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Édition du: 14/11/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Nombres premiers

Types de nombres

Classification

Nombres PREMIERS

Premiers

Intervalle

Écart à volonté

Orphelins

Intervalle – Tables

Puissances proches

Jumeaux

 

 

Écart entre nombres premiers

Suite de nombres composés

 

Il existe de nombreux couples de nombres premiers jumeaux (une infinité ?). Mais, à l'opposé, quelle est l'écart maximum entre deux nombres premiers successifs ? L'infini ! Oui, il est possible de trouver une suite infinie de nombres composés.

 

Exemple

 

Sommaire de cette page

>>> Suite de composés consécutifs

>>> Record d'intervalle entre nombres premiers

>>> Un million de nombres composés

>>> Exemples pour les premières suites

>>> Démonstration avec les FACTORIELLES

>>> Démonstration avec les PRIMORIELLES

 

Débutants

Nombres premiers

 

Glossaire

Nombres premiers

 

Nombres composés consécutifs – En bref

Pour tout n, on peut trouver n entiers consécutifs composés: il suffit de considérer les nombres (n + 1)! + k avec 1 < k < n.

 

Mais, il existe des suites bien avant d'atteindre (n + 1)! + 1.

 

Conjecture de D. Shanks: si pn est le plus petit nombre premier qui suit n entiers composés, alors log pn est proche de n. En 973, le plus grand écart observé était  651. Il apparait pour les nombres premiers

2 614 941 710 599 et 2 614 941 711 251.

Cité par François le Lionnais- Publication de 1973

 

Le plus grand actuel (2022) date de 2018 ave un écart de  1550 avec:

18 361 375 334 787 046 697  et 423 731 791 997 205 041

Cité par Prime gap - Wikipedia

 

Wolf a émis une conjecture qui se rapproche un peu plus de l'observation:

 

Théorème de Dirichlet ou théorème de la progression arithmétique

Pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme a + n b, où n > 0.

Voir développments et derniers records en Intervalle

 

 

Suite de composés consécutifs

 

Question

*    Est-il possible de trouver trente nombres composés qui se suivent ?

Réponse

*    Les nombres premiers sont fascinants, il y en a une infinité. De même, les nombres composés (non-premiers) sont étranges à leur façon. On peut en trouver autant que l'on veut qui se suivent. Donc, bien sûr, on peut en trouver trente ou trente mille.

 

*    Il y deux façons de justifier la réponse:

*    Une recherche systématique, ou

*    Une démonstration.

 

Recherche systématique

*    Cette première méthode assez sportive. Elle consiste à tester tous les nombres les uns après les autres. On peut utiliser une table des nombres premiers. Mais, évidemment un ordinateur, avec le bon programme, permet d'y arriver plus facilement.

*    Cette méthode présente un avantage important, elle donne la toute première séquence de 30 nombres composés.

*    On trouve ainsi la plus petite séquence de trente nombres composés consécutifs:

*    le premier des 30 est: 1 328

*    le dernier est                1 360

*    en fait, et en prime, il se trouve qu'il y en a 33.

*    La séquence que l'on trouve juste avant celle-ci en donne 21, et elle commence par 1 130. Ensuite, on passe directement à la suite des 33 indiquée.

 

Les premières séquences

*    Par exemple, la première séquence de 7 nombres composés successifs commence par 90 et se termine par 96.

 

1

3

5

7

13

17

19

1

8

24

90

114

524

888

 

9

25

91

115

525

889

 

10

26

92

116

526

890

 

 

27

93

117

527

891

 

 

28

94

118

528

892

 

 

 

95

119

529

893

 

 

 

96

120

530

894

 

 

 

 

121

531

895

 

 

 

 

122

532

896

 

 

 

 

123

533

897

 

 

 

 

124

534

898

 

 

 

 

125

535

899

 

 

 

 

126

536

900

 

 

 

 

 

537

901

 

 

 

 

 

538

902

 

 

 

 

 

539

903

 

 

 

 

 

540

904

 

 

 

 

 

 

905

 

 

 

 

 

 

906

 

 

Record d'intervalle entre nombres premiers

ou plus grande suite de nombres composés

Record de longueur

L = P(n+1) – P(n)

Qté de nombres composés  = L – 1

(En bleu, les valeurs explicitées

dans le tableau de droite)

1, 2, 4, 6, 8, 14, 18, 20, 22, 34, 36, 44, 52, 72, 86, 96, 112, 114, 118, 132, 148, 154, 180, 210, 220, 222, 234, 248, 250, 282, 288, 292, 320, 336, 354, 382, 384, 394, 456, 464, 468, 474, 486, 490, 500, 514, 516, 532, 534, 540, 582, 588, 602, 652, 674, 716,  766, 778, 804, 806, 906, 916, 924, 1132, 1184,, 1198, 1220, 1224, 1248, 1272, 1328, 1356, 1370, 1442, 1476, 1488, 1510, …

 

Record connu en 2020

1510 est la plus longue suite.

 

Rappel: on connait des suites bien plus longues, mais ici; il s'agit de la plus longue avec au départ le plus petit nombre premier.

 

Voir Références Internet pour valeur des nombres premiers

 

 

Un million de nombres composés

 

Question

*    Peut-on trouver une séquence de 1 million de nombres sans qu’un seul soit premier ?

 

Réponse

*    OUI ! C’est même possible pour une longueur quelconque ! Voire infinie …

 

Méthode avec les factorielles

 

On considère le nombre

1 000 001 !

Factorielle

Le premier nombre sera

1 000 001 ! + 2

Divisible par 2

Le suivant

1 000 001 ! + 3

Divisible par 3

 

 

On continue

1 000 001 ! + i

Divisible par i

 

 

Et pour finir par

1 000 001 ! + 1 000 001

Divisible par 1 000 001

 

*    Chacun des nombre formé par addition de i à factorielle un million est divisible par i. En effet, le nombre i , jusqu'à un million, est un des facteurs de 1 000 000! . Donc i divise cette factorielle, de même que la valeur i ajoutée; il divise la somme.

 

*    Soit un million de nombres premiers consécutifs non premiers.

*    On peut évidemment faire la même chose avec 1 000 001 ! – i

*    Ou avec toutes valeurs de n! et de i.

 

Voir Polynômes engendrant des composés

 

 

 

EXEMPLES pour les premières suites

*    On donne la table des nombres composés consécutifs obtenus par la méthode décrite ci-dessus.

*    On prend les valeurs successives de n de 2 à 10 et on explore n! + i avec i de 2 à n. En colonne de droite on explicite la divisibilité du nombre, montrant ainsi qu'il est composé.

 

n

i

c = n! + i

c/i

2

2

4

2

3

2

8

4

3

3

9

3

4

2

26

13

4

3

27

9

4

4

28

7

5

2

122

61

5

3

123

41

5

4

124

31

5

5

125

25

6

2

722

361

6

3

723

241

6

4

724

181

6

5

725

145

6

6

726

121

7

2

5042

2521

7

3

5043

1681

7

4

5044

1261

7

5

5045

1009

7

6

5046

841

7

7

5047

721

8

2

40322

20161

8

3

40323

13441

8

4

40324

10081

8

5

40325

8065

8

6

40326

6721

8

7

40327

5761

8

8

40328

5041

9

2

362882

181441

9

3

362883

120961

9

4

362884

90721

9

5

362885

72577

9

6

362886

60481

9

7

362887

51841

9

8

362888

45361

9

9

362889

40321

10

2

3628802

1814401

10

3

3628803

1209601

10

4

3628804

907201

10

5

3628805

725761

10

6

3628806

604801

10

7

3628807

518401

10

8

3628808

453601

10

9

3628809

403201

10

10

3628810

362881

 

*    Avec n = 10, on trouve, bien entendu, 9 nombres composés (non-premiers) de suite.

*    Il est clair que cette formule ne donne par forcément la première séquence de n nombres composés consécutifs.

 

 

 

 

Suite de composés consécutifs

Démonstration avec les FACTORIELLES

 

*    On se souvient des factorielles:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n  = n!

 

*    Voici une propriété qui va nous servir:

On ajoute un nombre à la factorielle:

3! + 2 = 1 x 2 x 3 + 2 = 6 + 2 = 8

et le résultat 8 est divisible par 2.

Normal 2 divise chaque terme de la somme 3! + 2;

 

*    Ceci est vrai pour tous les nombres de la factorielle.

n! + k = 1 x 2 x 3 x 4 x … x k x … n + k  est divisible par k.

 

 

 

 

Suite de composés consécutifs

Démonstration avec les PRIMORIELLES

 

*    La primorielle d'un nombre est une factorielle particulière, ne comprenant que les nombres premiers successifs.

11!!   =   2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

 

*    Il faut démontrer que N = n!! + i avec i de 2 à n est composé

 

Cas 1) – Si i est premier

*    Alors i divise n!! et aussi, i divise i;

*    Et, i divise la somme n!! + i ; N est composé.

 

Cas 2) – Si i n'est pas premier

*    Alors i est divisible par l'un de ses diviseurs premiers, disons:  j .

Avec

*    Ce nouveau nombre premiers j, plus petit que n est l'un des facteurs de n!!, du fait de la définition de la primorielle.

*    Alors j divise n!! et aussi, j divise i;

*    Et, j divise la somme n!! + i ; N est composé.

 

Dans tous les cas,

*    N est un nombre composé.

 

 

Programme: écarts entre premiers

 

Calcul de la différence entre le (i + 1)e nombre premier et le ie du premier au centième.

Impression avec l'instruction spéciale d'impression à la suite (printf), assortie d'une demande de faire suivre le nombre d'une virgule et d'un espace.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

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Sites

*       Écart entre nombres premiers –Wikipédia

*       OEIS A001223 – Prime gaps: differences between consecutive primes.

*       OEIS A005250 - Record gaps between primes

*       OEIS A111943 – Prime p with prime gap q - p of n-th record Cramer-Shanks-Granville ratio, where q is smallest prime larger than p and C-S-G ratio is (q-p)/(log p)^2.

*       Shanks' Conjecture – Wolfram MathWorld

*       Maximal Prime Gaps – Jens Kruse Andersen

*       Prime gap – Wikipedia

*       Table of Known Maximal Gaps – Chris K. Caldwell

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/ecart.htm