NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

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Curiosités

Terminale Spé

Théorème des nombres premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Démonstration avec congruences

>>> Démonstrations

>>> Démonstration la plus courte

>>> Primorielles

 

 

 

 

Infinité de

NOMBRES PREMIERS

 

Démonstration d'Euclide.

Hyper simple!

Merveilleux!

 

 Il existe une infinité

de nombres premiers

 

Euclide – Les Éléments

En notation moderne,

 la démonstration tient

en quatre caractères

n! + 1

 

Il est évident que cette affirmation"il y a une infinité de nombres premiers"

ne pourra jamais être vérifiée complètement.

Par contre, elle peut être démontrée. Et très simplement.

 

 

 APPROCHE – Principe de la démo

*      Démontrer qu'il existe un premier plus grand que tout nombre premier donné n.

Exemple

n = 7

*      On prend tous les premiers inférieurs, et on ajoute 1.

2 x 3 x 5 x 7 + 1 = 211

*      Ce nombre divisé par tous les nombres premiers inférieurs à 7 donne 1, par construction.

Exemple

211 = (2 x 3 x 7) x 5 + 1

211 / 5 = 42 x 5 + 1

*      Ce nombre est donc premier par rapport à tous les premiers inférieurs à 7.

En outre, deux seuls cas se présentent:

*       soit, il est premier lui même,

*       soit, il est le produit d'autres nombres premiers plus grands que 7.

En fait, 211 est premier

*      Ce raisonnement peut être appliqué à tous les nombres premiers connus.

p quelconque

2 x 3 x 5 x 7 xx p    + 1

 

 

ILLUSTRATION

 

*      On fait l'hypothèse que 7 est le plus grand nombre premier.

 

 

*      Il suffit de remplacer le nombre 7 par n'importe quel nombre premier, le plus grand que l'on puise imaginer, et mener le même raisonnement pour conclure qu'il y aura toujours un nombre premier encore plus grand.

 

 

 

EUCLIDE – Son raisonnement

 

*      Comme montré ci-dessus, Euclide a utilisé le simple nombre un pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.

 

*      Soit trois nombres premiers A, B et C.
On forme le nouveau nombre D = A . B . C + 1

Est-ce que ce nombre est premier?

*           Si oui, alors il existe un nombre premier D supérieur à A, B, C.

*           Si non, alors il a un diviseur premier E qui ne peut être ni A, ni B, ni C. Il existe donc un autre premier E.

 

*      Que ce soit l'un ou l'autre cas, il existe un nombre premier de plus qu'au départ.

 

 

 

DÉMONSTRATION

*      On suppose donc que les nombres premiers sont en quantité finie.

p1, p2, p3pn-1, pn

=> n premiers

*      On forme un nouveau nombre : le produit de tous les nombres premiers auquel on ajoute 1.

N = (p1 . p2 . p3pn ) + 1

*      Deux cas se présentent:

N est premier ou non ?

1) Si N est premier, il y a n + 1 premiers. Un de plus que ce que dit l'hypothèse. Pas possible!

p1 . p2 . p3pn & N

=> n + 1 premiers

2) Si N n'est pas premier, il est divisible par un nombre premier q.

N = A . q

*      Or, on sait que N n'est divisible par aucun des nombres premiers de la liste initiale.

En effet, le reste de la division sera toujours 1.

(Quelque soit i, N = 1 mod pi)

q n'est pas parmi

p1 . p2 . p3pn

*      Avec q, il y a n + 1 premiers. Un de plus que ce que dit l'hypothèse. Pas possible!

p1 . p2 . p3pn & q

=> n + 1 premiers

*      Contradiction

Hypothèse fausse :

Les nombres premiers ne sont pas en nombre fini, mais infini.

 

Remarque

La démonstration ci-dessus est la plus rapide, la plus élégante. Celle qui suit est une alternative qui nécessite la connaissance du théorème de la factorisation unique. 

Merci à David K. qui a contribué à la précision de cette page.

 

 

DÉMONSTRATION – Raisonnement par l’absurde >>>

 

*      On suppose l’affirmation fausse: il existe un nombre premier le plus grand: pn.

*      On démontre que cela aboutit à une contradiction.

*      On suppose donc que les nombres premiers sont en quantité finie.

p1, p2, p3 … pn-1, pn

*      On forme un nouveau nombre : le produit de tous les nombres premiers auquel on ajoute 1.
Ce nombre N est plus grand que le plus grand premier Pn. De ce fait et  en conséquence de notre hypothèse, N est composé.

N = (p1 . p2 . p3pn ) + 1

*      N est composé: il admet une factorisation unique, produit de nombres premiers.

Ces nombres premiers sont ceux de la liste des premiers de p1 à pn.

Soit pi l'un des diviseurs premiers de N.

N = q . pi

Remarque

Pi est différent de 1, puisqu'il s'agit d'un nombre premier (un n'est pas premier).

De même pour q qui est le produit d'un certain nombre de nombres premiers.

*      On peut effectuer la division du produit plus un

*      Le premier terme se simplifie, car pi est dans le produit; on baptise E cet entier.

*      Or q et E sont deux entiers, donc

1 / pi doit être un entier

*      On se souvient que pi est supérieur à un.

1 / pi n’est pas un entier

*      Contradiction!

Hypothèse fausse :

Les nombres premiers ne sont pas en nombre fini, mais infini.

 

 

 

 

EN BREF

 

On peut résumer ainsi :

 

S’il y avait un nombre fini de nombres premiers,

leur produit additionné de 1

serait divisible par l’un deux,

donc 1 le serait aussi,

ce qui est absurde.

 

Jean Paul Delahaye – Merveilleux nombres premiers

 

 

 

Démonstration courte (la plus courte)

 

*      Ce nombre n'est divisible par aucun entier d inférieur ou égal à n (sauf 1).

*      Ses facteurs premiers excédent n.

*      Il existe un nombre premier plus grand que n.

 

n! + 1

 

Il existe un premier

plus grand que n

quel que soit n.

 

 

Primorielles

 

*      Primorielle (n) = Produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

 

Pn = p1 . p2 . p3pn  est appelé primorielle n

 

P11 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2 310

 

*      Les primorielles comme les nombres premiers sont en nombre infini.

 

Voir Démonstration de l'infinitude des premiers avec les primorielles

 

 

 

Nombres premiers jumeaux

 

*      Deux nombres premiers dont la différence est égale à 2 sont jumeaux.

 

*      Sont-ils une infinité ? Nul ne le sait. On conjecture que c'est le cas.

 

 

 

 

Suite

*    Propriétés des nombres premiers

*    Conjecture des nombres premiers jumeaux

Voir

*    Euclide

*    Infini

*    Modulo & Congruences

*    Nombres Premiers

*    Primalité

*    Pseudo Premiers

*    Quantité de nombres premiers

Diconombre

*    Nombre UN

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