NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références /    Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 26/03/2016

Débutants

Nombres

Premiers

Nombres PREMIERS

Glossaire

Nombres

Premiers

 

Intervalles

 

 

 

Index des pages

NOMBRES PREMIERS

 

>>> INDEX

>>> Composés

 

Intervalle

Écart à volonté

Orphelins

Intervalle – Tables

Puissances proches

 

Sommaire de cette page

>>> Suite de composés consécutifs

>>> Un million de nombres composés

>>> Exemples pour les premières suites

>>> Démonstration avec les FACTORIELLES

>>> Démonstration avec les PRIMORIELLES

 

 

 

 

 

Nombres composés

encadrés par les nombres premiers

 

 

Combien de nombres composés maximum entre deux nombres premiers?

 

 

 

Suite de composés consécutifs

 

Question

*    Est-il possible de trouver trente nombres composés qui se suivent ?

Réponse

*    Les nombres premiers sont fascinants, il y en a une infinité. De même, les nombres composés (non-premiers) sont étranges à leur façon. On peut en trouver autant que l'on veut qui se suivent. Donc, bien sûr, on peut en trouver trente ou trente mille.

 

*    Il y deux façons de justifier la réponse:

*    Une recherche systématique, ou

*    Une démonstration.

 

Recherche systématique

 

*    Cette première méthode assez sportive. Elle consiste à tester tous les nombres les uns après les autres. On peut utiliser une table des nombres premiers. Mais, évidemment un ordinateur, avec le bon programme, permet d'y arriver plus facilement.

*    Cette méthode présente un avantage important, elle donne la toute première séquence de 30 nombres composés.

*    On trouve ainsi la plus petite séquence de trente nombres composés consécutifs:

*    le premier des 30 est: 1 328

*    le dernier est                1 360

*    en fait, et en prime, il se trouve qu'il y en a 33.

*    La séquence que l'on trouve juste avant celle-ci en donne 21, et elle commence par 1 130. Ensuite, on passe directement à la suite des 33 indiquée.

 

Les premières séquences

*    Par exemple, la première séquence de 7 nombres composés successifs commence par 90 et se termine par 96.

 

1

3

5

7

13

17

19

1

8

24

90

114

524

888

 

9

25

91

115

525

889

 

10

26

92

116

526

890

 

 

27

93

117

527

891

 

 

28

94

118

528

892

 

 

 

95

119

529

893

 

 

 

96

120

530

894

 

 

 

 

121

531

895

 

 

 

 

122

532

896

 

 

 

 

123

533

897

 

 

 

 

124

534

898

 

 

 

 

125

535

899

 

 

 

 

126

536

900

 

 

 

 

 

537

901

 

 

 

 

 

538

902

 

 

 

 

 

539

903

 

 

 

 

 

540

904

 

 

 

 

 

 

905

 

 

 

 

 

 

906

 

 

 

 

 

 

Un million de nombres composés

 

Question

*    Peut-on trouver une séquence de 1 million de nombres sans qu’un seul soit premier ?

 

Réponse

*    OUI ! C’est même possible pour une longueur quelconque ! Voire infinie …

 

Méthode avec les factorielles

 

On considère le nombre

1 000 001 !

Factorielle

Le premier nombre sera

1 000 001 ! + 2

Divisible par 2

Le suivant

1 000 001 ! + 3

Divisible par 3

 

 

On continue

1 000 001 ! + i

Divisible par i

 

 

Et pour finir par

1 000 001 ! + 1 000 001

Divisible par 1 000 001

 

*    Chacun des nombre formé par addition de i à factorielle un million est divisible par i. En effet, le nombre i , jusqu'à un million, est un des facteurs de 1 000 000! . Donc i divise cette factorielle, de même que la valeur i ajoutée; il divise la somme.

 

*    Soit un million de nombres premiers consécutifs non premiers.

*    On peut évidemment faire la même chose avec 1 000 001 ! – i

*    Ou avec toutes valeurs de n! et de i.

 

Voir Polynômes engendrant des composés

 

 

 

EXEMPLES pour les premières suites

*    On donne la table des nombres composés consécutifs obtenus par la méthode décrite ci-dessus.

*    On prend les valeurs successives de n de 2 à 10 et on explore n! + i avec i de 2 à n. En colonne de droite on explicite la divisibilité du nombre, montrant ainsi qu'il est composé.

 

n

i

c = n! + i

c/i

2

2

4

2

3

2

8

4

3

3

9

3

4

2

26

13

4

3

27

9

4

4

28

7

5

2

122

61

5

3

123

41

5

4

124

31

5

5

125

25

6

2

722

361

6

3

723

241

6

4

724

181

6

5

725

145

6

6

726

121

7

2

5042

2521

7

3

5043

1681

7

4

5044

1261

7

5

5045

1009

7

6

5046

841

7

7

5047

721

8

2

40322

20161

8

3

40323

13441

8

4

40324

10081

8

5

40325

8065

8

6

40326

6721

8

7

40327

5761

8

8

40328

5041

9

2

362882

181441

9

3

362883

120961

9

4

362884

90721

9

5

362885

72577

9

6

362886

60481

9

7

362887

51841

9

8

362888

45361

9

9

362889

40321

10

2

3628802

1814401

10

3

3628803

1209601

10

4

3628804

907201

10

5

3628805

725761

10

6

3628806

604801

10

7

3628807

518401

10

8

3628808

453601

10

9

3628809

403201

10

10

3628810

362881

 

*    Avec n = 10, on trouve, bien entendu, 9 nombres composés (non-premiers) de suite.

*    Il est clair que cette formule ne donne par forcément la première séquence de n nombres composés consécutifs.

 

 

 

 

Suite de composés consécutifs

Démonstration avec les FACTORIELLES

 

*    On se souvient des factorielles:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n  = n!

 

*    Voici une propriété qui va nous servir:

On ajoute un nombre à la factorielle:

3! + 2 = 1 x 2 x 3 + 2 = 6 + 2 = 8

et le résultat 8 est divisible par 2.

Normal 2 divise chaque terme de la somme 3! + 2;

 

*    Ceci est vrai pour tous les nombres de la factorielle.

n! + k = 1 x 2 x 3 x 4 x … x k x … n + k  est divisible par k.

 

 

 

 

Suite de composés consécutifs

Démonstration avec les PRIMORIELLES

 

*    La primorielle d'un nombre est une factorielle particulière, ne comprenant que les nombres premiers successifs.

11!!   =   2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

 

*    Il faut démontrer que N = n!! + i avec i de 2 à n est composé

 

Cas 1) – Si i est premier

*    Alors i divise n!! et aussi, i divise i;

*    Et, i divise la somme n!! + i ; N est composé.

 

Cas 2) – Si i n'est pas premier

*    Alors i est divisible par l'un de ses diviseurs premiers, disons:  j .

Avec

*    Ce nouveau nombre premiers j, plus petit que n est l'un des facteurs de n!!, du fait de la définition de la primorielle.

*    Alors j divise n!! et aussi, j divise i;

*    Et, j divise la somme n!! + i ; N est composé.

 

Dans tous les cas,

*    N est un nombre composé.

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*       Conjecture des premiers jumeaux

*       Orphelins

*       Infinité de premiers dans un intervalle donné

*       Nombres composés

*       Tables de facteurs

*       Nombres premiersIndex

*       Suite de nombres composés: 381, 3811 …

Voir

*       Calcul mental

*       Curiosités de motifs et formes

*       Géométrie

*       Magie avec les nombres

*       Théorie des nombres

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/ecart.htm