste faible .

 

et, pourtant…curieusement

Il existe des nombres k pour lesquelles le nombre N ne sera jamais premier

Il y en a même une infinité.

 

Les valeurs de k sont les nombres de Sierpinki.

 

 

Toutes les valeurs

k

n

N =

k . 2n + 1

 

1

1

3

Premier

1

2

5

Premier

1

3

9

 

1

4

17

Premier

1

5

33

 

1

6

65

 

1

7

129

 

1

8

257

Premier

1

9

513

 

1

10

1025

 

2

1

5

Premier

2

2

9

 

2

3

17

Premier

2

4

33

 

2

5

65

 

2

6

129

 

2

7

257

Premier

2

8

513

 

2

9

1025

 

2

10

2049

 

3

1

7

Premier

3

2

13

Premier

3

3

25

 

3

4

49

 

3

5

97

Premier

3

6

193

Premier

3

7

385

 

3

8

769

Premier

3

9

1537

 

3

10

3073

 

4

1

9

 

4

2

17

Premier

4

3

33

 

4

4

65

 

4

5

129

 

4

6

257

Premier

4

7

513

 

4

8

1025

 

4

9

2049

 

4

10

4097

 

5

1

11

Premier

5

2

21

 

5

3

41

Premier

5

4

81

 

5

5

161

 

5

6

321

 

5

7

641

Premier

5

8

1281

 

5

9

2561

 

5

10

5121

 

Un représentant

pour k donné

k

n

N =

k . 2n + 1

1

2

5

2

3

17

3

2

13

4

2

17

5

3

41

6

4

97

7

2

29

8

5

257

9

2

37

10

2

41

11

3

89

12

3

97

13

2

53

14

3

113

15

2

61

16

4

257

17

3

137

18

2

73

19

6

1217

20

5

641

21

4

337

22

2

89

23

9

11777

24

2

97

25

2

101

26

7

3329

27

2

109

28

2

113

29

3

233

30

3

241

31

8

7937

32

3

257

33

6

2113

34

2

137

35

3

281

36

4

577

37

2

149

38

5

1217

39

2

157

40

4

641

 

 

 

 

 

Croissance de n

Cette fois, nous allons noter la valeur de n record.

C'est-à-dire celle qui dépasse une valeur déjà obtenue.

Ce tableau montre que la valeur de n croit finalement très rapidement.

Et surtout, il donne une idée des calculs monstrueux à effectuer pour détecter un nombre de Sierpinski.

 

 

k

n

N = k . 2n + 1

1

2

5

2

3

17

6

4

97

8

5

257

19

6

1217

23

9

11777

41

11

83969

47

583

0,14879… 10178

383

6393

0,11694… 101928

 

 

 

 

Nombre de SIERPINSKI

 

Définition

Nombre k impair tel que N = k . 2n + 1 n'est jamais premier.

 

 

Théorème de Sierpinski (1960)

 

Il existe une infinité d'entiers impairs k

pour lesquels k . 2n + 1 n'est jamais premier,

quel que soit l'entier n supérieur à 1.

 

There exist infinitely many odd integers k

such that k.2n + 1

is composite for every n > 1

 

 

 

Le plus petit nombre de Sierpinski

78 557 . 2n + 1 n'est jamais premier.

Le plus petit connu.

Découvert par John Selfridge en 1962.

qui conjecture que c'est le plus petit

78 557 = 17 x 4 621

 

Exemples de calculs

78 557 . 20  + 1 est divisible par 3

78 557 . 21  + 1 est divisible par 5,
vrai pour n = {1, 5, 9, 13 …}

78 557 . 22  + 1 est divisible par 3,
vrai pour n pair

78 557 . 23  + 1 est divisible par 73, vrai pour 3, puis 12, 21, 30 …

Etc.

 

Le deuxième plus petit nombre de Sierpinski

271 129 . 2n + 1 n'est jamais premier.

Le deuxième plus petit connu.

271 129 est premier, sans doute le plus petit Sierpinski premier

 

Liste de nombres k  de Sierpinski

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, 3083723, 3098059, 3555593, 3608251 …

Liste sans doute complète jusqu'à 3 000 000 (conjecture).

 

 

Propriétés – Florian Luca (2008)

Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont des nombres de Riesel. 

Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont des nombres de Sierpinski. 

 

There are infinitely many Fibonacci numbers which are Riesel numbers. We also show that there are infinitely many Fibonacci numbers which are Sierpiński numbers.

 

Nombres de Brier = Nombre Siepinski et Riesel à la fois

3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, …

 

 

 

Recherches – Sierpinski = Proth jamais premier

 

Recherche du plus petit

Pour savoir s'il existe un nombre de Sierpinski plus petit que 78 557, il faut tester tous les nombres inférieurs et chercher un contre-exemple:

pour k donné, trouver un n qui engendre un nombre premier

 

En 2002, il ne restait plus que les 17 nombres suivants à tester:

4847,   5359,  10223, 19249,  21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131,  46157, 54767, 55459, 65567, 67607 et 69109

En 2016, il en reste 5 inconnus:

10223,  21181, 22699, 24737, 55459, 67607.

En novembre 2016:

10 223 . 231172165 + 1 s'est placé dans le top ten des plus grand premiers connus.

En fin 2018, il reste quatre nombres:

21181, 22699, 24737, 55459, 67607.

 

Pour le deuxième Sierpinski: 271 129, en avril 2018:

Avec 193 997 . 211452891 + 1 découvert comme premier, il reste neuf nombres à tester dont deux communs avec le plus petit:

22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019

 

 

Recherche des nombres de Sierpinski

Exemple avec k = 12 909, il y a 81 nombres premiers jusqu'à n = 53 118.

 

Programme de recherche

La puissance de calcul à mettre en œuvre est phénoménale.

Durant l'année 2002, deux chercheurs américains lance un programme de mise en commun des ressources des PC des particuliers. Chacun mouline avec le même type de programme.

De cette façon, les nombres surlignés de brun ont déjà été éliminé comme étant non-Sierpinski.

En décembre 2002, le Belge Peter Coels trouve en particulier que

 

54 767 . 2 1 337 827  + 1 est premier

Nombre de 402 569 chiffres

 

Et, incidemment, ce nombre est parmi les plus grands premiers connus en fin 2002

il était le 7e lors de sa découverte

il est passé 8e en 2003

 

 

 

 SIERPINSKI

Waclaw

1882 – 1969

87 ans

Polonais

Mathématicien polonais

*    Théorie des nombres

*    Théorie des ensembles

*    Topologie

*    Nombres de Sierpinski

*    Fractales de Sierpinski

Père médecin.

1899: Département de Mathématiques et de Physique de l'université de Varsovie (en langue russe).

1904: Professeur de mathématiques et physiques.

1905 à 1908: Doctorat à l'université de Cracovie.

1908: Doctorat et professeur  à l'Université de Lvov.

Il publie énormément: 724 articles et 50 livres.

Il subit la guerre mondiale en Russie.

1916: il trouve le premier exemple de nombres normaux absolus
                (même fréquence des chiffres quelle que soit la base).

1919: professeur à Varsovie.

Il passe le reste de sa vie à Varsovie.

Il publie énormément: 724 articles et 50 livres.

Il reçoit d'innombrables récompenses et honneurs.

 

Short story

Waclaw Sierpinski, a first-rate Polish number cruncher, once thought he had lost one of six pieces of luggage after counting them several times: zero, one, two, three, four, five.

 

Voir Contemporains

 

 

 

 

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*         Conjecture de Goldbach

Voir

*    Waclaw Sierpinski – MacTutor - Biographie

*    Nombre de Sierpinski – Wikipédia

*    OEIS A076336 – Sierpiński numbers

*    OEIS A076335 – Brier numbers: numbers that are both Riesel and Sierpiński

*    Sierpinski number – The Prime Glossary

*    The Sierpiński Problem: Definition and Status Compiled by Wilfrid Keller – 2018

*    Sierpinski number – Revolvy Website

*    Infinité de Fibonacci qui sont Sierpinski** – Florian Luca  - 2008

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