NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 23/01/2016

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Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers les plus grands connus

 


 

 

  

NOMBRES PREMIERS RECORDS

 

La traque du nombre premier le plus grand connu

 

Les nombres premiers sont les objets les plus fantasques étudiés par les mathématiciens.

Ils poussent comme des mauvaises herbes au milieu du champ des nombres entiers, comme si le hasard était leur seule loi.

Personne ne peut prévoir où se trouve le suivant.

Ils obéissent pourtant à une fantastique régularité.

Ils apparaissent en fonction de lois précises auxquelles ils se conforment avec une discipline militaire.

Allusion au théorème des nombres premiers donnant la quantité de nombres premiers inférieurs à n

Opinion de Don Ziegler sur les nombres premiers

 

 Anglais: The largest known primes  

(Plus approprié ici que  record qui veut dire enregistrement, rapport,

et aussi, c'est vrai, record comme record de vitesse: speed record)

 

 

Explications à propos du record de janvier 2013

 

Ce nombre est composé de plus de 17 millions de chiffres et remplirait près de 20 livres de 500 pages environ.

La plupart des nombres entiers peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers strictement supérieurs à 1, comme par exemple 10 = 2 x 5. Ce n'est pas le cas des nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, etc.

 

*      Ils sont dits premiers car ce sont une sorte de briques de construction des nombres: tout nombre se décompose en un produit de nombres premiers et cela – oui! -  d'une seule façon (111 =3 x 37 et c'est tout!).

*       Deuxième propriété: plus les nombres sont grands et plus les diviseurs premiers sont difficiles à trouver. D'où leur utilisation en cryptographie.

 

Tout comme les nombres, les nombres premiers sont en quantité infinie. Quel est le plus grand? Un défi que certains cherchent à relever.

Le nouveau record de Curtis Cooper (Missouri) comporte 17 425 170 chiffres (fichier de 22 Mo, 4000 feuilles A4, 39 jours d'ordinateur pour le trouver) à comparer à moins de 100 chiffres pour donner la quantité de particules dans l'Univers. Ce nombre premier record fait sans doute partie de la famille des premiers de Mersenne. sa forme est du type 2p – 1 (une puissance de 2 diminuée de 1). Confirmation de la primalité de ce nombre par trois preuves indépendantes réalisées par des chercheurs différents, sur des machines différentes, avec des algorithmes différents.

Un prix de 250 000$ est offert pour la découverte d'un nombre premier à 1 milliard de chiffres.

D'après Le Figaro 06/02/2013

 

 

RECORD toutes catégories

Record

Quantité de chiffres

Type

Découverte

2 74 207 281 – 1

22 338 618

M49?

1 / 2016

2 57 885 161 – 1

17 425 170

M48?

1 / 2013

2 43 112 609 – 1

12 978 189

M47?

8 / 2008

2 42 643 801 – 1

12 837 064

M46?

4 / 2009

2 37 156 667 – 1

11 185 272

M45?

9 / 2008

2 32 582 657 – 1

9 808 358

M44?

9 / 2006

2 30 402 457 – 1

9 152 052

M43?

2005

2 25 964 951 – 1

7 816 230

M42

2005

2 24 036 583 – 1 

7 235 733

M41

2004

2 20 996 011 – 1 

6 320 430

M40

2003

2 13 466 917 – 1

4 053 946

M39

2001

19 249 x 2 13 018 586 + 1

3 918 990

2007

 

Tous les plus grands sont des nombres de Mersenne.

Le plus grand nombre premier non Mersenne arrive au 10e rang.

 

Méga costauds!

Ils sont     Titaniques   >        1 000 chiffres

et plus, ils sont Méga   > 1 000 000 chiffres

 

En janvier 2016, nous connaissons 149 méga premiers.

 

Attention!

Il existe peut-être des millions de nombres premiers non - connus situés entre ceux cités.

 

Liens

 

*    Vérifier les nouveautés sur le site de Chris Caldwell

 

*    Principe de la recherche des nombres premiers

*    Recherche: historique

*    Records des calculs

·        à la main

·        avec l'aide d'un ordinateur

·        records actuels

 

 

 

 

 

 

Passage des puissances 2 aux puissances 10

 

L'estimation du nombre de chiffres en décimal passe par le log base 10 de 2.

log base 10 de   2 =   0,3010299957…

log base 10 de 10 =  1

 

En effet, en faisant un petit détour par les logarithmes:

 

   2k en log donne => log ( 2k) = k . log (2)

10p en log donne => log (10p) = p . log (10) = p

 

On cherche la relation entre p et k lorsque 2k = 10p, soit, en égalisant les deux relations ci-dessus:

 

p = k . log (2) = 0,30103 k

Le nombre de chiffres pour écrire ce nombre est égal à

partie entière de p + 1.

 

Exemple avec 210 = 1 024,  k = 10,  quelle est la valeur de p?

p = 10 x 0,301 = 3,01 => 210 = 103,01 soit un peu plus de mille.

Mille s'écrit avec 4 zéros, en fait 3 + 1.

 

Application pour le record de 8/2008:

 43 112 609 x 0,3010299957…

= 12 978 188,5 soit 12 978 189 chiffres.

 

 

HELP

Une question souvent posée: quel le plus grand premier dont on connaît tous les premiers inférieurs? Si quelqu'un dispose de la réponse

Often asked question: what is the prime of which we know all smaller primes? Should anybody knows the answer …

 

 

 


 

 

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*    La page des nombres premiers

*    Les 10 plus grands - selon le type de nombres

*    The top 20 of special forms

 

Calculs

*    View the digits of largest known prime number

 

*    GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search

*    Internet-based Distributed Computing Projects – tous les projets de recherche par  appel aux calculateurs personnels.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/record.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ARCHIVES

 

Il est préférable de vous référer aux sites tenus à JOUR -  Voir:

SITES

 

 

LISTE DES NOMBRES PREMIERS CONNUS LES PLUS GRANDS

Attention : il en existe peut-être des millions non - connus situés entre - eux

 

 

Mars 2009

Rang

Premier

10 n
avec n =

Découvreurs

Date

Commentaire

1

2 43 112 609 – 1

12 978 189

GIMPS

2008

Mersenne 46 ?

2

2 37 156 667 – 1

11 185 272

GIMPS

2008

Mersenne 45 ?

3

2 32 582 657 – 1

9 808 358

GIMPS

2006

Mersenne 44 ?

4

2 30 402 457 – 1

9 152 052

GIMPS

2005

Mersenne 43 ?

5

2 25 964 951 – 1

7 816 230

GIMPS

2005

Mersenne 42 ?

6

2 240 36 583 – 1

7 235 733

GIMPS

2004

Mersenne 41 ?

7

220 996 011 – 1

6 320 430

GIMPS - Michael Shafer

2003

Mersenne 40 ?

8

2 13 466 917 – 1

4 053 946

Cameron, Woltman, Kurowski, GIMPS

2001

Mersenne 39

9

27 653 . 2 9 167 433 + 1

2 759 677

 

 

 

10

28 433 . 2 7 830 457 + 1

2 357 207

 

2004

 

2 6 972 593 – 1

2 098 960

Hajratwala, Woltman, Kurowski
& GIMPS, PrimeNet

1999

Mersenne 38

5 359 . 2 5054502 + 1

1 521 561

 

2003

 

 

2 3 021 377 – 1

909 526

Clarkson, Woltman, Kurowski & GIMPS

1998

Mersenne 37

 

2 2 976 221 – 1

895 932

Spence, Woltman & GIMPS

1997

Mersenne 36

 

1 372 930 131 072 + 1

804 474

 

2003

Fermat généralisé

 

1 176 694 131 072 + 1

795 695

 

2003

Fermat généralisé

 

3 . 2 2478785 + 1

746 190

 

2003

 

 

130 816 131 072 + 1

670 651

 

2003

Fermat généralisé

 

2 1 398 269 – 1

420 921

Armengaud, Woltman & GIMPS

1996

Mersenne 35

 

1 483 076 65 536 + 1

404 434

HEUER, Fougeron, Proth.exe

2003

Fermat généralisé

 

1 478 036 65 536 + 1

404 337

HEUER, Fougeron, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

54 767 . 2 1 337 287 + 1

402 569

Coels, PRP, SB, Proth.exe

2002

Sierpinski

 

1 361 846 65 536 + 1

402 007

Penrose, Fougeron, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

1 266 062 65 536 + 1

399 931

AthGFNSieve, Underbakke, Proth.exe

2002

Fermat généralisé

 

 

Le 17 novembre 2003

Michael Shafer

*    Son calculateur déroule le programme du GIMPS, et
trouve le plus grand nombre de Mersenne

Ø Sans doute le n° 40

Ø C'est un nombre de plus de 6 millions de chiffres

Sites

*        Article de Eric Weisstein

*        Article de Chris Caldwell

 

 

 

Record chez les premiers

*    Nombre premier à 10 millions de chiffres: 100 000 dollars à qui trouvera un tel nombre

Prix offert par l’Electronic Frontier Foundation (États-Unis)

En 2004, nous en sommes à 7 millions

  >>> 107

 

 

 

 

LISTE DES NOMBRES DE MERSENNE PREMIERS >>>