NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 06/03/2010
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Nombres PREMIERS en CONSTELLATIONS

Quelle est l'écart le plus faible entre 4 nombres premiers successifs ?

Entre n ?

TRIPLÉS

Triplés: trois nombres premiers séparés de deux unités.

Tous les nombres premiers supérieurs à 3 sont de la forme 6n – 1 ou 6n + 1.

Les seuls écarts possibles entre nombres premiers est 2 puis 4. Mais jamais 2 puis 2.

Il est donc impossible de trouver deux premiers triplés

Configuration des nombres premiers

(en jaune premier possible)

	6n						6(n+1)
-1		+1	+2	+3	+4	+5		+1
Écart 2
		Écart 4

Jamais de premier en 6n + 3

Seul triplé, situé au départ des nombres premiers

3, 5, 7

QUADRUPLÉS

Quadruplés ou bijumeaux: deux paires de jumeaux séparées successives.

Mis à part le premier quadruplé, les unités de tous les autres sont de la forme: 1, 3, 7, 9

Il y a 11 quadruplés (plus un non générique) inférieurs à dix mille.

La somme des inverses des quadruplés converge vers
0, 87058 83800

la constante de Brun des quadruplés.

Les deux premiers quadruplés

5, 7, 11, 13

11, 13, 17, 19

Forme générique

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	-4		-2		T		+2		+4

T pour tête du quadruplé

Liste pour P < 10 000

T - 4	T - 2	T + 2	T + 4
11	13	17	19
101	103	107	109
191	193	197	199
821	823	827	829
1 481	1 483	1 487	1 489
1 871	1 873	1 877	1 879
2 081	2 083	2 087	2 089
3 251	3 253	3 257	3 259
3 461	3 463	3 467	3 469
5 651	5 653	5 657	5 659
9 431	9 433	9 437	9 439

QUINTUPLÉS

Générique

P - 6	P - 4	P - 2	P + 2	P + 4
3	5	7	11	13
Seul quintuplé pour P < 10 000

Après?

Ce n'est pas possible en vertu du fait que les nombres premiers sont en 6n ± 1.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1	2
	1		3				7		9		1		3
	T - 4		T - 2		"T"		T + 2		T + 4				T + 8
	6n - 1		6n + 1				6(n+1) -1		6(n+1) + 1		IMPOSSIBLE		6(n+2) - 1

On passe un cran (au lieu de T + 6, on prend T + 8)

Quintuplés droits pour P < 10 000

T - 4	T - 2	T + 2	T + 4	T + 8
5	7	11	13	17
11	13	17	19	23
101	103	107	109	113
1 481	1 483	1 487	1 489	1 493

Quintuplés gauches pour P < 10 000

T - 8	T - 4	T - 2	T + 2	T + 4
7	11	13	17	19
97	101	103	107	109
1 867	1 871	1 873	1 877	1 879
3 457	3 461	3 463	3 467	3 469
5 647	5 651	5 653	5 657	5 659

SEXTUPLÉS

Pour P < 100 000

P - 8	P - 4	P - 2	P + 2	P + 4	P + 8
7	11	13	17	19	23
97	101	103	107	109	113
16 057	16 061	16 063	16 067	16 069	16 073
19 417	19 421	19 423	19 427	19 429	19 433
43 777	43 781	43 783	43 787	43 789	43 793

Effet combiné des deux propriétés des nombres premiers
Les nombres premiers sont en 6n ± 1 Le 5 créé un trou et rompt la régularité de progression

CHAÎNE des nombres premiers en 6

P	P + 6	P + 12	P + 18	P + 24
6n + 1	6(n+1) + 1	6(n+2) + 1	6(n+3) + 1	6(n+4) + 1
7	13	19
31	37	43
61	67	73	79
97	103	109
601	607	613	619
55201	55207	55213	55219
			26 cas* pour n < 10 000	Aucun pour n < 10 000

 *61 est le premier, 601 le suivant et 55 201 le dernier

P	P + 6	P + 12	P + 18	P + 24
6n - 1	6(n+1) - 1	6(n+2) - 1	6(n+3) - 1	6(n+4) - 1
5	11	17	23	29
41	47	53	59
47	53
53	59
83	89
251	257	263	269
641	647	653	659
56081	56087	56093	56099
			27 cas* pour n < 10 000	Seul cas n < 10 000

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Voir	Nombres premiers jumeaux Types de nombres – Index Nombres premiers – Index
Aussi	Liste de nombres premiers Décomposition des nombres Nom des nombres Nombres à motifs Nombres composés Représentation des nombres
Diconombre	Nombre 0,870 … - Constante de Brun – Quadruplés Nombre 1,902 … – Constante de Brun – Jumeaux
Sites	La page des nombres premiers de Chris Caldwell