NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

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Premier

 

NOMBRES PREMIERS

JUMEAUX, COUSINS, SEXYS …

 

 

Glossaire

Premier

 

 

INDEX

 

Premiers

Premiers

Présentation

Conjecture

Écart

 

Sommaire de cette page

>>> Écart entre premiers à l'infini

>>> Illustration

>>> Historique

 

 

 

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

Vers la démonstration de la conjecture

 

Conjecture: il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Depuis 2013, d'énormes progrès ont été réalisés.

Anglais: Bounded gaps between primes / Primes in tuples /

The twin prime conjecture / Polygnac's Conjecture

 

 

Écart entre premiers à l'infini

 

Ce que nous savons de manière certaine

 

*      Il existe une infinité de nombre premiers. >>>

*      Il existe une infinité de nombres composés. >>>

*      On peut créer une suite de nombres composés consécutifs aussi longue que l'on veut. >>>

*      Pour tous nombre premier (n >3), il existe au moins un nombre premier compris entre n et 2n – 2 (Postulat de Bertrand (1845), démontré). En abrégé: entre un entier et son double, il y a au moins un premier. Autre formulation

 

 

 

 

 

Conjectures: il existe une infinité de:

*    nombres premiers jumeaux.

*    nombres premiers cousins, avec un écart de h = 4 comme {3, 7}, {7, 11},{13, 17} …

 

La conjecture de Polygnac: il existe une infinité de premiers avec un écart égal à h, h étant un nombre pair.

La conjecture de Dickson généralise celle-ci avec une forme en a + b.n.

 

*      quadruplet en 1, 3, 7, 9 tels que: {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109} ...

 

 

Question générale

 

*      Existe-t-il une infinité de nombres séparés de m nombres (m = 2 pour les jumeaux) ?

 

Autrement dit: quel est l'écart m le plus petit entre deux nombres premiers consécutifs qui se répète une infinité de fois?

 

 

 

Illustration

 

 

Historique

Les progrès

 

D. A. Goldston, J. Pintz and C. Y. Yildirim

2009

*    Il existe une infinité de premiers tels que l'écart entre eux n'est pas l'infini.

Yitang Zhang (né en 1955)

2013

*    Il existe une infinité de premiers tels que l'écart entre eux est inférieur à 7 x 107.

 

Autrement dit: il existe une borne finie B telle qu'il y une infinité de couple de nombres premiers consécutif pn et pn+1 avec un écart (pn+1pn)  B.

B a démontré que B est au plus égal à 70 000.

 

Zhang formule ce théorème de la manière suivante:

 

 

 

James Meynard

*    B = 600.

Polymath8

(Équipe collaborative sur Internet)

Avril 2014

*    B = 246.

Idem

*    B  = 12  ou 6 si on admet la conjecture d'Elliot-Halberstam.

 

 

 

 

 

Voir

*         Constellations: triplets, quadruplets …

*         Infinité de composés de suite

*         Nombres probablement premiers

*         Premiers

*        Presque Premiers

*         Semi premiers

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