NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMBINAISONS

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Combinatoire

Général

Hypergéométrique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Principe du calcul

>>> Tirage 2 sur 3 dans 5

>>> Illustration

>>> Tirage 4 sur 10 dans 50

>>> Tirage 3 sur   5 dans 32 (cartes)

>>> Bilan

 

 

 

 

LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE

 

Formule permettant de calculer la probabilité d'un tirage dans un tirage. Par exemple avoir trois bons numéros dans un tirage de 6 parmi 49 (loto). Ou encore, avoir trois rois dans une donne de six cartes d'un jeu de 32 cartes. Etc.

Où il est question de compter la chance, sans oublier: la malchance

Veuillez ne pas vous attacher au nom barbare de cette formule …

 

 

Approche

 

*    Nous disposons de 5 boules et en tirons 3.

Quelle est la probabilité que nous nous retrouvions avec les boules 1 et 2?

 

Illustration

 

Calcul

*    La probabilité est de 18 cas favorables sur 60 cas possibles. Soit:

P = 18/60 = 3/10 = 0,3 = 30%

 

Remarque très importante

*    Ici, nous tirons trois boules et nous regardons, parmi les trois boule, si je dispose de celles que j'ai choisies (18 cas sur 60).

*    Ce n'est pas du tout la même chose que si nous tirions deux boules et regardions si nous disposons de notre configuration. En s'arrêtant au deuxième tirage, l'illustration montre qu'il y a seulement 2 cas avec 12 et 21 sur les 20 tirages possibles. Probabilité: 2/20 = 1/10 = 0, 1 = 10%

*    Le calcul des combinaisons corrobore cette valeur:  . Soit une chance sur 10.

 

 

Principe du calcul

*    Nous cherchons notre configuration (ici 1 2 ou 2 1), à l'exception de tous les autres. Ce qui fait une combinaison.

Cas où l'on a 1 2 ou 2 1

Cas où  il n'y a pas 1 2 ou 2 1

*    Les deux boules que nous cherchons nous les voulons toutes les deux. Il y a seule combinaison

*    La troisième boule ne doit pas être celle que nous cherchons

*    La quantité totale de combinaisons

*    Probabilité

*    Généralisation avec

*      N la quantité totale de boules (N = 5)

*      n la quantité de boules tirées (n = 3)

*      m la quantité de boules ayant le critère voulu (m = 2)

*      m' = N – m la quantité de boules n'ayant pas le critère voulu (m'= 3)

*      k la quantité de boules voulues (k = 2)

*      k' = n – k la quantité de boules non voulues (k' = 1)

 

 

Tirage 2 sur 3 dans 5 (formalisation du cas précédent)

*    Dans l'urne, il y a N boules

*    dont  m ayant le critère voulu (ici, deux boules, la 1 et la 2),

*    et m' = N – m de critère non voulu.

N = 5

m = 2

m' = N – m = 3

*    Nous tirons n boules successivement sans les remettre dans l'urne.

n = 3

*    Notre désir est de savoir dans combien de cas, j'en tirerai 2 voulues.

k = 2

k' = 1

*    Tableau de la situation.

 

Tirées

Laissées

Total

Voulues

k = 2

m – k = 0

m = 2

Non voulues

n – k = 1

m' – (n–k) = 2

m' = 3

Total

n = 3

N – n = 2

N = 5

*    Calcul de probabilité: formule générale et application numérique.

 

 

Illustration

 

 

Tirage 4 sur 10 dans 50

*    Dans l'urne, il y a N boules

*    dont  m blanches,

*    et N – m noires.

N = 50

m = 5

m' = N – m = 45

*    Nous tirons n boules successivement sans les remettre dans l'urne.

n = 10

*    Notre désir est de savoir dans combien de cas, j'en tirerai k blanches.

k = 4

*    Tableau de la situation.

 

Tirées

Laissées

Total

Blanches

k = 4

m – k = 1

m = 5

Noires

n – k = 6

m' – (n–k) = 39

m' = 45

Total

n = 10

N – n = 40

N = 50

*    Calcul de probabilité: formule générale et application numérique.

 

 

 

 

Tirage 3 sur 5 dans 32

*    Dans le jeu il y a N cartes

*    dont  m = 4 rois

*    et N – m non voulues.

N = 32

m = 4

m' = N – m = 28

*    Nous tirons n cartes.

n = 5

*    Notre désir est de savoir dans combien de cas il y aura un brelan de rois (3 rois précisément)

k = 3

*    Tableau de la situation.

 

Tirées

Laissées

Total

Voulues

k = 3

m – k = 1

m = 4

Non voulues

n – k = 2

m' – (n–k) = 26

m' = 28

Total

n = 5

N – n = 27

N = 32

*    Calcul de probabilité: formule générale et application numérique.

 

 

Bilan

Si l'on veut faire un choix dans un tirage, le calcul exige de compter les cas où le choix est réussi et les cas où le choix n'est pas réussi.

Attention, le fait que le chois s'effectue à l'intérieur d'un tirage, exige un peu d'attention. Le résultat n'est pas direct. C'est la formule de la loi hypergéométrique qui s'applique.

 

 

 

 

 

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