NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

Conjecture de GOLDBACH

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Partitions

 

Général

 

Introduction

Représentation

Formulations

Preuve?

Polignac

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Première conjecture de Polignac

>>> Seconde conjecture de Polignac

>>> Conjecture de Lagrange-Lévy

>>> Théorème de Chen

>>> Conjecture de Chen

>>> Conjecture des nombres composés

>>> Point sur les partitions singulières

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

CONJECTURES de POLIGNAC

et voisines

 

Deux conjectures à l'actif d'Alphonse de Polignac (1826-1863), mathématicien français; formation: Polytechnique; spécialité: théorie des nombres.

La première est une généralisation de la conjecture sur la quantité infinie des nombres premiers jumeaux. Pas prouvée.

La seconde, en mimétisme avec celle de Goldbach, affirme que tout nombre impair est la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2. Elle est fausse dès le nombre 137.

 

 

Voir Contemporains de Polignac

 

 

 

Première conjecture de Polignac

 

Conjecture

 

Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières.

 

Formulation

 

E = PnPn+1
d'une infinité de manière.

 

 

Autres formulations

 

*    Il existe une infinité de nombres premiers consécutifs avec un écart de 2: c'est la conjecture des nombres premiers jumeaux.

*    Il existe une infinité de nombres premiers consécutifs avec un écart de 4: nombres premiers cousins.

*    Il existe une infinité de nombres. premiers consécutifs avec un écart de 6: nombres premiers sexy.

Etc.

 

 

Exemples  de 2 à 20 (il s'agit bien de premiers consécutifs, aucun premier entre les deux)

 

 

Point de la situation: trois conjectures

 

1.   Conjecture de Chen: il existe une infinité de paires de premiers avec une différence égale à K.

2.   Conjecture de Polignac: idem Chen, mais avec paire de premiers consécutifs.

3.   Conjecture des premiers jumeaux: Idem Polignac, avec K = 2.

 

Ce que l'on sait

*    Avril 2013, YitangZhang démontre que le plus petit K vérifiant la conjecture est supérieur à 70 millions.

*    En 2014, Tao descend cette limite à 246.

 

 

Nombre premier noté P; nombre pair , noté E comme Even; impair noté O comme Odd;

 

 

 

Seconde conjecture de Polignac (fausse)

 

Conjecture

 

Tout nombre impair est égal à la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2.

 

Elle n'est vraie que jusqu'à 127!

Avec les nombres pairs, elle s'arrête dès le nombre 16.

 

Historique

 

*      Elle fut annoncée comme étant vérifiées jusqu'à 3 millions.

*      Puis les manuels précisèrent qu'elle est fausse en donnant les exemples de 509 et 877. De Polignac, lui-même savait qu'elle n'était pas correcte.

*      En fait, elle est fausse dès 127 et pour 17 valeurs jusqu'à 1000.

 

Valeurs hors conjecture jusqu'à 1000

127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997.

 

Exploration

 

*      Pour savoir si un nombre répond à la conjecture, il suffit de lui retrancher les puissances de 2 successives et examiner la différence. Dans le cas de 127, toutes ces différences sont composées. Ce nombre ne répond pas à l'affirmation de la conjecture.

 

 

 

 

Formulation

 

O = P + 2k
Contre-exemple: 127

 

Exemples  de 3 à 20 pour tout nombre (pairs et impairs)

 

Le nombre 16 est le premier nombre pair manquant.

 

Cas de 127

 N est toujours composé.

 

 

 

Conjecture de Lagrange-Levy

 

Conjecture

 

Tout nombre impair supérieur ou égal à 7 est égal à la somme d'un nombre premier et d'un autre doublé

 

Formulée en 1775 par Lagrange.

Reprise en 1963 par Lévy.

 

Nombres pairs

Seul E = 2 + 2 x P  répond à la conjecture. Comme:

  6 = 2 + 2x2

  8 = 2 + 2x3

12 = 2 + 2x5

16 = 2 + 2x7

Les nombres 10, 14, 18, 20, 22, 26, 30, 32, 34, 38 … ne sont pas accessibles.

 

 

Formulation

 

O = P + 2.P
O  7

 

Exemples  de 7 à 31

 

 

 

 

 

Théorème de Chen   (le théorème + trois conjectures)

 

Théorème de Chen

Il s'applique aux nombres pairs (1)

 

Tout nombre pair suffisamment grand est égal à la somme d'un nombre premier et du produit de deux nombres premiers

 

*    Démontré par Chen en 1973,

Il semble que cela marche à partir de 12.

Voir Autre conjecture de Chen

 

 

Nombres impairs (2)

*      Au moins pour les premiers nombres impairs, la formule marche. Comme:

7 = 3 + 2x2

9 = 3 + 2x3 = 5 + 2x2

11= 2 + 3x3 = 5 + 2x 3 = 7 + 2x2
Testé jusqu'à 101, seuls 1, 3 et 5 résistent.

 

Cas particulier de Lagrange-Levy

*      Dans le cas des impairs, en choisissant l'un des facteurs égal à 2, nous retrouvons la conjecture de Lagrange.

 

Généralisation

Conjecture de Zumkeller-Lebl (3)

Tout nombre suffisamment grand est égal à un premier et un produit de premier, avec un seul premier pouvant être égal à 2.

 

 

 

Formulation

 

E = P + P.P
E  12

 

Exemples  de 7 à 31

 

Départ à 12; en effet, le 10 est absent.

 

Même conjecture mais avec le signe moins (4)

 

N = P – P.P

N  1

La relation semble vraie pour tout nombre.

 

Exemples

  1 =     7 – 2x3

  2 =   17 – 3x5 =   23 – 3x7

  3 =     7 – 2x2 =   13 – 2x5

  4 =   19 – 3x5 =   37 – 3x11

  5 =   11 – 2x3 =   19 – 2x7

  6 =   41 – 5x5 =   61 – 5x11

  7 =   11 – 2x2 =   13 – 2x3

87 = 101 – 2x7 = 113 – 2x13

 

 

 

Conjecture de Chen

 

Conjecture

 

Quels que soient n et r, il existe une infinité de nombres k tels que N = kr – 2n est un nombre semi-premier, produit de deux premiers distincts



*    Le nombre trouvé (k) est impair sauf pour: 23 – 22 = 2 x 2 = 4

 

 

Formulation

 

 

Exemples: quelques valeurs de k pour r et n donnés

Des configurations en doublement du nombre premier (exemple ici avec 3x3) existent. La conjecture n'en a pas besoin.

 

 

 

Conjecture des nombres composés

 

Théorème

 

Tout nombre pair > 12 est la somme de deux nombres composés.

 

*      Nombres composés, à l'exception de tout nombre premier.

*      Il est clair que la quantité de sommes augmente rapidement lorsque n augmente.
Par exemple n = 100 est représenté par 100 sommes et par 359 pour 1000.

 

Formulation

 

E = C + C

E > 12

 

Exemples

 

Pairs et impairs

L'exploration montre que le premier pair est 8 et le premier impair est 13. À partir de 12, tous les nombres semblent être somme de deux composés distincts ou non.

Exemple: 12 = 4 + 8; 13 = 4 + 9; 14 = 6 + 8; 15 = 6 + 9 …

 

 

 

 

Point sur les partitions singulières



 

 

Bilan 2014

Malgré de fortes présomptions de véracité pour toutes ces conjectures, seules deux d'entre elles sont démontrées:

*    Tout nombre est somme de trois premiers: N = P + P + P

*    Tout nombre pair (grand) est la somme de deux premiers ou celle d'un premier et d'un produit de deux premiers: E = P + P ou P + P.P

Voir Développements récents

 

 

 

 

Suite

*         Conjecture de Goldbach

*         Partitions

Voir

*         ConjectureGlossaire

*         Bi, tripartitions

*         Fermat

*         Modulo & Congruences

*           Nombres Premiers

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