NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Opérations

 

 

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Motifs et chiffres

 

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Jeu des quatre 4

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Le plus grand

>>> Factorielles

>>> Notation des grands nombres

>>> English corner

 

 

 

 

 

Approche

 

Avec les quatre opérations arithmétiques classiques, quel est le plus grand nombre obtenu avec trois chiffres identiques.

 

1 + 1 + 1 =   3

9 + 9 + 9 = 27

 

1 x 1 x 1 =     1

9 x 9 x 9 = 729

 

On peut faire beaucoup mieux avec les opérations mathématiques comme

Avec factorielle; de belles possibilités

Avec exponentielles; aussi …

 

 

 

9! = 362 880

 

99 = 387 420 489

Il existe des notations pour les grands nombres qui conduisent à des monstruosités de nombres.

9­9 9 = incalculable

 

 

LE PLUS GRAND sans signes ou symboles

 

Avec toutes les opérations possibles en maths, quel est le plus grand nombre obtenu avec trois chiffres identiques.

 

*      Le chiffre 9 est le meilleur candidat.

*      La fonction puissance à étage donne des nombres particulièrement importants.

*      La valeur la plus élevée est celle obtenue avec 9 élevé à une puissance.

*      Cette puissance étant, elle-même, neuf puissance neuf.

*      Ce nombre avec deux étages d'exposants peut s'écrire sans parenthèses et, de ce fait, est le plus grand en utilisant 3 signes seulement.

 

 

Rappel

 

 

Avec trois 9

 

 

 

 

 

 

Ce dernier grand nombre comporte 360 millions de chiffres.

 

Ce nombre est impossible à calculer même avec les logiciels mathématiques du marché.

 

À raison de 5 000 chiffres par pages, il faudrait un livre de 8 000 pages pour écrire ce nombre.

 

 

 

Pour calculer la quantité de chiffres, on utilise le logarithme décimal

 

log (9^(9^9)) = 9^9 log(9)

         = 369693099, 63157035875

 


Le nombre de chiffres est l'entier immédiatement supérieur

369 693 100

 

 

 

Le dernier chiffre est 9

 

L'exposant vaut

99  = 387420489

C'est un entier impair

 

Or 9 à la puissance impaire donne 9 pour unité

93 = 429

95 = 59049

97 = 4782969

etc.

 

En effet, soit un nombre impair 2k+1

92k+1 = 92k x 9

           = 81k x 9

           = (…. 1)k x 9

           = ….9

 

 

 

Les premiers chiffres sont 42812477…

 

Pour connaître les premiers chiffres ayons à nouveau recours aux logarithmes

 

Exprimé en logarithme, nous savons que

log (N) = 369693099, 63157035875

            = 0, 63157035875 + 369693099

Quelle est la valeur de N?

 

Refaisons le chemin inverse en partant du logarithme et en calculant l'exponentielle, ici avec la puissance 10

 

N = 10 (0 63157035875 + 369693099)

N = 10 0,63157035875 x 10 369 693 099

N=  4,281247732          x 10 369 693 099

 

Vous reconnaissez la notation scientifique de ce nombre

N=  0,428 124 773 2…  10 369 693 100

N=  0,428 124 773 2 e 369 693 100

 

 

 

 

FACTORIELLES

Factorielles avec des 9.

Dans les limites des nombres à 100 millions de chiffres.

 

 

9! = 362 880

99! = 0,933 10156

999! = 0,402 102565

 

 

99! = 0,332 10346 276

999! = 0,125 10724 177

 

 

(9!)! = 0,160 1018 59 934

 

(99)! = ?

  

 

 

Il est évident que les factorielles placées derrière les expressions en puissances augmentent encore considérablement les valeurs de ces puissances.

 

 

Pas de limite au plus grand nombre! Il suffit de mettre autant signes factoriels que l'on veut.

9! = 362 880

9!! = ...Integer too large for display...

Même Maple jette déjà l'éponge.

 

Voir Notation des très grands nombres / Noms des grands nombres

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Ask someone to write the largest three digit number. No symbols and characters allowed.

 

They'll respond with 999.

 

We can go bigger.

 

Could be 999 ?

 

No!  A larger number does exits.

 

 

The correct answer is as shown.

This number will have more than 360 million digits.

 

      9 to the 9th power of 9

 

 

 

 

 

 

Voir

*  Exposants à étages

*  Faire tous les nombres avec quatre 4

*  Grands nombres

*  Mille avec le nombre 8

*  Pannumériques

Aussi

*  Motifs et chiffresIndex

*  Puissances et exposantsIndex

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http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Operatio/Max3chif.htm