NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

Records

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Plus grands connus

Records

Jumeaux

Mersenne

Sophie-Germain

Woodall

 

Sommaire de cette page

>>> Quel record ?

>>> Nombres premiers les plus grands connus

>>> Passage des puissances 2 aux puissances 10

 

 

 

 

  

NOMBRES PREMIERS RECORDS

 

La traque du nombre premier le plus grand connu

 

Les nombres premiers sont les objets les plus fantasques étudiés par les mathématiciens.

Ils poussent comme des mauvaises herbes au milieu du champ des nombres entiers, comme si le hasard était leur seule loi.

Personne ne peut prévoir où se trouve le suivant.

Ils obéissent pourtant à une fantastique régularité.

Ils apparaissent en fonction de lois précises auxquelles ils se conforment avec une discipline militaire.

Allusion au théorème des nombres premiers donnant la quantité de nombres premiers inférieurs à n

Opinion de Don Ziegler sur les nombres premiers

 

 Anglais: The largest known primes  

(Plus approprié ici que  record qui veut dire enregistrement, rapport,

et aussi, c'est vrai, record comme record de vitesse: speed record)

 

 

Quel record ?

haut

 

Le record entendu habituellement est celui du plus grand nombres premier connu; celui qui a le plus de chiffres.

Attention, cela ne veut pas dire que nous les connaissions tous jusqu'à cette valeur. Loin de là. Alors, deux autres questions se posent:

*      Combien connaissons-nous de nombres premiers actuellement ?

*      Jusqu'où connaissons-nous tous les nombres premiers sans qu'il en manque 1 ?

Figurez-vous que, des nombres premiers, il en existe plus de 10998 avec 1000 chiffres. Ceux là sont impossibles à énumérer. Comparez: l'âge de l'Univers est seulement" de 4,35 1017 secondes. Conséquence si vous trouvez un nombre premier avec mille chiffres, vous êtes sans doute le premier à le trouver. Il est donc impossible de dire combien de nombres premiers sont connus à l'heure actuelle.

 

Quant à énumérer tous les premiers successifs le plus loin possible: en fait, il est plus facile de les calculer que de les mémoriser et, de  toute façon, ce serait un gâchis de mémoire.  En 2021, Chris Caldwell (The PrimePages) indique que la liste connues (non mémorisée) s'étend à 1018.

 

Une autre question proche: quelle est le plus petit nombre tels qu'on ne sait pas dire s'il est premier ou non ? Avec les ordinateurs actuels, la réponse est que si vous connaissez cette limite, il suffirait de faire tourner un programme pour connaitre les nombres premiers suivants.

 

SUITE en Les plus grands connus ou accessibles / Voir Brève 47-935

 

 

Explications à propos du record de janvier 2013

 

Ce nombre est composé de plus de 17 millions de chiffres et remplirait près de 20 livres de 500 pages environ.

La plupart des nombres entiers peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers strictement supérieurs à 1, comme par exemple 10 = 2 x 5. Ce n'est pas le cas des nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, etc.

 

*      Ils sont dits premiers car ce sont une sorte de briques de construction des nombres: tout nombre se décompose en un produit de nombres premiers et cela – oui! -  d'une seule façon (111 =3 x 37 et c'est tout!).

*       Deuxième propriété: plus les nombres sont grands et plus les diviseurs premiers sont difficiles à trouver. D'où leur utilisation en cryptographie.

 

Tout comme les nombres, les nombres premiers sont en quantité infinie. Quel est le plus grand? Un défi que certains cherchent à relever.

Le nouveau record de Curtis Cooper (Missouri) comporte 17 425 170 chiffres (fichier de 22 Mo, 4000 feuilles A4, 39 jours d'ordinateur pour le trouver) à comparer à moins de 100 chiffres pour donner la quantité de particules dans l'Univers. Ce nombre premier record fait sans doute partie de la famille des premiers de Mersenne. sa forme est du type 2p – 1 (une puissance de 2 diminuée de 1). Confirmation de la primalité de ce nombre par trois preuves indépendantes réalisées par des chercheurs différents, sur des machines différentes, avec des algorithmes différents.

Un prix de 250 000$ est offert pour la découverte d'un nombre premier à 1 milliard de chiffres.

D'après Le Figaro 06/02/2013

 

M50  trouvé le 26 décembre 2017

par Johanna Pace du Tennessee (GIMPS- G15)

4673331833 5923109998 8335585561 1155212513 2110281771 4495798582 3385935679 2348052117 7207484311 0997402088 4962136809 0038049317

...  23 249 185 chiffres non exprimés ...

2853760045 1878605540 2223376672 9256792821 3196546734 3395945397 3704763692 7989462799 9939614659 2173711365 8273061806 9762179071

ll faudrait donc plus de 9 000 pages, soit une étagère de 40 livres de 225 pages chacun, pour le représenter

 

 

RECORD toutes catégories

Record

Quantité de chiffres

Type

Découverte

2 82 589 933 – 1

24 862 048

M51?

12 / 2018

2 77 239 917 – 1

23 249 425

M50?

12 / 2017

2 74 207 281 – 1

22 338 618

M49?

1 / 2016

2 57 885 161 – 1

17 425 170

M48?

1 / 2013

2 43 112 609 – 1

12 978 189

M47

8 / 2008

2 42 643 801 – 1

12 837 064

M46

4 / 2009

2 37 156 667 – 1

11 185 272

M45

9 / 2008

2 32 582 657 – 1

9 808 358

M44

9 / 2006

10 223 x 2311721165 + 1

9 383 358

Proth

2016

2 30 402 457 – 1

9 152 052

M43

2005

2 25 964 951 – 1

7 816 230

M42

2005

2 24 036 583 – 1 

7 235 733

M41

2004

2 20 996 011 – 1 

6 320 430

M40

2003

1 059 0941 048 576 + 1

6 317 602

Fermat G

2018

9194441048576 + 1

5 832 522

Fermat G

2017

168 451 x 219 375 200 + 1

5 832 522

2017

Phi(3, –123 447524 288)

5 338 805

2017

8508301 x 217 016 603 – 1

5 122 515

Woodall

2018

Phi(3, –143 332393 216)

4 055 114

2017

2 13 466 917 – 1

4 053 946

M39

2001

19 249 x 2 13 018 586 + 1

3 918 990

2007

 

Tous les plus grands sont des nombres de Mersenne.

Le plus grand nombre premier non Mersenne arrive au 9e rang. C'est un nombre de Proth

 

Méga costauds!

Ils sont     Titaniques   >        1 000 chiffres

et plus, ils sont Méga   > 1 000 000 chiffres

 

En janvier 2016, nous connaissons 149 méga premiers.

 

Attention!

Il existe peut-être des millions de nombres premiers non - connus situés entre ceux cités.

 

Liens

 

*    Vérifier les nouveautés sur le site de Chris Caldwell

 

*    Principe de la recherche des nombres premiers

*    Recherche: historique

*    Records des calculs

·        à la main

·        avec l'aide d'un ordinateur

·        records actuels

 

 

 

 

 

 

Passage des puissances 2 aux puissances 10

 

L'estimation du nombre de chiffres en décimal passe par le log base 10 de 2.

log base 10 de   2 =   0,3010299957…

log base 10 de 10 =  1

 

En effet, en faisant un petit détour par les logarithmes:

 

   2k en log donne => log ( 2k) = k . log (2)

10p en log donne => log (10p) = p . log (10) = p

 

On cherche la relation entre p et k lorsque 2k = 10p, soit, en égalisant les deux relations ci-dessus:

 

p = k . log (2) = 0,30103 k

Le nombre de chiffres pour écrire ce nombre est égal à

partie entière de p + 1.

 

Exemple avec 210 = 1 024,  k = 10,  quelle est la valeur de p?

p = 10 x 0,301 = 3,01 => 210 = 103,01 soit un peu plus de mille.

Mille s'écrit avec 4 zéros, en fait 3 + 1.

 

Application pour le record de 8/2008:

 43 112 609 x 0,3010299957…

= 12 978 188,5 soit 12 978 189 chiffres.

 

 

 

 

 

 

Suite

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Sites  de

Chris Caldwell

À jour &

Très complet

*      La page des nombres premiers

*      Les 10 plus grands - selon le type de nombres

*      The top 20 of special forms

 

Calculs

*      View the digits of largest known prime number

 

*      GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search

*      List of Known Mersenne Prime Numbers

*      Internet-based Distributed Computing Projects – tous les projets de recherche par  appel aux calculateurs personnels.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/record.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ARCHIVES

 

Il est préférable de vous référer aux sites tenus à JOUR -  Voir:

SITES

 

 

LISTE DES NOMBRES PREMIERS CONNUS LES PLUS GRANDS

Attention : il en existe peut-être des millions non - connus situés entre - eux

 

 

Mars 2009

Rang

Premier

10 n
avec n =

Découvreurs

Date

Commentaire

1

2 43 112 609 – 1

12 978 189

GIMPS

2008

Mersenne 46 ?

2

2 37 156 667 – 1

11 185 272

GIMPS

2008

Mersenne 45 ?

3

2 32 582 657 – 1

9 808 358

GIMPS

2006

Mersenne 44 ?

4

2 30 402 457 – 1

9 152 052

GIMPS

2005

Mersenne 43 ?

5

2 25 964 951 – 1

7 816 230

GIMPS

2005

Mersenne 42 ?

6

2 240 36 583 – 1

7 235 733

GIMPS

2004

Mersenne 41 ?

7

220 996 011 – 1

6 320 430

GIMPS - Michael Shafer

2003

Mersenne 40 ?

8

2 13 466 917 – 1

4 053 946

Cameron, Woltman, Kurowski, GIMPS

2001

Mersenne 39

9

27 653 . 2 9 167 433 + 1

2 759 677

 

 

 

10

28 433 . 2 7 830 457 + 1

2 357 207

 

2004

 

2 6 972 593 – 1

2 098 960

Hajratwala, Woltman, Kurowski
& GIMPS, PrimeNet

1999

Mersenne 38

5 359 . 2 5054502 + 1

1 521 561

 

2003

 

 

2 3 021 377 – 1

909 526

Clarkson, Woltman, Kurowski & GIMPS

1998

Mersenne 37

 

2 2 976 221 – 1

895 932

Spence, Woltman & GIMPS

1997

Mersenne 36

 

1 372 930 131 072 + 1

804 474

 

2003

Fermat généralisé

 

1 176 694 131 072 + 1

795 695

 

2003

Fermat généralisé

 

3 . 2 2478785 + 1

746 190

 

2003

 

 

130 816 131 072 + 1

670 651

 

2003

Fermat généralisé

 

2 1 398 269 – 1

420 921

Armengaud, Woltman & GIMPS

1996

Mersenne 35

 

1 483 076 65 536 + 1

404 434

HEUER, Fougeron, Proth.exe

2003

Fermat généralisé

 

1 478 036 65 536 + 1

404 337

HEUER, Fougeron, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

54 767 . 2 1 337 287 + 1

402 569

Coels, PRP, SB, Proth.exe

2002

Sierpinski

 

1 361 846 65 536 + 1

402 007

Penrose, Fougeron, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

1 266 062 65 536 + 1

399 931

AthGFNSieve, Underbakke, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

 

Le 17 novembre 2003

Michael Shafer

*    Son calculateur déroule le programme du GIMPS, et
trouve le plus grand nombre de Mersenne

*    Sans doute le n° 40

*    C'est un nombre de plus de 6 millions de chiffres

Sites

*        Article de Eric Weisstein

*        Article de Chris Caldwell

 

 

 

Record chez les premiers

*    Nombre premier à 10 millions de chiffres: 100 000 dollars à qui trouvera un tel nombre

Prix offert par l’Electronic Frontier Foundation (États-Unis)

En 2004, nous en sommes à 7 millions

  >>> 107

 

 

 

 

LISTE DES NOMBRES DE MERSENNE PREMIERS >>>