NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calcul

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Opérations

 

 

INDEX

 

Calcul 

Introduction – Somme des entiers

Progression arithmétique

Exemples de calculs

Progression géométrique

Exemples de calculs

Progression harmonique

 

Sommaire de cette page

>>> Chaine de nombres harmoniques

>>> Programme de recherche des chaines harmoniques

>>> Carrés en progression arithmétique

>>> Réalisation d'une PH

 

 

 

 

 

 

SUITE HARMONIQUE

ou

PROGRESSION HARMONIQUE

 

Nombres successifs  tels que chacun des triplets (a, b, c) de la suite satisfait la relation:

PA: Progression Arithmétique

Anglais: Harmonic progression

Voir Moyenne harmonique /  Suite et Série

 

 

Chaine de nombres harmoniques

 

 

Quelques suites d'entiers en PH

Connaissant a et b, calcul de c:

 

Exemple avec 2, 3, 6, limitée à 6.

Triplets et +

Quadruplets et +

Quintuplets et +

[2, 3, 6]

[3, 4, 6, 12]

[3, 5, 15]

[4, 6, 12]

[4, 7, 28]

[5, 8, 20]

[5, 9, 45]

[6, 8, 12, 24]

[6, 9, 18]

[6, 10, 30]

[6, 11, 66]

[7, 12, 42]

[7, 13, 91]

[8, 12, 24]

[8, 14, 56]

[8, 15, 120]

[9, 12, 18, 36]

[9, 15, 45]

[9, 16, 72]

[9, 17, 153]

[10, 12, 15, 20, 30, 60]

[10, 15, 30]

[10, 16, 40]

[10, 18, 90]

[10, 19, 190]

[3, 4, 6, 12]

[6, 8, 12, 24]

[9, 12, 18, 36]

[10, 12, 15, 20, 30, 60]

[12, 15, 20, 30, 60]

[12, 16, 24, 48]

[14, 20, 35, 140]

[15, 20, 30, 60]

[15, 21, 35, 105]

[18, 24, 36, 72]

[20, 24, 30, 40, 60, 120]

[21, 28, 42, 84]

[24, 30, 40, 60, 120]

[24, 32, 48, 96]

[27, 36, 54, 108]

[28, 40, 70, 280]

[30, 36, 45, 60, 90, 180]

[30, 40, 60, 120]

[30, 42, 70, 210]

[33, 44, 66, 132]

[33, 48, 88, 528]

[35, 45, 63, 105, 315]

[36, 45, 60, 90, 180]

[36, 48, 72, 144]

[40, 48, 60, 80, 120, 240]

[10, 12, 15, 20, 30, 60]

[12, 15, 20, 30, 60]

[20, 24, 30, 40, 60, 120]

[24, 30, 40, 60, 120]

[30, 36, 45, 60, 90, 180]

[35, 45, 63, 105, 315]

[36, 45, 60, 90, 180]

[40, 48, 60, 80, 120, 240]

[48, 60, 80, 120, 240]

[50, 60, 75, 100, 150, 300]

[60, 70, 84, 105, 140, 210, 420]

[60, 72, 90, 120, 180, 360]

[60, 75, 100, 150, 300]

[70, 84, 105, 140, 210, 420]

[70, 90, 126, 210, 630]

[72, 90, 120, 180, 360]

[80, 96, 120, 160, 240, 480]

[84, 105, 140, 210, 420]

[90, 108, 135, 180, 270, 540]

[96, 120, 160, 240, 480]

[100, 120, 150, 200, 300, 600]

[105, 120, 140, 168, 210, 280, 420]

[105, 135, 189, 315, 945]

[108, 135, 180, 270, 540]

[110, 132, 165, 220, 330, 660]

[120, 140, 168, 210, 280, 420, 840]

[120, 144, 180, 240, 360, 720]

[120, 150, 200, 300, 600]

 

Exemple développé de chaine harmonique

 

 

Remarque importante

Tous les inverses des nombres de cette suite sont en progression arithmétique de raison 1/420 (Voire théorème)

 

Ex: 1/60 – 1/420 = 1/70

       1/70 – 1/420 = 1/84

 

Chaines harmoniques les plus grandes (records)

[2, 3, 6]

[3, 4, 6, 12]

[10, 12, 15, 20, 30, 60]

[60, 70, 84, 105, 140, 210, 420]

[105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840]

[252, 280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520]

[2310, 2520, 2772, 3080, 3465, 3960, 4620, 5544, 6930, 9240, 13860, 27720]

 

Fin jusqu'à 1 000 000.

 

Observations

Les quatre premières suites ne comportent que des diviseurs de 420:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420.

Idem pour la suite avec des multiples de 420.

 

 

Programme de recherche des chaines harmoniques les plus grandes (Maple)

 

Réinitialisation générale.

 

Procédure qui teste si le terme suivant de la suite est un entier. Calcul du 3e terme p à partir de n et m en évitant la division par 0.

Si ce terme est entier (integer) et positif, le nouveau nombre est renvoyé au programme appelant; sinon on retourne 0.

 

Le programme principal commence par préciser l'ampleur de la recherche (mx = 100 ou au choix). Le compteur de records (ktm) est initialisé à 0.

 

Exploration jusqu'à mx des deux premiers termes de la suite (a et b).

Initialisation de la suite (L) avec les deux premières valeurs. On conserve la mémoire de a et b en créant les variables de travail aa et bb.

La profondeur d'exploration (i) est fixée à 5 (exemple).

Calcul de c via la procédure qui renvoie un entier positif en progression harmonique ou alors 0.

Si le retour est nul, la chaine est terminée et on interrompt l'exploration en i (break).

La liste est enrichie du nouveau venu et les termes de la suite progressent d'un cran.

Enfin, on imprime le résultat si la liste comporte plus de termes (nops) que la liste précédente

 

Le résultat du traitement est affiché en bleu.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Carrés en progression arithmétique

 

Les nombres a², b² et c² sont en PA.

Montrez que les sommes (b + c, c+ a, a + b) sont en PH.

 

 

Théorème

Trois nombres dont les inverses sont en progression arithmétique, alors ils sont en progression harmonique.

 

1/a, 1/b, 1/c en PA

<=> a, b, c en PH

 

En ajoutant une somme constante aux trois nombres en PA, les trois nouveaux nombres restent en PA

 

Ajoutons: ab + bc + ca

a² => a² + ab + bc + ca =  a (a + c) + b (a + c) = (a + b) (a + c)

b² => b² + ab + bc + ca =  a (b + c) + b (b + c) = (a + b) (b + c)

c² => c² + ab + bc + ca =  a (b + c) + c (b + c) = (a + c) (b + c)

 

En divisant par (a + b)(b + c)(c + a)

 

Alors A, B et C sont en PH s'ils satisfont:

 

Ce qui est le cas:

 

 

 

Réalisation d'une PH

Entre 7 et 1/6, créer une suite harmonique de 42 termes

 

On passe par les inverses en PA (Voir théorème ci-dessus)

Le nombre 6 est le 42e terme d'une suite arithmétique dont le premier terme est 1/7.

6 = 1/7 + 41 r => 41 r = 6 – 1/7 = 41/7 => r = 1/7

 

Progression arithmétique

1/7, 2/7, 3/7, …, 41/7, 42/7 = 6

 

Progression harmonique

7, 7/2, 7/3, …7/41, 1/6

 

 

 

 

 

 

 

Retour

*    Progression géométrique

Suite

*    Série harmonique: 1 + 1/2 + 1/3 + …

*    Somme des carrés, cubes

Voir

*    Calcul des carrés

*      Calcul mental

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*      Jeux

*    Moyennes et suites

*    Multiplications védiques

*      Nombre 20

*      pH

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*      Théorie des nombres

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