NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

Premiers

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Nombres

Premiers

 

 

Index des pages

NOMBRES PREMIERS

 

>>>  INDEX

>>> TYPES

 

 

Jumeaux

Cousins

Sexy …

Conj. de Polignac

Records

Triplets, quadruplets

Quintuplets

Sextuplets

 

Sommaire de cette page

>>> Vocabulaire

>>> N-uplets purs en 222, 444 ou 666

>>> Triplets pleins

>>> Triplets creux

>>> Quadruplets pleins

>>> Quadruplets creux

 

 

 

 

 

Nombres PREMIERS en CONSTELLATIONS

Triplets et quadruplets

 

 

On s'intéresse aux nombres premiers successifs pris par groupe de  3 ou 4. Quelles sont les configurations possibles entre jumeaux, cousins et sexys?

 

Exemple: le quadruplet: 101, 103, 107, 109 avec un espacement de 2, 4, 2 est de la forme jumeaux, cousins, jumeaux.

 

Conjecture des premiers k-uples ou des constellations de premiers: émise par G. H. Hardy and J. E. Littlewood en 1923 qui donne une estimation de la quantité de fois qu'une constellation de premiers se produit. 

 

 

 

 

Vocabulaire

 

Les nombres premiers pris par paires peuvent être jumeaux, cousins ou sexys selon leur éloignement. Voir les pages qui leurs sont consacrées.

 

Par famille, ils peuvent être en triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets … On distingue les n-uplets pleins lorsque tous les premiers sont présents et les n-uplets creux lorsqu'il en manque.

 

Exemple

 

Deux notations pour un n-uplet, avec l'exemple du quadruplet plein de la figure:

*    relatif:      2-4-2, et

*    absolu: P, P+2, P+6, P+8.

 

Voir Jumeaux, cousins, sexys – Illustration

 

 

 

n-uplets purs: 2..2, 4..4, 6..6

 

Ce que nous savons: parmi les paires de nombres premiers jumelles, cousines ou sexies, seules trois paires (quadruplets), au mieux, peuvent se succéder, que se soient des paires successives ou non. Aucun que l'on veut pour les sexys.

 

Voilà le tableau récapitulatif des configurations pures possibles et impossibles.

 

 

Par exemple: 3, 5, 7 sont les seuls trois (triplet) jumeaux se succédant (triplet plein).

Pour le quadruplet 251, 257, 263, 269, l'espace entre les premiers est égal à 6 et aucun premier n'est présent dans ces espaces. Le quadruplet est plein.

Pour  le quadruplet 5, 11, 17, 23, l'espacement est bien de 6, mais au milieu il existe des nombres premiers comme 7, 13 et 19. Le quadruplet est creux

 

Le seul quintuplet avec écart de 6666 est 5, 11, 17, 23, 29 et il est creux (par exemple le 13 est au milieu).

 

Maintenant examinons les panachages entre jumeaux, cousins et sexys.

 

 

 

TRIPLETS PLEINS – Trois nombres premiers à la suite

Triplets de jumeaux

 

P, P+2, P+2

Seule possibilité.

 

Unicité

Tous les nombres premiers supérieurs à 3 sont de la forme 6n – 1 ou 6n + 1. Les seuls écarts possibles entre nombres premiers sont 2 puis 4. Mais jamais 2 puis 2. Il est donc impossible de trouver deux premiers triplés.

 

Configuration des nombres premiers  (En jaune position où un nombre peut être premier)

La position + 3 est impossible. Impossible de trouver des triplets de jumeaux autre que 3, 5 et 7. Voir  Illustration

 

Preuve d'unicité de 3, 5 et 7

Si p, p + 2 et p + 4 sont premiers, alors P = 3. Démontrez.

Nous effectuons la division euclidienne de p par 3 dont le reste sera 0, 1 ou 2. (Dit autrement, on travaille en mod 3).

Voyons ce qui se passe dans chacun des trois cas:

Le tableau montre que, quelle que soit la valeur du  reste pour p, alors un des trois nombres est divisible par 3, donc pas premier.

Aucune configuration, autre que p = 3, n'est compatible avec nos hypothèses.

 

Triplets de jumeau et cousin

 

P, P+2, P+6

 

 

Liste pour n jusqu'à10 000

5, 11, 17, 41, 101, 107, 191, 227, 311, 347, 461, 641, 821, 857, 881, 1091, 1277, 1301, 1427, 1481, 1487, 1607, 1871, 1997, 2081, 2237, 2267, 2657, 2687, 3251, 3461, 3527, 3671, 3917, 4001, 4127, 4517, 4637, 4787, 4931, 4967, 5231, 5477, 5501, 5651, 6197, 6827, 7877, 8087, 8231, 8291, 8537, 8861, 9431, 9461.

P, P+4, P+6

 

 

 

Liste pour n jusqu'à10 000

7, 13, 37, 67, 97, 103, 193, 223, 277, 307, 457, 613, 823, 853, 877, 1087, 1297, 1423, 1447, 1483, 1663, 1693, 1783, 1867, 1873, 1993, 2083, 2137, 2377, 2683, 2707, 2797, 3163, 3253, 3457, 3463, 3847, 4153, 4513, 4783, 5227, 5413, 5437, 5647, 5653, 5737, 6547, 6823, 7207, 7753, 7873, 8287, 8623, 9007, 9277, 9337, 9433.

 

 

TRIPLETS CREUX – Trois premiers en configuration

Triplets de jumeaux et sexys

 

P, P+2, P+8

Attention: Les premiers ne sont pas consécutifs.

 

Liste pour n jusqu'à10 000

3, 5, 11, 29, 59, 71, 101, 149, 191, 269, 431, 569, 599, 821, 1031, 1061, 1229, 1289, 1319, 1451, 1481, 1619, 1871, 2081, 2129, 2339, 2381, 2549, 2711, 2789, 3251, 3299, 3461, 3539, 4019, 4049, 4091, 4649, 4721, 5099, 5441, 5519, 5639, 5651, 5741, 5849, 6269, 6359, 6569, 6701, 6959, 7211, 8009, 8999, 9041, 9341, 9431.

P, P+6, P+8

Liste pour n jusqu'à10 000

5, 11, 23, 53, 101, 131, 173, 191, 233, 263, 563, 593, 653, 821, 1013, 1223, 1283, 1481, 1601, 1613, 1871, 2081, 2333, 2543, 2963, 3251, 3323, 3461, 3533, 3761, 3911, 3923, 4013, 4211, 4253, 4643, 4793, 5003, 5273, 5471, 5651, 5843, 5861, 6263, 6353, 6563, 6653, 6863, 7121, 7451, 7481, 7541, 7583, 8081, 8423, 8831, 8963, 9413, 9431, 9623, 9851, 9923.

Triplets de cousins et sexys

 

P, P+4, P+10

Liste pour n jusqu'à10 000

3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 97, 103, 127, 163, 223, 229, 307, 349, 379, 439, 457, 499, 643, 673, 853, 877, 937, 967, 1009, 1087, 1093, 1213, 1279, 1297, 1423, 1429, 1483, 1489, 1549, 1597, 1609, 1867, 1993, 2203, 2347, 2389, 2437, 2539, 2683, 2689, 2833, 2953, 3079, 3319, 3457, 3529, 3613, 3793, 3907, 3919, 4003, 4129, 4447, 4513, 4639, 4783, 4789, 4933, 4999, 5077, 5227, 5647, 5839, 5857, 6043, 6823, 6907, 6967, 7243, 7477, 7537, 7573, 7639, 7873, 8233, 8287, 8419, 8689, 8737, 9199, 9463, 9619, 9739, 9829.

P, P+6, P+10

 

Liste pour n jusqu'à10 000

7, 13, 31, 37, 61, 73, 97, 103, 157, 223, 271, 307, 373, 433, 457, 607, 733, 751, 853, 877, 1087, 1291, 1297, 1423, 1483, 1543, 1657, 1777, 1861, 1867, 1987, 1993, 2131, 2287, 2341, 2371, 2383, 2467, 2677, 2683, 2791, 2851, 3181, 3313, 3457, 3607, 3691, 4441, 4507, 4513, 4723, 4783, 4993, 5227, 5407, 5431, 5521, 5563, 5641, 5647, 5683, 5851, 6037, 6211, 6571, 6823, 6961, 6991, 7237, 7681, 7717, 7867, 7873, 7927, 8161, 8263, 8287, 8731, 8923, 9001, 9127, 9151, 9613, 9733, 9781.

Triplets de cousins

 

P, P+4, P+8

Le seul

Triplets de sexys

 

P, P+6, P+12

Liste pour n jusqu'à10 000

5, 7, 11, 17, 31, 41, 47, 61, 67, 97, 101, 151, 167, 227, 251, 257, 271, 347, 367, 557, 587, 601, 607, 641, 647, 727, 941, 971, 1091, 1097, 1117, 1181, 1217, 1277, 1291, 1361, 1427, 1447, 1481, 1487, 1601, 1607, 1657, 1741, 1747, 1777, 1861, 1867, 1901, 1987, 2131, 2281, 2371, 2377, 2411, 2671, 2677, 2687, 2707, 2791, 2897, 2957, 3301, 3307, 3457, 3527, 3631, 3727, 3911, 3917, 4001, 4007, 4127, 4451, 4507, 4591, 4637, 4651, 4787, 4931, 4987, 5101, 5107, 5297, 5381, 5387, 5407, 5431, 5437, 5471, 5557, 5641, 5647, 5737, 5801, 6067, 6257, 6311, 6317, 6361, 6367, 6857, 6971, 7207, 7517, 7577, 7817, 7867, 8081, 8111, 8231, 8707, 8741, 9001, 9337, 9391, 9461, 9467.

 

 

 

                                                                                                                                             

QUADRUPLETS PLEINS – Quatre nombres premiers à la suite

 

Quadruplets

 

P, P+2, P+6, P+8

 

Quadruplés ou bijumeaux: deux paires de jumeaux successives. Les deux nombres premiers du centre sont cousins (écart 4).

Mis à part le premier quadruplé, les unités de tous les autres sont de la forme: 1, 3, 7, 9

Il y a 11 quadruplés (plus un non générique) inférieurs à dix mille.

La somme des inverses des quadruplés converge vers 0, 87058 83800, la constante de Brun des quadruplés.

Ils sont tous de la forme: 30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19

 

Quadruplets

(forme inversée)

 

P, P+4, P+6, P+10

 

Liste pour n jusqu'à10 000

7, 13, 37, 97, 103, 223, 307, 457, 853, 877, 1087, 1297, 1423, 1483, 1867, 1993, 2683, 3457, 4513, 4783, 5227, 5647, 6823, 7873, 8287.

 

 

QUADRUPLETS CREUX – Quatre premiers en configuration

P, P+6 P+12, P+18

Aucun en jumeaux et en cousins.

 

Liste pour n jusqu'à10 000

5, 11, 41, 61, 251, 601, 641, 1091, 1481, 1601, 1741, 1861, 2371, 2671, 3301, 3911, 4001, 5101, 5381, 5431, 5641, 6311, 6361, 9461.

 

Tous les quadruplets jusqu'à 1000

 

 

  

 

 

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Sites

*    La page des nombres premiers de Chris Caldwell

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/constell.htm