NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 26/03/2016
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Nombres composés

encadrés par les nombres premiers

Combien de nombres composés maximum entre deux nombres premiers?

Suite de composés consécutifs

Question

Est-il possible de trouver trente nombres composés qui se suivent ?

Réponse

Les nombres premiers sont fascinants, il y en a une infinité. De même, les nombres composés (non-premiers) sont étranges à leur façon. On peut en trouver autant que l'on veut qui se suivent. Donc, bien sûr, on peut en trouver trente ou trente mille.

Il y deux façons de justifier la réponse:

Une recherche systématique, ou

Une démonstration.

Recherche systématique

Cette première méthode assez sportive. Elle consiste à tester tous les nombres les uns après les autres. On peut utiliser une table des nombres premiers. Mais, évidemment un ordinateur, avec le bon programme, permet d'y arriver plus facilement.

Cette méthode présente un avantage important, elle donne la toute première séquence de 30 nombres composés.

On trouve ainsi la plus petite séquence de trente nombres composés consécutifs:

le premier des 30 est: 1 328

le dernier est 1 360

en fait, et en prime, il se trouve qu'il y en a 33.

La séquence que l'on trouve juste avant celle-ci en donne 21, et elle commence par 1 130. Ensuite, on passe directement à la suite des 33 indiquée.

Les premières séquences

Par exemple, la première séquence de 7 nombres composés successifs commence par 90 et se termine par 96.

1	3	5	7	13	17	19
1	8	24	90	114	524	888
	9	25	91	115	525	889
	10	26	92	116	526	890
		27	93	117	527	891
		28	94	118	528	892
			95	119	529	893
			96	120	530	894
				121	531	895
				122	532	896
				123	533	897
				124	534	898
				125	535	899
				126	536	900
					537	901
					538	902
					539	903
					540	904
						905
						906

Un million de nombres composés

Question

Peut-on trouver une séquence de 1 million de nombres sans qu’un seul soit premier ?

Réponse

OUI ! C’est même possible pour une longueur quelconque ! Voire infinie …

Méthode avec les factorielles

On considère le nombre	1 000 001 !	Factorielle
Le premier nombre sera	1 000 001 ! + 2	Divisible par 2
Le suivant	1 000 001 ! + 3	Divisible par 3
	…
On continue	1 000 001 ! + i	Divisible par i
	…
Et pour finir par	1 000 001 ! + 1 000 001	Divisible par 1 000 001

Chacun des nombre formé par addition de i à factorielle un million est divisible par i. En effet, le nombre i , jusqu'à un million, est un des facteurs de 1 000 000! . Donc i divise cette factorielle, de même que la valeur i ajoutée; il divise la somme.

Soit un million de nombres premiers consécutifs non premiers.

On peut évidemment faire la même chose avec 1 000 001 ! – i

Ou avec toutes valeurs de n! et de i.

Voir Polynômes engendrant des composés

EXEMPLES pour les premières suites

On donne la table des nombres composés consécutifs obtenus par la méthode décrite ci-dessus.

On prend les valeurs successives de n de 2 à 10 et on explore n! + i avec i de 2 à n. En colonne de droite on explicite la divisibilité du nombre, montrant ainsi qu'il est composé.

n	i	c = n! + i	c/i
2	2	4	2
3	2	8	4
3	3	9	3
4	2	26	13
4	3	27	9
4	4	28	7
5	2	122	61
5	3	123	41
5	4	124	31
5	5	125	25
6	2	722	361
6	3	723	241
6	4	724	181
6	5	725	145
6	6	726	121
7	2	5042	2521
7	3	5043	1681
7	4	5044	1261
7	5	5045	1009
7	6	5046	841
7	7	5047	721
8	2	40322	20161
8	3	40323	13441
8	4	40324	10081
8	5	40325	8065
8	6	40326	6721
8	7	40327	5761
8	8	40328	5041
9	2	362882	181441
9	3	362883	120961
9	4	362884	90721
9	5	362885	72577
9	6	362886	60481
9	7	362887	51841
9	8	362888	45361
9	9	362889	40321
10	2	3628802	1814401
10	3	3628803	1209601
10	4	3628804	907201
10	5	3628805	725761
10	6	3628806	604801
10	7	3628807	518401
10	8	3628808	453601
10	9	3628809	403201
10	10	3628810	362881

Avec n = 10, on trouve, bien entendu, 9 nombres composés (non-premiers) de suite.

Il est clair que cette formule ne donne par forcément la première séquence de n nombres composés consécutifs.

Suite de composés consécutifs Démonstration avec les FACTORIELLES

On se souvient des factorielles: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n = n! Voici une propriété qui va nous servir: On ajoute un nombre à la factorielle: 3! + 2 = 1 x 2 x 3 + 2 = 6 + 2 = 8 et le résultat 8 est divisible par 2. Normal 2 divise chaque terme de la somme 3! + 2; Ceci est vrai pour tous les nombres de la factorielle. n! + k = 1 x 2 x 3 x 4 x … x k x … n + k est divisible par k.

Suite de composés consécutifs Démonstration avec les PRIMORIELLES

La primorielle d'un nombre est une factorielle particulière, ne comprenant que les nombres premiers successifs. 11!! = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310 Il faut démontrer que N = n!! + i avec i de 2 à n est composé Cas 1) – Si i est premier Alors i divise n!! et aussi, i divise i; Et, i divise la somme n!! + i ; N est composé. Cas 2) – Si i n'est pas premier Alors i est divisible par l'un de ses diviseurs premiers, disons: j . Avec Ce nouveau nombre premiers j, plus petit que n est l'un des facteurs de n!!, du fait de la définition de la primorielle. Alors j divise n!! et aussi, j divise i; Et, j divise la somme n!! + i ; N est composé. Dans tous les cas, N est un nombre composé.

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