NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 29/09/2011

 

 

SOS je suis Débutant     

-Ý-    Rubrique: Nombres ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS

§  Présentation

§  Parfait

§  Presque parfait

§  Amiables

§  de 1 à 100

§  Démonstration

§  Unit. Parfait

§  Sublimes

 

Sommaire de cette page

 

>>> NOMBRE AMIABLES ET SOCIABLES

>>> HISTORIQUE

>>> LISTE DES NOMBRES AMIABLES À 5 CHIFFRES

>>> PROPRIÉTÉS

>>> CRITÈRE DE THABIT

>>> CONSTRUCTION

>>> TRIPLET AMIABLES

 

>>> NOMBRES SOCIABLES OU CHAÎNES AMIABLES

>>> ILLUSTRATION DES DÉFINITIONS: AMIABLE & SOCIABLE

>>> HISTORIQUE ET RECORDS

>>> CHAÎNE ALIQUOTE

 

>>> ENGLISH CORNER

 

Pages voisines

 

§  Nombres économes, équidistants et prodigues 

§  Théorie des nombres

§  Calcul mental

§  Géométrie

 

 

 

    Nombres AMICAUX    ou Amiables

& Nombres SOCIABLES ou Chaîne Amiable

 

 

Sortes de nombres parfaits mutuels

Il sont très rares

On en connaît une centaine seulement

Anglais: Amicable numbers, sociable numbers

 

 

 

 

-Ý - NOMBRE AMIABLES ET SOCIABLES

 

Chaque nombre est la somme

des diviseurs propres de l'autre

Les nombres amiables et sociables sont

une généralisation de la notion de nombres parfaits.

  

Exemple

Paires

220

284

Diviseurs propres

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110

1, 2, 4, 71 et 142

Somme des diviseurs

284

220

 

220 et 284 forment la première paire amiable

 

On note

Paires

220

284

Diviseurs propres

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110

1, 2, 4, 71 et 142

Somme des diviseurs

284

220

Y compris le nombre

+ 220

+ 284

Somme

504

504

 

Définition alternative des nombres amicaux

La somme de (tous) leurs diviseurs  est la même

 

 

 

 

-Ý -  HISTORIQUE

 

Les nombres amiables ont une longue histoire en magie et astrologie,

aphrodisiaques et talismans…

 

Pour se prouvez notre amour: tu manges 220 bonbons et moi 284 !

Il existe des légendes tournant autour de ce thème

Une vielle coutume de numérologiste arabe consistait à inscrire 220 sur une fruit et 284 sur l'autre. Je mange l'un et je donne l'autre à manger à l'être aimé.

 

Ce nombre se trouve dans la Bible:

Nombre de chèvres offertes par Jacob à Esaü, cadeau amiable?

(20 mâles et 200 femelles)

 

 

Pythagore

connaissait ce couple de nombres. Il aurait dit:

"Un ami est celui qui est l'autre comme sont 220 & 284"

 

 Au Moyen - Âge,

ces deux nombres étaient signe d'amour et jouaient un grand rôle dans les horoscopes.

 

Fermat

Un nouveau couple de nombres amiables n'a été trouvé qu'en 1636 par Pierre de Fermat:

17 296 & 18 416 dit couple de Fermat

Il avait été découvert par Al-Farisi (1260-1320) 

 

Descartes

Descartes découvre une nouvelle paire en 1638

9 363 584 & 9 437 056 dit couple de Descartes

Il avait été découvert par Al-Yazdi vers 1500 

 

 

Euler

Il donne une liste de 64 paires amiables (avec 2 erreurs)

 

 

Nicolo Paganini

Mais curieusement, le vrai numéro 2 a attendu 1867 pour être déniché par un jeune Italien de 16 ans.

1184 & 1210

 

Aujourd'hui

Toutes les paires jusqu'à 10 chiffres sont connues

et quelques autres à plus de chiffres (au total plus de 7500)

 

 

 

 

 

-Ý - LISTE DES NOMBRES AMIABLES jusqu'à 5 CHIFFRES

 

  Rang

N1

N2

1

220

284

2

1 184

1 210

3

2 620

2 924

4

5 020

5 564

5

6 232

6 368

6

10 744

10 856

7

12 285

14 595

8

17 296

18 416

9

63 020

76 084

10

66 928

66 992

11

67 095

71 145

12

69 615

87 633

13

79 750

88 730

 

 Autres

1 175 265 & 1 438 983

9 437 056 & 9 363 584

Premier couple impair connu

Descartes

 

Listes  de nombres amiables, voir

§  Sites

 

 

 

-Ý - PROPRIÉTÉS

 

§  On ne sait pas s'il y a un nombre infini de paires amicales

§  On connaît 42 couples inférieurs à 10 000 000.

§  On connaît plus de 1000 paires amiables dont le plus petit nombre est inférieur à un million.

§  La plus grande connue comporte des nombres de 152 chiffres chacun:

34 x 5 x 11 x 5 28119 x 29 x 89 ( 2 x 1 291 x 5 28119 -1)

34 x 5 x 11 x 5 28119 x 29 x 89 ( 23 x 33 x 1 291 x 5 28119 -1)

 

§  Les nombres amiables connus ont la même parité, le plus souvent paire.

§  On ne sait pas s'il existe des paires mixtes, s'ils sont en nombre infini, et il n'existe pas de formules pour les former.

§  On sait former des paires amiables mères ou filles à partir d'une paire primitive.

§  Ce qui pourrait suggérer que les paires amiables sont en nombre infini.

 

§  Il semble que le quotient de deux nombres amiables tende vers 1.

§  Le plus grand élément d'une paire amiable est déficient

§  Deux nombres pairs amiables ne peuvent ni l'un ni l'autre être divisibles par 3

§  Le produit d'une paire mixte (pair - impair) serait supérieur à 1067 et divisible par 15

§  Dans chaque couple connu impair - impair, les deux nombres sont des multiples de 3. Il a été conjecturé que c'est une règle générale

§  Dans presque tous les couples connus pair - pair, la somme des deux nombres est divisible par 9.

 

§  Il n'y a pas de formule pour calculer toutes les paires amiables

 

 

 

-Ý - CRITÈRE DE THABIT

 

On connaît des formules pour certaines paires particulières: 

 

Si n > 1 et si les nombres suivants

p = 3.2n-1-1

q = 3.2n-1

r = 9.22n-1-1

sont premiers,

 

alors 2npq et 2nr

forment une paire amiable.

Thabit ibn Kurrah (850)

Autre source me donne: Thabet ben Korrah (950)

Mathématicien et astronome arabe

 

 

Autre manière de le formuler

Si:

Alors:

a = 3 x 2n - 1

N = 2n . a . b

b = 3 x 2n-1 - 1

M = 2n . c

c = 9 x 22n-1 - 1

 

sont premiers

seront amiables

 

 

Résultats

Seules valeurs valables < 20 000

n = 2

220 & 284

Pythagore

n = 4

17 296 & 18 416

Ibn al-Banna (XIVe)

n = 7

9 363 584 & 9 437 056

Muhammad Baquir Yazdi (XVIIe)

 

Exemple pour n= 2

a = 3 x 22 - 1 = 11

N = 22 . 5 . 11 = 220

b = 3 x 21 - 1 = 5

M = 22 . 71 = 284

c = 9 x 23 - 1 = 71

 

 

§  Il faut reconnaître que ce critère n'est que très peu productif.

§  Il a été établi par un brillant mathématicien musulman: Thabit ibn Qurra.

§  Fermat (1636) redécouvrit ce critère et la paire pour n = 4, de même que Descartes avec la paire pour n = 7

§  Euler fut le premier mathématicien à explorer et à découvrir de nombreux nombres amiables (plus de 60).

 

 

-Ý - CONSTRUCTION

 

Méthode "recette de cuisine" (basée sur la formule de Thabit)

Le premier nombre parfait et ses doubles

6    12    24    48    96    192 …

Les prendre par paire

   et indiquer leur produit

6  12     12  24     24  48     48  96     96  192

  72         288         1152       4608      18432

Faire – 1 sur tous les nombres

5  11     11  23     23  47     47  95     95  191

  71         287         1151       4607      18431

Indiquer le rang à partir de 4, et le doublant

5  11     11  23     23  47     47  95     95  191

  71         287         1151       4607      18431

  4              8            16             32            64

Ne retenir que ceux pour lesquels les trois nombres sont premiers

5  11     11  23     23  47     47  95     95  191

  71         287         1151       4607      18431

  4              8            16             32            64

Multiplier les deux nombres du haut

55            1081

71            1151

 4               16

Multiplier les deux du haut par celui du bas

C'est fini! Nous avons nos paires amiables

220            17 296           9 363 584

284            18 416           9 437 056

Méthode laborieuse pour peu de résultats; que ces trois paires jusqu'au rang 20 000 (au moins)

D'après Mystères des chiffres de Marc-Alain Ouaknin

 

 

 

 

-Ý - TRIPLET AMIABLES

 

Les diviseurs propres de l'un des termes

s'ajoutent pour former

la somme des deux autres.

 

 

 

-Ý - NOMBRES SOCIABLES OU CHAÎNES AMIABLES

 

§  Dan une paire amiable, le nombre n est suivi d'un nombre m dont la somme des diviseurs est n

§  On peut allonger la boucle

somme des diviseurs,

nouveau nombre,

somme de ses diviseurs,

etc.

et tenter de retrouver le nombre initial après n étapes.

§  Si c'est le cas, le nombre de départ est dit " sociable d'ordre n ".

 

§  Les deux premiers ont été découverts par P. Poulet, mathématicien français, en 1918.

 

Ordre 5

12 496

14 288

15 472

14 536

14 264

 

Ordre 28

 

 

 

 

14 316

19 116

31 704

47 616

83 328

177 792

295 488

627 072

589 786

294 896

358 336

418 904

366 556

274 924

275 444

243 760

376 736

318 028

285 778

152 990

122 410

97 946

48 976

45 946

22 976

22 744

19 916

17 716

 

 

 

§  En 1969, Henri Cohen, Paris, en découvre 7 d'ordre 4

 

 

 

12 496

= 24 x 11 x 71

Chaîne amiable de longueur 5 - Poulet 1918

 

 

N

Diviseurs

Somme*

12 496

1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 284, 176, 568, 781, 1136, 1562, 3124, 6248

14 288

14 288

1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 893, 304, 188, 376, 752, 1786, 3572, 7144

15 472

15 472

1, 2, 4, 8, 16, 967, 1934, 3868, 7736

14 536

14 536

1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 1817, 184, 316, 632, 3634, 7268

14 264

14 264

1, 2, 4, 8, 1783, 3566, 7132

12 496

* Il s'agit de la somme des diviseurs, le nombre excepté

 

 

 

 

14 316

= 2² x 3 x 1193

14 316

Chaîne amiable de longueur 28 - Poulet 1918

 

Suite des sommes des diviseurs :

14316

19116

31704

47616

83328

177792

295488

629072

589786

294896

358336

418904

366556

274924

275444

243760

376736

381028

285778

152990

122410

97946

48976

45946

22976

22744

19916

17716

14316

 

 

Somme des diviseurs de 14316 = 19316 ; Somme des diviseurs de 19316 = 31704 ; etc.

Jusqu'en 1969, on ne connaissait que 2 chaînes : 14 316 et 12 496

Henri Cohen a trouvé 7 chaînes à 4 itérations en explorant les nombres jusqu'à 60 millions.

D'autres ont été trouvées depuis.

On ignore s'il existe des chaînes de longueur quelconque.

On n'a jamais trouvé de chaînes de longueur 3.

On ne connaît pas de chaîne supérieure à 28.

 

-Ý - ILLUSTRATION DES DÉFINITIONS: AMIABLE & SOCIABLE

 

N1

 

 

S d

 

Si S1 = N1

=> N1 est parfait

S1

 

 

S d

 

Si S2 = N1

=> N1 et S1 sont amiables (paires amiables)

S2

 

 

S d

 

Si S3 = N1

=> N1 est sociable d'ordre 3 (chaîne amiables d'ordre 3)

S3

 

 

-Ý - HISTORIQUE ET RECORDS

 

Ordre

Type

Remarques

1

Parfait

Antiquité / Euclide

2

Amiable

Bible / Fermat

3

Sociable

Aucun trouvé d'ordre 3

4

''

Trouvés au XXe siècle

5

''

La première trouvée - 1918

28

''

La plus longue trouvée

 

Point des connaissances en 2000

Ordre

Quantité

2

une centaine de nombres amiables

3

Aucun nombre sociable d'ordre 3

4

7, au moins

5

1, au moins

Etc.

 

 

Aucun sociable inférieur à 10 000

Les dix premiers connus

12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744

 

 

  

-Ý - CHAÎNE ALIQUOTE

 

Définition

Chaîne aliquote

Suite formée de la somme des diviseurs d'un nombre,

puis la somme des diviseurs du nouveau nombre,

etc.

 

Suite en

§  Suite aliquote

 

 

 

English corner

 

Amicable number

 

§  The number n is amicable if it belongs to an amicable pair.

§  Two numbers n and m are called an amicable pair if the sum of all positive divisors of n is equal to the sum of all positive divisors of m and both are equal to n + m.

Sociable numbers

 

§  An aliquot sequence is formed by taking an integer, adding all of its divisors other than itself, and then repeating this process with the sum.

§  The numbers for which this process returns to the starting point after more than two steps are called sociable numbers.

 

 

 

 

Suite

*          Nombres parfaits

*          Couples de nombres en puissance

Sites

*          Known amicable numbers – Liste

*          Perfect, amicable and sociable numbers