NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 01/08/2014

 

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du Dictionnaire des nombres

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Nombres de Fermat

 

 


NOMBRES DE SIERPINSKI

 

Nombres formés avec des puissances de 2

qui ne sont curieusement jamais premiers

 

 

 

-Ý-  APPROCHE

Exploration des nombres

§  Prenons les puissances de 2 multipliées par un nombre k et ajoutons 1

N = k . 2n + 1

§  Cherchons si ces nombres sont premiers ou composés

 

 

 

k

n

N =

k . 2n + 1

 

1

1

3

Premier

1

2

5

Premier

1

3

9

 

1

4

17

Premier

1

5

33

 

1

6

65

 

1

7

129

 

1

8

257

Premier

1

9

513

 

1

10

1025

 

2

1

5

Premier

2

2

9

 

2

3

17

Premier

2

4

33

 

2

5

65

 

2

6

129

 

2

7

257

Premier

2

8

513

 

2

9

1025

 

2

10

2049

 

3

1

7

Premier

3

2

13

Premier

3

3

25

 

3

4

49

 

3

5

97

Premier

3

6

193

Premier

3

7

385

 

3

8

769

Premier

3

9

1537

 

3

10

3073

 

4

1

9

 

4

2

17

Premier

4

3

33

 

4

4

65

 

4

5

129

 

4

6

257

Premier

4

7

513

 

4

8

1025

 

4

9

2049

 

4

10

4097

 

5

1

11

Premier

5

2

21

 

5

3

41

Premier

5

4

81

 

5

5

161

 

5

6

321

 

5

7

641

Premier

5

8

1281

 

5

9

2561

 

5

10

5121

 

§  Nous constatons que pour chaque valeur de k, il existe rapidement une valeur de n donnant un nombre N premier

§  Pour chaque k, notons la première valeur de n  qui donne N premier

 

k

n

N =

k . 2n + 1

1

2

5

2

3

17

3

2

13

4

2

17

5

3

41

6

4

97

7

2

29

8

5

257

9

2

37

10

2

41

11

3

89

12

3

97

13

2

53

14

3

113

15

2

61

16

4

257

17

3

137

18

2

73

19

6

1217

20

5

641

21

4

337

22

2

89

23

9

11777

24

2

97

25

2

101

26

7

3329

27

2

109

28

2

113

29

3

233

30

3

241

31

8

7937

32

3

257

33

6

2113

34

2

137

35

3

281

36

4

577

37

2

149

38

5

1217

39

2

157

40

4

641

 

§  Pour tous les k successifs, il y a un N premier

§  Et, la valeur de n reste faible

§  et, pourtant…curieusement

§  Il existe des nombres k pour lesquelles le nombre N ne sera jamais premier

§  Il y en a même une infinité

 

 

Une idée de la croissance de n pour N premier

§  Cette fois, nous allons noter la valeur de n record

§  C'est-à-dire celle qui dépasse une valeur déjà obtenue

k

n

N = k . 2n + 1

1

2

5

2

3

17

6

4

97

8

5

257

19

6

1217

23

9

11777

41

11

83969

47

583

0,14879… 10178

383

6393

0,11694… 101928

 

§  Ce tableau montre que la valeur de n croit malgré assez rapidement

§  Et surtout, il donne une idée des calculs monstrueux à effectuer

 

 

 

-Ý-  NOMBRE de SIERPINSKI

Définition

k

Nombre k impair

tel que

k . 2n + 1

n'est jamais premier

§  Nombre de Sierpinski

 

Théorème de Sierpinski - 1960

Il existe une infinité d'entiers impairs k

pour lesquels

k . 2n + 1

n'est jamais premier,

quel que soit l'entier n supérieur à 1

There exist infinitely many odd integers k

such that k.2n + 1

is composite for every n > 1

 

Plus petit?

78 557

78 557 . 2n + 1

n'est jamais premier

§  Nombre de Sierpinski

§  Le plus petit connu

§  Conjecture: c'est le plus petit

§  1962: découvert par John Selfridge

 

271 129

271 129 . 2n + 1

n'est jamais premier

§  Nombre de Sierpinski

§  Le 2e plus petit connu

 

 

-Ý-  RECHERCHES

§  Pour savoir s'il existe un nombre de Sierpinski plus petit,

Ø  il faut tester tous les nombres inférieurs et

Ø  chercher un contre-exemple:

¨      pour k donné,

¨      trouver un n qui engendre un nombre premier

§  En 2002, il ne restait plus que les 17 nombres suivants à tester

¨      4847,   5359,  10223, 19249,  21181, 22699,
24737, 27653, 28433, 33661, 44131,  46157,
54767, 55459, 65567, 67607 et 69109

§  La puissance de calcul à mettre en œuvre est phénoménale

§  Durant l'année 2002, deux chercheurs américains lance un programme de mise en commun des ressources des PC des particuliers. Chacun mouline avec le même type de programme

§  De cette façon, les nombres surligné de brun ont déjà été éliminé comme étant non-Sierpinski

§  En décembre 2002, le Belge Peter Coels trouve en particulier que

 

54 767 . 2 1 337 827  + 1 est premier

Nombre de 402 569 chiffres

 

§  Et, incidemment, ce nombre est parmi les plus grands premiers connus en fin 2002

Ø  il était le 7e lors de sa découverte

Ø  il est passé 8e en 2003

 

 

 

 

-Ý-  SIERPINSKI

SIERPINSKI

Waclaw

1882 – 1969

87 ans

Polonais

§  Mathématicien polonais

Ø  Théorie des nombres

Ø  Théorie des ensembles

Ø  Topologie

§  Nombres de Sierpinski

§  Fractales de Sierpinski

§  Père médecin

§  1899: Département de Mathématiques et de Physique de l'université de Varsovie (en langue russe)

§  1904: Professeur de mathématiques et physiques

§  1905 à 1908: Doctorat à l'université de Cracovie

§  1908: Doctorat et professeur  à l'Université de Lvov

§  Il publie énormément: 724 articles et 50 livres

§  Il subit la guerre mondiale en Russie

§  1916: il trouve le premier exemple de nombres normaux absolus
                (même fréquence des chiffres quelle que soit la base)

§  1919: professeur à Varsovie

§  Il passe le reste de sa vie à Varsovie

§  Il publie énormément: 724 articles et 50 livres

§  Il reçoit d'innombrables récompenses et honneurs

Short story

§  Waclaw Sierpinski, a first-rate Polish number cruncher, once thought he had lost one of six pieces of luggage after counting them several times: zero, one, two, three, four, five.

Voir Contemporains

 

 

 


 

-Ý-

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§  NOMBRE 78 557

 

Voir

§  Type de nombres par ordre alphabétique

§  Les plus grands premiers

§  Nombres de Fermat

§  Conjecture de Golbach

 

Sites

§  A Remarkable Dearth of Primes - Ivar Petersons

§  The Sierpinski Problem: Definition and Status

§  BibM@ths - Actualités

 

Biographies

§  Waclaw Sierpinski - MacTutor

Recherches

§  Seventeen Or Bust - A Distributed Attack on the Sierpinski Problem

§  Robinson Primes and the Sierpinski Problem

§  Sierpinski's Problem to One Million

§  Internet-based Distributed Computing Projects -
      tous les projets de recherche par  appel aux calculateurs personnels