NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

Premiers

Généralités

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Introduction

Barre magique

Propriétés

Infinité

Théorème des nombres premiers

Curiosités

Un

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés fondamentales

>>> Propriétés liées aux chiffres

>>> Propriétés fonctionnelles

>>> Questions ouvertes

>>> Majorant des nombres premiers

>>>  Préférence des nombres premiers

 

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

des NOMBRES PREMIERS

 

Quelques propriétés typiques des nombres premiers.

 

Devinette

Pouvez-vous trouver tous les nombres premiers p

tels que 5p + 1 soit un carré?

Solution

 

 

 

PROPRIÉTÉS fondamentales

 

*      Il n'existe pas de formule algébrique pour représenter un nombre premier.

 

*      Il existe une infinité de nombres premiers.

 

*      La factorisation d'un nombre en facteurs premiers est unique.

 

*      Si un nombre premier divise un produit a.b, il divise a ou b.

 

 

 

Propriétés liées aux chiffres

0

*      Ne termine aucun nombre premier.

1

*      N’est pas premier, par définition.

(facilite l’énoncé de certaines propriétés)

2

*      Est le seul nombre premier pair.

5

*      Est le seul nombre premier qui se termine par 5

1, 3, 7, 9

*      Tous les nombres premiers se terminent par l’un de ces 4 chiffres (sauf 2 et 5).

4

*      Tous les nombres premiers  1 sont divisibles par 4 (sauf 2 et 3).

6

*      Tous les nombres premiers  1 sont divisibles par 6 (sauf 2 et 3).

1, 9

*      Tous les carrés d'un nombre premier (>5) se terminent par 1 ou 9.

 

 

Propriétés fonctionnelles

Caractérisation du nombre premier

*       Nombre qui est seulement divisible par un ou par lui-même.

*       Nombre dont l'indicateur d'Euler est égal au nombre moins un.

 

Valeur

*        Le nième nombre premier vaut approximativement n log n.

Hadamard et La Vallée-Poussin en 1896

 

*       Le nombre premier p de rang k est inférieur à 2k à partir du rang 2

>>>

*       Parmi tous les nombres formés d'une suite alternée de 1 et 0, seul 101 est premier.

 

Parité et puissances

*       Le produit de deux nombres premiers distincts n’est jamais un carré.

En effet: le produit de deux nombres premiers distincts ne peut pas être factorisé comme produit de deux facteurs identiques.

Voir P x P' non C²

 

 

*       Tous nombre pair (>2) est la somme de 2 nombres premiers.

Conjecture de Goldbach

*       Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.

Fermat, démontré par Euler

 

Quantité de premiers

*       Il y a une infinité de nombres premiers.

Démonstration d'Euclide

 

*       Il y a une infinité de nombres premiers de la forme kp + q, avec p et q premiers entre eux.

Théorème de Lejeune-Dirichlet

 

*       Entre n et n!! + 1, il existe au moins un nombre premier.

Démonstration

 

*       Entre n et 2.n, il existe toujours un nombre premier.

Postulat de Bertrand (1845) démontré par Tchebychev (1852)

Démonstrations plus simples par Ramanujan puis par Paul Erdös (1932)

 

Voir Belle application avec les factorielles

 

 

*        Entre n² et (n + 1)², il existe toujours un nombre premier;  ils sont même d'autant plus nombreux que n est grand.
Ex: entre 10² et 11², il y en a 5; entre 100² et 101², il y en a 23.

Conjecture de Legendre.
Chen a démontré que c'est vrai pour un premier ou un semi-premier (1975).

Démontré: il existe un premier entre n23/42 – n  

 

*       La suite d'entiers a, a+b, a+2b, a+3b, …avec a et b premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers.

Théorème de Dirichlet

 

*       On peut aussi trouver une suite de nombre aussi grande que l'on veut (x) sans nombre premier. Il faut alors qu'elle commence par un nombre suffisamment grand pour ne pas contenir n et 2n ( => n > x).

 

*       On ne sait pas dire s'il existe un premier entre et (n+1)².

 

 

*       On ne sait pas s'il existe une infinité de premiers de la forme n²+1.

 

Primalité

*       Si n résiste à tout essai de division par les entiers inférieurs ou égaux à racine de n, il est premier.

*       Les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers comme le pensait Fermat.

*       Un nombre n et un premier p, alors np - n est divisible par p.

Petit théorème de Fermat

 

*       Si p est premier, alors (p-1)! + 1 est divisible par p.

Théorème de Wilson

 

Suites et fonctions

*       La somme des inverses des nombres premiers est divergente

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+… tend vers l'infini.

Euler, démontré en 1737  - Voir Série harmonique

 

*       La somme des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente

1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + ... = 1,902...

 

*       Identité d'Euler reliant les nombres entiers aux nombres premiers

Identité d'Euler

 

*       0, 77 31 56 66 9 … =

p indiquant somme sur tous les nombres premiers existant de 2 à l'infini

 

Préférence des nombres premiers

Un nombre premier "n'aime" pas être suivi par un autre ayant la même unité.

*       Soit P et son successeur Q. Le nombre P aurait des préférences pour ne pas choisir la même unité pour le nombre Q.

Propriété découverte et démontrée par Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver (Stanford University) – 2016.

Anglais: last digits of nearby primes have ‘anti-sameness’ bias.

*       Cette propriété contredit l'idée que les nombres premiers se comporteraient au hasard, avec la même probabilité de rencontrer un chiffre unité ou un autre (en fait seulement: 1, 3, 7 et 9, hors les nombres 2 et 5).

*       Les observations ont été faites en base 3 pour laquelle les nombres premiers se terminent pratiquement moitié-moitié par 1 et 2. Or, déjà pour n < 1000:

Un nombre se terminant par 1 aura deux fois plus de chances d’être suivi par un premier se terminant par 2 plutôt que par 1. De même, un premier se terminant par 2 préfère être suivi par un premier se terminant par 1.

 

Exemple pour les premiers de 1000 à 1200

L'amplitude des oscillations témoignent de la répulsion entre premiers de même unité. En rouge, les premiers amis d'unités.

*       L'observation ne s'arrête pas là. Pourquoi un premier en 3 préfère un premier en 9, plutôt qu'en 1 ou 7?

Nos deux mathématiciens ont exploité un modèle de production statistique des nombres premiers basé sur le fait que:

La densité de nombres premiers autour d'un nombre quelconque est inversement proportionnelle au nombre de chiffres pour écrire le nombre.

En 1936, Harald Cramer mit au point avec succès un tel modèle qui fut perfectionné ultérieurement. Cependant un tel modèle ne créé aucune préférence pour le choix de l'unité.

*       Soundararajan et Oliver améliore encore le modèle en mettant en jeu la conjecture des premiers k-tuples.

Conjecture émise par G. H. Hardy and J. E. Littlewood en 1923 qui donne une estimation de la quantité de fois qu'une constellation de premiers se produit, généralisation de la conjecture des premiers jumeaux.

Les deux mathématiciens y ont trouvé un air de similitude, le même biais.

 

 

 

Exemples selon mes calculs.

17% (ou 17,7%) des nombres premiers terminés par 1 sont suivis par un autre premier terminé lui aussi par 1. À peu près la même chose pour 3, 7 et 9 (diagonale en jaune).

Conclusion: moins  de 20¨% des premiers sont suivis d'un premier de même unité.

Sur ce graphique, en bleu les préférence pour chaque chiffre-unité.

 

  Pour n de 7 à 10 milions

 

 

  Pour n de 1 à 100 milions

Source: Mathematicians Discover Prime Conspiracy – Erica Klarreich – 13/04/2016 – Quanta Magazine

 

 

 

QUESTIONS OUVERTES

         concernant les nombres premiers

*       Premiers jumeaux (1849).

En nombre infini ?

*       Tout nombre pair est la somme de 2 premiers: conjecture de Goldbach (1742).

?

*       Premier de la forme n² + 1.

En nombre infini ?

*       Au moins un premier entre n² et (n+1)².

Vrai ?

*       Premier de Fermat (1859).

En nombre infini ?

*       Premier de Fermat: en existe-t-il un seul après le quatrième.

?

*       Progression arithmétique entre premiers: la plus longue connue comporte 10 nombres.

Longueur infinie ?

*       Progression arithmétique de 3 premiers consécutifs (si non consécutif, la série est infinie).

En nombre infini ?

*       Premiers de la forme n² + 1 (Landau, 1912)

En nombre infini ?

*       Premier de la forme n² – n + 41.

En nombre infini ?

*       Premier de la forme n² – 79n + 1601.

En nombre infini ?

*       Premier de la forme n !  1.

En nombre infini ?

*       Premier de la forme n# – 1 (primoriel n).

En nombre infini ?

*       Nombre de Fibonacci contient des premiers.

En nombre infini ?

*       Si p est premier : 2p – 1 est divisible par le carré d'un nombre premier.

Toujours ?

*       Hypothèse de Riemann (1859)

*       Conjectures de Polignac

 

 

MAJORANT

Affirmation

 

Le nombre premier p de rang k

est inférieur à 2k à partir du rang 2.

 

Démonstration par induction

*      Pour k = 2,

C'est vrai.

3 < 22

*      Supposons la formule vraie pour n

L'est-elle pour n + 1?

Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.

pk < 2k

 

pk+1 < 2k+1 ?

*      Or, le théorème de Bertrand affirme qu'il existe toujours un nombre premier entre =>

pk et 2pk

*      Ce qui veut dire que le prochain premier après pk

pk+1 < 2pk 

*      En cascade

pk+1 < 2pk < 2 x 2k = 2k+1

 

Exemples

  5 < 23 =   8

  7 < 24 = 16

11 < 25 = 32

 

 

 

Devinette – Solution

Pouvez-vous trouver tous les nombres premiers p tels que 5p + 1  soit un carré?

Réponse

5p + 1 = m² = (n + 1)²

Forme utilisée pour conserver le  "+ 1" de la gauche. 

5p + 1 = n² + 2n + 1

5p = n (n + 2)

À gauche un produit de deux nombres premiers, ce que l'on doit retrouver à droite. Deux possibilités:

n = 5 alors n + 2 = p = 7 => 5p + 1 = 36 = 6²

n + 2 = 5 alors n = p = 3 => 5p + 1 =   9 = 3²

Retour

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Théorèmes sur les nombres premiers

Site

*    Visualizing The Distribution Of primes Numbers – Pulchritudinous Primes – Pour les images étonnates

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