NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 30/10/2010
Débutants Nombres Premiers	Nombres PREMIERS				Glossaire Nombres Premiers
	PROPRIÉTÉS
Index des pages NOMBRES PREMIERS >>> INDEX		Propriétés	Infinité	Un
		Théorème des nombres premiers		Curiosités
		Sommaire de cette page >>> Propriétés fondamentales >>> Propriétés liées aux chiffres >>> Propriétés fonctionnelles >>> Questions ouvertes >>> Majorant des nombres premiers

---

PROPRIÉTÉS

des NOMBRES PREMIERS

Quelques propriétés typiques des nombres premiers

PROPRIÉTÉS fondamentales
Il n'existe pas de formule algébrique pour représenter un nombre premier. Il existe une infinité de nombres premiers. La factorisation d'un nombre en facteurs premiers est unique. Si un nombre premier divise un produit a.b, il divise a ou b.

Propriétés liées aux chiffres
0	Ne termine aucun nombre premier.
1	N’est pas premier, par définition. (facilite l’énoncé de certaines propriétés)
2	Est le seul nombre premier pair.
5	Est le seul nombre premier qui se termine par 5
1, 3, 7, 9	Tous les nombres premiers se terminent par l’un de ces 4 chiffres (sauf 2 et 5).
4	Tous les nombres premiers 1 sont divisibles par 4 (sauf 2 et 3).
6	Tous les nombres premiers 1 sont divisibles par 6 (sauf 2 et 3).
1, 9	Tous les carrés d'un nombre premier (>5) se terminent par 1 ou 9.

Propriétés fonctionnelles
Caractérisation du nombre premier
Nombre qui est seulement divisible par un ou par lui-même. Nombre dont l'indicateur d'Euler est égal au nombre moins un.

Valeur

Le nième nombre premier vaut approximativement n log n.

Hadamard et La Vallée-Poussin en 1896

Le nombre premier p de rang k est inférieur à 2k à partir du rang 2

>>>

Parmi tous les nombres formés d'une suite alternée de 1 et 0, seul 101 est premier.

Parité et puissances

Le produit de 2 nombres premiers n’est jamais un carré (sauf 2x2).

Tous nombre pair (>2) est la somme de 2 nombres premiers.

Conjecture de Goldbach

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.

Fermat, démontré par Euler

Quantité de premiers

Il y a une infinité de nombres premiers.

Démonstration d'Euclide

Il y a une infinité de nombres premiers de la forme kp + q, avec p et q premiers entre eux.

Théorème de Lejeune-Dirichlet

Enter n et n!+1, il existe au moins un nombre premier.

Entre n et n!!+1, il existe au moins un nombre premier.

Démonstration

Entre n et 2.n, il existe toujours un nombre premier.

Théorème de Bertrand démontré par Tchebitcheff

La suite d'entiers a, a+b, a+2b, a+3b, …avec a et b premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers.

Théorème de Dirichlet

On peut aussi trouver une suite de nombre aussi grande que l'on veut (x) sans nombre premier. Il faut alors qu'elle commence par un nombre suffisamment grand pour ne pas contenir n et 2n ( => n > x).

On ne sait pas dire s'il existe un premier entre n² et (n+1)².

On ne sait pas s'il existe une infinité de premiers de la forme n²+1.

Primalité

Si n résiste à tout essai de division par les entiers inférieurs ou égaux à racine de n, il est premier.

Les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers comme le pensait Fermat.

Un nombre n et un premier p, alors n^p - n est divisible par p.

Petit théorème de Fermat

Si p est premier, alors (p-1)! + 1 est divisible par p.

Théorème de Wilson

Suites et fonctions

La somme des inverses des nombres premiers est divergente

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+… tend vers l'infini.

Euler, démontré en 1737 - Voir Série harmonique

La somme des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente

1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + ... = 1,902...

Identité d'Euler reliant les nombres entiers aux nombres premiers

Identité d'Euler

0, 77 31 56 66 9 … =

p indiquant somme sur tous les nombres premiers existant de 2 à l'infini

QUESTIONS OUVERTES concernant les nombres premiers
Premiers jumeaux.	En nombre infini ?
Tout nombre pair est la somme de 2 premiers: conjecture de Goldbach.	?
Premier de la forme n² + 1.	En nombre infini ?
Au moins un premier entre n² et (n+1)².	Vrai ?
Premier de Fermat.	En nombre infini ?
Premier de Fermat: en existe-t-il un seul après le quatrième.	?
Progression arithmétique entre premiers: la plus longue connue comporte 10 nombres.	Longueur infinie ?
Progression arithmétique de 3 premiers consécutifs (si non consécutif, la série est infinie).	En nombre infini ?
Premier de la forme n² – n + 41.	En nombre infini ?
Premier de la forme n² – 79n + 1601.	En nombre infini ?
Premier de la forme n ! 1.	En nombre infini ?
Premier de la forme n# – 1 (primoriel n).	En nombre infini ?
Nombre de Fibonacci contient des premiers.	En nombre infini ?
Si p est premier : 2^p – 1 est divisible par le carré d'un nombre premier.	Toujours ?

MAJORANT
Affirmation Le nombre premier p de rang k est inférieur à 2^k à partir du rang 2. Démonstration par induction
Pour k = 2, C'est vrai.	3 < 2^2
Supposons la formule vraie pour n L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.	pk < 2^k pk+1 < 2^k+1 ?
Or, le théorème de Bertrand affirme qu'il existe toujours un nombre premier entre =>	pk et 2pk
Ce qui veut dire que le prochain premier après pk	pk+1 < 2pk
En cascade	pk+1 < 2pk < 2 x 2^k = 2^k+1
Exemples	5 < 2^3 = 8 7 < 2^4 = 16 11 < 2^5 = 32

---

Suite	Infinité de nombres premiers Nombres premiers – Index
Voir	Théorie des nombres Théorèmes sur les nombres premiers