NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 16/04/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PUISSANCES

 

Débutants

Général

Puissances de 2

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Approche

Propriétés

Valeurs

 

Sommaire de cette page

>>> Puissance de 2 - Approche

>>> Valeurs des puissances de deux

>>> Valeurs visualisées

>>> Amusement

>>> Puissances négatives

>>> Jeu du 2048

 

 

 

 

PUISSANCE de 2

Approche

Connaissance des puissances de deux.

 

 

PUISSANCE DE 2 - Approche

 

*      Les informaticiens connaissent bien les puissances de deux.

 

*      On retient généralement deux valeurs simples par mnémotechnique (en rouge).

 

 

*      La puissance dix (1024) est souvent utilisées dans le monde des ordinateurs: c'est le kilo des informaticiens.

 

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 … 1024

 

 

2 6 =     64

210 =  1024

 

220 vaut un peu plus d'un million

 

 

1024 octets = 1 koctets (français)

1024 bytes  = 1 kbytes (anglais)

 

 

 

Tableau de valeurs

 

 

*      Toutes les puissances de 2 jusqu'à 226 et leurs correspondances en puissance de puissance de deux.

 

 

Exemple de lecture du tableau

 

   256 = 2 8 = 44 = 162

1024 = 210 = 45 = 322

 

 

 

 

 

 

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

                    2  

1

 

                    4  

2

1

 

                    8  

3

1

 

                  16  

4

2

1

 

                  32  

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

                  64  

6

3

2

1

 

                128  

7

1

 

                256  

8

4

2

1

 

                512  

9

3

1

 

             1 024  

10

5

 

 

2

 

 

 

 

1

             2 048  

11

 

             4 096  

12

6

4

3

2

 

             8 192  

13

 

           16 384  

14

7

2

 

           32 768  

15

 

5

 

3

 

 

 

 

 

           65 536  

16

8

4

2

 

        131 072  

17

 

        262 144  

18

9

6

3

2

 

        524 288  

19

 

     1 048 576  

20

10

 

5

4

 

 

 

 

2

     2 097 152  

21

7

3

 

     4 194 304  

22

11

 

     8 388 608  

23

 

   16 777 216  

24

12

8

6

4

3

 

   33 554 432  

25

 

 

 

5

 

 

 

 

 

   67 108 864  

26

13

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir Multi-puissances / Courbe du nénuphar

 

 

Unité des puissances de 2

Les unités des puissances de 2  se répètent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau résumé suivant:

Voir Unités des puissances

 

 

 

VALEURS VISUALISÉES

 

 

 

*      On s'intéresse aux puissances paires de deux (lignes en jaune sur le tableau ci-dessus)

et on visualise leurs valeurs.

 

*      Un facteur 2, pour le nombre et pour l'exposant, lie les puissances de 2 et les puissances de 4.

 

Exemple

42 = 24

43 = 26

 

En effet

4n = (2 x 2)n

    = 2n . 2n

    = 22n

 

*      Pour les autres nombres, on peut recalculer les valeurs en appliquant le même procédé

 

Exemple

162 = (24)2

      = 28

 

En effet

16n = (2 x 2 x 2 x 2)n

    = 2n . 2n . 2n. 2n

    = 24n

 

 

*      Le nombre 4096 fait un tabac avec 5 possibilités de puissances de puissances de deux. Pas étonnant avec 12, nombre hautement composé, comme exposant

 

 

 

 

 

 

Amusement qui finit par une question sérieuse

 

*      Observons les puissances de 2 en les mettant à l'envers, en retournant les chiffres. Est-il possible de trouver une puissance de 5 parmi de tels nombres.

(n2) retourné = m5 ?

 

*      Une puissance de 5 se termine toujours par un 5. Pour être candidate, la puissance de 2 devra commencer par un 5.

 

Exemples: les puissances de 2 successives commençant par 5:

*      Aucune n'est une racine cinquième entière.

 

Conjecture de Dyson

 

Aucun retourné d'une puissance de 2
n'est une puissance de 5.

 

*      Exemple de conjecture qui peut être vraie et indécidable.
Même si
Freeman Dyson (Princeton) développe une intuition argumentée à base de probabilités.

Cité par Jean-Paul Delahaye – Pour la Science janvier 2009

 

*      Il semble qu'il soit également difficile de trouver une puissance 2 retournée qui soit un carré ou un cube.

 

 

 

Puissances négatives – Vers zéro

 

*    Une puissance négative est, en fait, une puissance positive au dénominateur.

*    La courbe montre que la courbe y = 2x est asymptotique: lorsque x tend vers moins l'infini, alors sa puissance tend vers 0.

 



 

 

 

Jeu du 2048

 

*    Jeu de grille qui se joue sur une grille de 4 x 4, inventé en 2014 par un jeune programmeur italien, Gabriele Cirulli

*    Les quatre flèches du clavier déplacent tous les nombres présents (tuiles) pour les plaquer du côté indiqué (ici, en haut, tous à droite).

*    En même temps, un 2 ou un 4 s'affiche dans une des cases libres.

*    Si lors du mouvement, deux nombres identiques se touchent, ils s'ajoutent.

*    Le but est d'obtenir la somme 2048 par somme successives. Une tuile passe de 2 à 2048 en étant doublée dix fois, et en neuf fois pour un départ avec a4

*    Le jeu se termine dès qu'il est impossible d'ajouter un nombre en plus, toutes les cases étant remplies.

 

Exemple

En passant de la grille du haut à celle du bas, nous avons appuyé sur la flèche "haut":

*      En 1ère colonne: nouveau nombre, le 2;

*      En 3e colonne le 4 est plaqué en haut; et

*      En 4e colonne, addition sur deux cases comportant des 2 pour donner le 4, et le troisième 2 est plaqué le plus haut possible.

 

*    Il existe évidemment une part de hasard du fait de l'apparition aléatoire d'un 2 ou d'un 4 n'importe où. En ce sens, ce jeu s'apparent à une réussite avec des cartes.

Accès à ce jeu en ligne  >>>

ou  >>>

 

Maximum théorique

 

Le maximum n'est pas 2048 = 211, bien que ce nombre soit déjà difficile à atteindre. En théorie, c'est  217 = 131 072.

 

Il faut avoir la double chance d'atteindre cette configuration et d'obtenir un 4 et non un 2 dans la dernière case (jaune).

 

Configuration pour atteindre la maximum théorique

Voir la vidéo de Micmaths (Michaël Launay)

 

 

 

Suite

*    Puissance 2 – Propriétés

*    Puissance des nombres – Autres pages

Voir

*   Octave en musique

*    PuissancesIndex

*    Puissances de 2 et nombre 142857

*    Puissances et exposants

DicoNombre

*    Nombre 2048

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Puiss2va.htm