Conjectures de Polignac et voisines

La seconde, en mimétisme avec celle de Goldbach, affirme que tout nombre impair est la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2. Elle est fausse dès le nombre 137.

Voir Contemporains de Polignac

Première conjecture de Polignac
Conjecture Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières. Formulation E = P_n – P_n+1 d'une infinité de manière.	Autres formulations Il existe une infinité de nombres premiers consécutifs avec un écart de 2: c'est la conjecture des nombres premiers jumeaux. Il existe une infinité de nombres premiers consécutifs avec un écart de 4: nombres premiers cousins. Il existe une infinité de nombres. premiers consécutifs avec un écart de 6: nombres premiers sexy. Etc.
Exemples de 2 à 20 (il s'agit bien de premiers consécutifs, aucun premier entre les deux) Point de la situation: trois conjectures 1. Conjecture de Chen: il existe une infinité de paires de premiers avec une différence égale à K. 2. Conjecture de Polignac: idem Chen, mais avec paire de premiers consécutifs. 3. Conjecture des premiers jumeaux: Idem Polignac, avec K = 2. Ce que l'on sait Avril 2013, YitangZhang démontre que le plus petit K vérifiant la conjecture est supérieur à 70 millions. En 2014, Tao descend cette limite à 246.

Nombre premier noté P; nombre pair , noté E comme Even; impair noté O comme Odd;

Seconde conjecture de Polignac (fausse)

Conjecture

Tout nombre impair est égal à la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2.

Elle n'est vraie que jusqu'à 127.

Avec les nombres pairs, elle s'arrête dès le nombre 16.

Historique

Elle fut annoncée comme étant vérifiées jusqu'à 3 millions.

Puis les manuels précisèrent qu'elle est fausse en donnant les exemples de 509 et 877. De Polignac, lui-même savait qu'elle n'était pas correcte.

En fait, elle est fausse dès 127 et pour 17 valeurs jusqu'à 1000.

Valeurs hors conjecture jusqu'à 1000

127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997.

Exploration

Pour savoir si un nombre répond à la conjecture, il suffit de lui retrancher les puissances de 2 successives et examiner la différence. Dans le cas de 127, toutes ces différences sont composées. Ce nombre ne répond pas à l'affirmation de la conjecture.

Formulation

O = P + 2^k
Contre-exemple: 127

Exemples de 3 à 20 pour tout nombre (pairs et impairs)

Le nombre 16 est le premier nombre pair manquant.

Cas de 127

N est toujours composé.

Conjecture de Lagrange-Levy

Conjecture

Tout nombre impair supérieur ou égal à 7 est égal à la somme d'un nombre premier et d'un autre doublé

Formulée en 1775 par Lagrange.

Reprise en 1963 par Lévy.

Nombres pairs

Seul E = 2 + 2 x P répond à la conjecture. Comme:

6 = 2 + 2x2

8 = 2 + 2x3

12 = 2 + 2x5

16 = 2 + 2x7

…

Les nombres 10, 14, 18, 20, 22, 26, 30, 32, 34, 38 … ne sont pas accessibles.

Formulation

O = P + 2.P
O 7

Exemples de 7 à 31

Théorème de Chen (le théorème + trois conjectures)

Théorème de Chen

Il s'applique aux nombres pairs (1)

Tout nombre pair suffisamment grand est égal à la somme d'un nombre premier et du produit de deux nombres premiers

Démontré par Chen en 1973,

Il semble que cela marche à partir de 12.

Voir Autre conjecture de Chen

Nombres impairs (2)

Au moins pour les premiers nombres impairs, la formule marche. Comme:

7 = 3 + 2x2

9 = 3 + 2x3 = 5 + 2x2

11= 2 + 3x3 = 5 + 2x 3 = 7 + 2x2
Testé jusqu'à 101, seuls 1, 3 et 5 résistent.

Cas particulier de Lagrange-Levy

Dans le cas des impairs, en choisissant l'un des facteurs égal à 2, nous retrouvons la conjecture de Lagrange.

Généralisation

Conjecture de Zumkeller-Lebl (3)

Tout nombre suffisamment grand est égal à un premier et un produit de premier, avec un seul premier pouvant être égal à 2.

Formulation

E = P + P.P
E 12

Exemples de 7 à 31

Départ à 12; en effet, le 10 est absent.

Même conjecture mais avec le signe moins (4)

N = P – P.P

N 1

La relation semble vraie pour tout nombre.

Exemples

1 = 7 – 2x3

2 = 17 – 3x5 = 23 – 3x7

3 = 7 – 2x2 = 13 – 2x5

4 = 19 – 3x5 = 37 – 3x11

5 = 11 – 2x3 = 19 – 2x7

6 = 41 – 5x5 = 61 – 5x11

7 = 11 – 2x2 = 13 – 2x3

87 = 101 – 2x7 = 113 – 2x13

Conjecture de Chen

Conjecture

Quels que soient n et r, il existe une infinité de nombres k tels que N = k^r – 2ⁿ est un nombre semi-premier, produit de deux premiers distincts

Le nombre trouvé (k) est impair sauf pour: 2³ – 2² = 2 x 2 = 4

Formulation

Exemples: quelques valeurs de k pour r et n donnés

Des configurations en doublement du nombre premier (exemple ici avec 3x3) existent. La conjecture n'en a pas besoin.

Conjecture des nombres composés

Théorème

Tout nombre pair > 12 est la somme de deux nombres composés.

Nombres composés, à l'exception de tout nombre premier.

Il est clair que la quantité de sommes augmente rapidement lorsque n augmente.
Par exemple n = 100 est représenté par 100 sommes et par 359 pour 1000.

Formulation

E = C + C

E > 12

Exemples

Pairs et impairs

L'exploration montre que le premier pair est 8 et le premier impair est 13. À partir de 12, tous les nombres semblent être somme de deux composés distincts ou non.

Exemple: 12 = 4 + 8; 13 = 4 + 9; 14 = 6 + 8; 15 = 6 + 9 …

Point sur les partitions singulières

Bilan 2014

Malgré de fortes présomptions de véracité pour toutes ces conjectures, seules deux d'entre elles sont démontrées:

Tout nombre est somme de trois premiers: N = P + P + P

Tout nombre pair (grand) est la somme de deux premiers ou celle d'un premier et d'un produit de deux premiers: E = P + P ou P + P.P

Voir Développements récents

Suite	Démonstration de la conjecture de Polignac (vers la -) Conjecture de Goldbach Partitions
Voir	Conjecture – Glossaire Bi, tripartitions Fermat Modulo & Congruences Nombres Premiers
Site	Twin Prime Conjecture – Wolfram MathWorld Big Question About Primes Proved in Small Number Systems – Kevin Hartnett - Quantamagazine – 26 september 2019
Cette page	http://diconombre.fr/ThNbDemo/Polignac.htm